人教版新課標(biāo)A選修2-21.1變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份人教版新課標(biāo)A選修2-21.1變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)，共4頁。
教學(xué)目標(biāo)
1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；
2．理解曲線的切線的概念；
3．通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；
教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；
教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．
教學(xué)過程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
（一）平均變化率、割線的斜率
（二）瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)
我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？
二．新課講授
（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢是什么？
圖3.1-2
我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.
問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？
⑵切線PT的斜率為多少？
容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無限接近點(diǎn)P時(shí)，無限趨近于切線PT的斜率，即
說明：（1）設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.
這個概念: ①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;
②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).
（2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多個.
（二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率，
即
說明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:
①求出P點(diǎn)的坐標(biāo);
②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率；
③利用點(diǎn)斜式求切線方程.
（二）導(dǎo)函數(shù)：
由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，
即:
注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．
（三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。
1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。
2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)
3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。
三．典例分析
例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.
（2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).
解：（1）,
所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即
（2）因?yàn)?br>所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即
（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．
解：

例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)
，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況．
解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時(shí)刻附近的變化情況．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．
從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢．
例3．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時(shí)間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到）．
解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率．
如圖3.1-4，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值．
作處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如，，則它的斜率為：
所以
下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值：
四．課堂練習(xí)
1．求曲線y=f(x)=x3在點(diǎn)處的切線；
2．求曲線在點(diǎn)處的切線．
五．回顧總結(jié)
1．曲線的切線及切線的斜率；
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
六．布置作業(yè)0.2
0.4
0.6
0.8
藥物濃度瞬時(shí)變化率
0.4
0
-0.7
-1.4