高中數(shù)學人教版新課標A選修2-21.1變化率與導數(shù)教案

這是一份高中數(shù)學人教版新課標A選修2-21.1變化率與導數(shù)教案，共5頁。
§1.1.3導數(shù)的幾何意義 教學目標：1．了解平均變化率與割線斜率之間的關系；2．理解曲線的切線的概念；3．通過函數(shù)的圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義，并會用導數(shù)的幾何意義解題；教學重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導數(shù)的幾何意義； 教學難點：導數(shù)的幾何意義．教學過程：一．創(chuàng)設情景（一）平均變化率、割線的斜率（二）瞬時速度、導數(shù)我們知道，導數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導數(shù)的幾何意義是什么呢？二．新課講授（一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？                    我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關系？      ⑵切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：（1）設切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念: ①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;         ②切線斜率的本質—函數(shù)在處的導數(shù).（2）曲線在某點處的切線:1)與該點的位置有關;2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.（二）導數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即 說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:①求出P點的坐標;②求出函數(shù)在點處的變化率 ，得到曲線在點的切線的斜率；③利用點斜式求切線方程.（二）導函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導數(shù)的過程可以看到,當時, 是一個確定的數(shù)，那么,當x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導函數(shù).記作：或，即: 注：在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．（三）函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內任意點x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)      3）函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點處的導數(shù)的方法之一。三．典例分析例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.（2）求函數(shù)y=3x2在點處的導數(shù).解：（1）,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即（2）因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即（2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導數(shù)． 解：   例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線在、、附近的變化情況．解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況．（1）              當時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．（2）              當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調遞減．（3）              當時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調遞減．從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢．例3．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率（精確到）．解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率．如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值．作處的切線，并在切線上去兩點，如，，則它的斜率為：所以    下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率0.40-0.7-1.4四．課堂練習1．求曲線y=f(x)=x3在點處的切線；2．求曲線在點處的切線．五．回顧總結1．曲線的切線及切線的斜率；2．導數(shù)的幾何意義  六．布置作業(yè)