蘇科版七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)練習(xí)

這是一份蘇科版七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)練習(xí)，共40頁。
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29495" 【典型例題】 PAGEREF _Tc29495 \h 1
\l "_Tc17475" 考點(diǎn)一 兩直線平行，同位角相等 PAGEREF _Tc17475 \h 1
\l "_Tc19532" 考點(diǎn)二 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 PAGEREF _Tc19532 \h 3
\l "_Tc24025" 考點(diǎn)三 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) PAGEREF _Tc24025 \h 4
\l "_Tc6823" 考點(diǎn)四 根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度 PAGEREF _Tc6823 \h 6
\l "_Tc1165" 考點(diǎn)五 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用 PAGEREF _Tc1165 \h 8
\l "_Tc18396" 考點(diǎn)六 平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc18396 \h 11
\l "_Tc5404" 【過關(guān)檢測】 PAGEREF _Tc5404 \h 13
【典型例題】
考點(diǎn)一 兩直線平行，同位角相等
例題： (2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，．，則的度數(shù)為（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·吉林· 九年級階段練習(xí)）如圖，直線．直線與、分別交于、兩點(diǎn)．若，則的大小為_____度．
2． (2023·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校七年級期末）如圖，D為中延長線上一點(diǎn)，，若，，則_____．
考點(diǎn)二 兩直線平行，內(nèi)錯角相等
例題： (2023·湖南·長沙市立信中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線a，b被c所截，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·廣西大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
2． (2023·重慶市第七中學(xué)校九年級期中）如圖，，，則的度數(shù)為（ ）
A．160B．140C．50D．40
考點(diǎn)三 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
例題： (2023·遼寧·沈陽市培英中學(xué)七年級期中）如圖，ABCD，射線AE交CD于點(diǎn)F，若∠1＝114°，則∠2的度數(shù)等于_____°．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級期末）如圖直線、被直線所截，且，已知比大，則______．
2． (2023·江西撫州·七年級期中）如圖，直線，直線l與a，b分別相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的垂線交直線b與點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為________．
考點(diǎn)四 根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度
例題： (2023·四川省南充市高坪中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，已知：，，
(1)說明：．
(2)求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·山東·寧津縣德清中學(xué)七年級期中）如圖，已知，，，求：
(1)
(2)的度數(shù)．
2． (2023·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求證：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．
考點(diǎn)五 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
例題： (2023·山東青島·七年級期中）已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·山東·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)七年級期中）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．
2． (2023·云南昆明·七年級期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時，．
考點(diǎn)六 平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
例題： (2023·浙江·紹興市錫麟中學(xué)八年級階段練習(xí)）探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使，且DE交BC于點(diǎn)P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(1)我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．
①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為 ；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為 ；
請選擇其中一種情況說明理由．
②由①得出一個真命題（用文字?jǐn)⑹觯? ．
(2)應(yīng)用②中的真命題，解決以下問題：
若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·甘肅·金昌市第五中學(xué)七年級期中）如圖，已知AMBN，∠A＝64°．點(diǎn)P是射線AM上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．
(1)∠ABN的度數(shù)是 ；
(2)求∠CBD的度數(shù)；
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量之比是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律．
【過關(guān)檢測】
一、選擇題
1． (2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，，則的度數(shù)是（ ）度
A．100B．80C．120D．150
2． (2023·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）如圖，將直尺與角的三角尺疊放在一起，若，則∠1的大小是( )
A．B．C．D．
3． (2023·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學(xué)校七年級期中）如圖，，將一副直角三角板作如下擺成，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）把正方形ABCD和長方形EFGH按如圖的方式放置在直線l上．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
5． (2023·山東·高青縣教學(xué)研究室期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
二、填空題
6． (2023·上海市羅南中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，，∠A＝50°，則∠1＝_____．
7． (2023·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級期中）如圖，，，，則的度數(shù)是_____________．
8． (2023·安徽·潛山市羅漢初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，將一副三角板重疊擺故，于點(diǎn)D，則的度數(shù)為______．
9． (2023·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．
10． (2023·福建·平潭第一中學(xué)七年級期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
三、解答題
11． (2023·河北·威縣第三中學(xué)七年級期末）如圖，已知，，求證：．
(1)請將下面證明過程補(bǔ)充完整．
證明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴ （等角的補(bǔ)角相等），
∴（ ），
∴（ ）；
(2)若平分，于點(diǎn)，，求的度數(shù)．
12． (2023·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學(xué)三模）如圖，已知，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
13． (2023·河南·虞城縣第二初級中學(xué)七年級期中）如圖，與有公共頂點(diǎn)A，且點(diǎn)C在邊BE上，CD交AE于點(diǎn)F且平分．，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
14． (2023·江蘇·漣水縣第四中學(xué)七年級期末）如圖，F(xiàn)N交HE、MD于點(diǎn)A、點(diǎn)C，過C作射線CG交HE于點(diǎn)B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度數(shù)．
15． (2023·山東煙臺·期末）如圖把一個含有30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，，、兩點(diǎn)在平面上移動，請根據(jù)如下條件解答：
(1)如圖1，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線的下方，，求的度數(shù)．
(2)如圖2，若點(diǎn)在平行直線，內(nèi)部，點(diǎn)在直線的下方，，求的度數(shù)．
16． (2023·江蘇·泰興市濟(jì)川初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．
(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為 °，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；
(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．
專題02 探索平行線的性質(zhì)壓軸題六種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29495" 【典型例題】 PAGEREF _Tc29495 \h 1
\l "_Tc17475" 考點(diǎn)一 兩直線平行，同位角相等 PAGEREF _Tc17475 \h 1
\l "_Tc19532" 考點(diǎn)二 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 PAGEREF _Tc19532 \h 3
\l "_Tc24025" 考點(diǎn)三 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ) PAGEREF _Tc24025 \h 4
\l "_Tc6823" 考點(diǎn)四 根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度 PAGEREF _Tc6823 \h 6
\l "_Tc1165" 考點(diǎn)五 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用 PAGEREF _Tc1165 \h 8
\l "_Tc18396" 考點(diǎn)六 平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用 PAGEREF _Tc18396 \h 11
\l "_Tc5404" 【過關(guān)檢測】 PAGEREF _Tc5404 \h 13
【典型例題】
考點(diǎn)一 兩直線平行，同位角相等
例題： (2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，．，則的度數(shù)為（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，根據(jù)對頂角相等即可得出答案．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∴，故A正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：兩直線平行，同位角相等．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·吉林· 九年級階段練習(xí)）如圖，直線．直線與、分別交于、兩點(diǎn)．若，則的大小為_____度．
【答案】
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵直線，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出的度數(shù)，注意：兩直線平行，同位角相等．
2． (2023·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校七年級期末）如圖，D為中延長線上一點(diǎn)，，若，，則_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 兩直線平行，內(nèi)錯角相等
例題： (2023·湖南·長沙市立信中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線a，b被c所截，，若，則的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可以判斷，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，，
∴，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得出，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·廣西大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線，被直線所截，，，則的度數(shù)為（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解本題的關(guān)鍵．
2． (2023·重慶市第七中學(xué)校九年級期中）如圖，，，則的度數(shù)為（ ）
A．160B．140C．50D．40
【答案】B
【分析】利用平行線的性質(zhì)先求解，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)
例題： (2023·遼寧·沈陽市培英中學(xué)七年級期中）如圖，ABCD，射線AE交CD于點(diǎn)F，若∠1＝114°，則∠2的度數(shù)等于_____°．
【答案】66
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求出∠AFD的度數(shù)，然后根據(jù)對頂角相等求出∠2的度數(shù)．
【詳解】∵ABCD，
∴∠1+∠AFD=180°．
∵∠1=114°，
∴∠AFD=66°．
∵∠2和∠AFD是對頂角，
∴∠2=∠AFD=66°．
故答案為66．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)七年級期末）如圖直線、被直線所截，且，已知比大，則______．
【答案】65
【分析】根據(jù)題意可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：比大，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·江西撫州·七年級期中）如圖，直線，直線l與a，b分別相交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l的垂線交直線b與點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為________．
【答案】##63度
【分析】根據(jù)，可得，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：∵，，，
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)正確找出是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定求角度
例題： (2023·四川省南充市高坪中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，已知：，，
(1)說明：．
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)對頂角相等得到，再利用平行線的判定即可證明；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·山東·寧津縣德清中學(xué)七年級期中）如圖，已知，，，求：
(1)
(2)的度數(shù)．
【答案】(1)見解析；
(2)100°．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定方法即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩只線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是關(guān)鍵．
2． (2023·西藏·林芝市廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在AC上，點(diǎn)F，G分別在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求證：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證；
（2）先求出∠C，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解．
（1）
證明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
例題： (2023·山東青島·七年級期中）已知：某小區(qū)地下停車場的欄桿如圖所示，當(dāng)欄桿抬起到最大高度時∠ABC=150°，若此時CD平行地面AE，則_________度．
【答案】120
【分析】過點(diǎn)B作BF∥CD，因?yàn)锳B⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度數(shù)，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：過點(diǎn)B作BF∥CD，如圖，
由題意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案為：120．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·山東·菏澤市牡丹區(qū)第二十二初級中學(xué)七年級期中）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當(dāng)光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射．如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，則∠2＝______．
【答案】48°##48度
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：如圖，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，
∴∠3=180°-∠1=48°，
∵水中的兩條折射光線是平行的，
∴∠2=∠3=48°，
故答案為：48°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
2． (2023·云南昆明·七年級期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛．在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點(diǎn)和點(diǎn)的兩盞激光燈控制．如圖，光線與燈帶的夾角，當(dāng)光線與燈帶的夾角______時，．
【答案】140°或40°
【分析】當(dāng)AB與在AC同側(cè)時，CB′∥AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，CB"∥AB，內(nèi)錯角相等．
【詳解】解：如下圖：
當(dāng)AB與CB′在AC同側(cè)時，
當(dāng)CB′∥AB時，
∵∠CAB+∠ACB′=180°
∴∠ACB′=140°
當(dāng)AB與CB"在AC異側(cè)時，
當(dāng)CB"∥AB時，
∠CAB=∠ACB"=40°
答案：140°或40°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)及需要由分論討論的思想求解．
考點(diǎn)六 平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
例題： (2023·浙江·紹興市錫麟中學(xué)八年級階段練習(xí)）探究問題：已知∠ABC，畫一個角∠DEF，使，且DE交BC于點(diǎn)P．∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
(1)我們發(fā)現(xiàn)∠ABC與∠DEF有兩種位置關(guān)系：如圖1與圖2所示．
①圖1中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為 ；圖2中∠ABC與∠DEF數(shù)量關(guān)系為 ；
請選擇其中一種情況說明理由．
②由①得出一個真命題（用文字?jǐn)⑹觯? ．
(2)應(yīng)用②中的真命題，解決以下問題：
若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，請直接寫出這兩個角的度數(shù)．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由見解析；②如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；②根據(jù)①寫出結(jié)論，即可求解；
（2）設(shè)兩個角分別為x和2x﹣30°，由（1）的結(jié)論可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如圖1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如圖2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案為：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如圖1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如圖2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②結(jié)論：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．
故答案為：如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．
（2）
解：設(shè)兩個角分別為x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴這兩個角的度數(shù)為30°，30°或70°和110°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，理解如果兩個角的兩邊互相平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)是解答關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023·甘肅·金昌市第五中學(xué)七年級期中）如圖，已知AMBN，∠A＝64°．點(diǎn)P是射線AM上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．
(1)∠ABN的度數(shù)是 ；
(2)求∠CBD的度數(shù)；
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量之比是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由：若變化，請寫出變化規(guī)律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不變，∠APB＝2∠ADB，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）根據(jù)角平分線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)論即可求解；
（3）由平行線的性質(zhì)可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根據(jù)角平分線的定義可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案為116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不變，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測】
一、選擇題
1． (2023·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，，則的度數(shù)是（ ）度
A．100B．80C．120D．150
【答案】A
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠3，代入求出即可．
【詳解】解：∵∠1＝80°，
∴∠3＝180°?80°＝100°，
∵ABCD，
∴∠2＝∠3＝100°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同位角相等．
2． (2023·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）如圖，將直尺與角的三角尺疊放在一起，若，則∠1的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖：
由題意得：，
∵ABCD，
∴∠3＝∠2＝，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平角的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學(xué)校七年級期中）如圖，，將一副直角三角板作如下擺成，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，過點(diǎn)C作CM，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，再根據(jù)三角板的特點(diǎn)求解即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CM，
∵，
∴，
∴∠1＋∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°?45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°?30°＝105°，
∴∠1＝180°?105°＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等”及作平行線是解題的關(guān)鍵．
4． (2023·廣東·廣州市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）把正方形ABCD和長方形EFGH按如圖的方式放置在直線l上．若∠1=43°，則∠2的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)：∠1=43°，∠HEF=90°，即可得到∠CEB=47°，再根據(jù)CDAB，可得∠2=∠CEB=47°．
【詳解】解：∵∠1=43°，∠HEF=90°，
∴∠CEB=47°，
∵CDAB，
∴∠2=∠CEB=47°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．
5． (2023·山東·高青縣教學(xué)研究室期末）在同一平面內(nèi)，若∠A與∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少40°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)分兩種情況求解即可．
【詳解】解： ①如圖1所示：
若AEBD，ACBD，
則∠A＝∠1，∠1＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∵∠A＝3∠B﹣40°＝3∠A－40°，
∴∠A＝∠B＝20°，
②如圖2所示：
若ADBE，BCAF，
則∠1＝∠B，∠1＋∠A＝180°，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝3∠B﹣40°，
∴3∠B﹣40°+∠B＝180°，
∴∠B＝55°，∠A＝125°，
綜上所述，∠A的度數(shù)為20°或125°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．
二、填空題
6． (2023·上海市羅南中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，，∠A＝50°，則∠1＝_____．
【答案】130°##130度
【分析】由平行線的性質(zhì)可得出∠2，根據(jù)對頂角相得出∠1．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴∠A+∠2＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．
故答案為：130°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)和對頂角相等進(jìn)行分析解答．
7． (2023·陜西·潼關(guān)縣教育局教學(xué)研究室七年級期中）如圖，，，，則的度數(shù)是_____________．
【答案】##37度
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)垂線的定義得到，則．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的定義，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
8． (2023·安徽·潛山市羅漢初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，將一副三角板重疊擺故，于點(diǎn)D，則的度數(shù)為______．
【答案】15°##15度
【分析】由題意可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，由垂直可得∠ADE=90°，則可判定AC∥DE，從而可得∠ACD=∠CDE=45°，即可求得∠BCD的度數(shù)．
【詳解】解：由題意得：∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠A=180°，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE=45°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故答案為：15°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對平行線的判定條件與性質(zhì)的掌握．
9． (2023·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點(diǎn)的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．
【答案】##60度
【分析】如圖所示，過點(diǎn)O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作，
∵光線，都是水平線，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
10． (2023·福建·平潭第一中學(xué)七年級期中）如圖（1）紙片ABCD（ADBC），將CD按如圖（2）所示沿著DE折疊至DC′，DC′與線段BC交于F，∠BFD=m，點(diǎn)E在線段BC上，若將AD按如圖（3）所示沿著DO折疊至DA′，且A′在線段DC的延長線上，點(diǎn)O在線段BC上，則∠ODE=__________．（用含m的式子表示）
【答案】
【分析】設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行線性質(zhì)可得∠ADF=180°-m，則∠ADC=180°-m+2x，由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)∠CDE=x，∠DCE=y，
由圖（1）折疊性質(zhì)可得：∠C’DE=∠CDE=x，
∵∠BFD=m，ADBC，
∴∠BFD+∠ADF=180°，
∴∠ADF=180°-m，
∴∠ADC=180°-m+2x，
由圖（2）折疊性質(zhì)可得：∠ADO=∠CDO=，
∴∠ODE=∠CDO-∠CDE=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及角的有關(guān)計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．
三、解答題
11． (2023·河北·威縣第三中學(xué)七年級期末）如圖，已知，，求證：．
(1)請將下面證明過程補(bǔ)充完整．
證明：∵（已知），
∴（ ）．
又∵（已知），
∴ （等角的補(bǔ)角相等），
∴（ ），
∴（ ）；
(2)若平分，于點(diǎn)，，求的度數(shù)．
【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判斷即可求解；
（2）根據(jù)垂直和平行，即可求出，且，只要求出的度數(shù)即可求出答案，根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)即可求出，由此即可求出答案．
（1）
證明：∵（已知），
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
又∵（已知），
∴（等角的補(bǔ)角相等），
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等）
故答案是：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠FAC=∠2；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
（2）
解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判斷，以及根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)問題，掌握平行線的性質(zhì)和判斷是解題的關(guān)鍵．
12． (2023·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學(xué)三模）如圖，已知，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)垂直得出，根據(jù)平行線的判定得出；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，由得出，根據(jù)平行線的判定得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，（垂直的定義），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行；
（2）證明：∵，
∴（兩直線平行，同位角相等），
又（已知），
∴（等量代換），
∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
13． (2023·河南·虞城縣第二初級中學(xué)七年級期中）如圖，與有公共頂點(diǎn)A，且點(diǎn)C在邊BE上，CD交AE于點(diǎn)F且平分．，．
(1)求證：．
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D=∠DCE，根據(jù)角平分線的定義得出∠ACD=∠DCE，求出∠BAC=∠ACD，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠E=∠DAE，∠BAC= ∠ACD，根據(jù)角平分線的定義得出∠ACD=∠DCE，求出， 即可求出答案．
（1）
證明：∵，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= ∠DCE，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC =∠D，
∴∠BAC=∠ACD，
∴；
（2）
解：∵，
∴∠E=∠DAE，∠D =∠DCE，
∵∠DAE=∠D，
∴∠E= ∠DCE，
由（1）知，
∴∠DCE=∠B，
又∵，
∴∠E=∠B=．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義等知識點(diǎn)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
14． (2023·江蘇·漣水縣第四中學(xué)七年級期末）如圖，F(xiàn)N交HE、MD于點(diǎn)A、點(diǎn)C，過C作射線CG交HE于點(diǎn)B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求證：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析；
(2)135°
【分析】（1）由對頂角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定義得到∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．
（1）
證明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°?∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度數(shù)是135°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
15． (2023·山東煙臺·期末）如圖把一個含有30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，，、兩點(diǎn)在平面上移動，請根據(jù)如下條件解答：
(1)如圖1，若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線的下方，，求的度數(shù)．
(2)如圖2，若點(diǎn)在平行直線，內(nèi)部，點(diǎn)在直線的下方，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3即可解決問題；
（2）過點(diǎn)作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后結(jié)合已知求出即可解決問題．
（1）
解：如圖1，由題意可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
如圖2，過點(diǎn)作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．
16． (2023·江蘇·泰興市濟(jì)川初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．
(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為 °，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；
(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，是否存在某時刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時間t．
【答案】(1)ABCD，理由見解析
(2)65或115
(3)在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．
【分析】（1）計(jì)算∠ABC+∠BCD的值便可得出結(jié)論；
（2）先計(jì)算出∠AOB，進(jìn)而得∠AOM+∠BON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，得出結(jié)果；
（3）分四種情況討論：當(dāng)0s≤t≤20s時，當(dāng)20s＜t≤40s時，當(dāng)40s＜t≤80s時，當(dāng)80s＜t≤120s時，根據(jù)角度大小變化關(guān)系鎖確ABCD時的t值．
（1）
解： ABCD．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3，
∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3），
∵∠BOC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠AOM+∠BON=180°-90°=40°=50°，
∵∠AOM=∠BON，
∴∠AOM=∠BON=25°，
∴∠COM=25°+40°=65°，∠CON=25°+90°=115°，
∴當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為65°或115°時，能使反射光線OB正好垂直照射到井底，
故答案為：65或115；
（3）
解：①當(dāng)0s≤t≤20s時，如下圖，
若ABCD，則∠BAC=∠ACD，
即120+3t=140+t，
解得t=10，
∴當(dāng)t=10s時ABCD；
②當(dāng)20s＜t≤40s時，如下圖，
有∠BAE＜90°＜∠ACD，則AB與CD不平行；
③當(dāng)40s＜t≤80s時，如下圖，
有∠BAC＜∠ACD，AB與CD不平行；
④當(dāng)80s＜t≤120s時，如下圖，
若ABCD，則∠BAC=∠DCF，
即3t-240=t-40，
解得t=100，
∴當(dāng)t=100s時，ABCD；
綜上可知，在射線AB轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，存在時間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論思想解決問題．