蘇科版七年級下冊第7章 平面圖形的認識（二）7.2 探索平行線的性質(zhì)鞏固練習

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一．平行公理及推論
（1）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．
（2）平行公理中要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．
（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
（4）平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時應(yīng)用．
二．平行線的性質(zhì)
1、平行線性質(zhì)定理
定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡單說成：兩直線平行，同位角相等．
定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
2、兩條平行線之間的距離處處相等．
三．平行線的判定與性質(zhì)
（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．
（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別
區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．
聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．
（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．
一．平行線的性質(zhì)（共13小題）
1．（2021秋?仁壽縣期末）如圖，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，則下列結(jié)論：
①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．
其中正確的個數(shù)有多少個？（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由于AB∥CD，則∠ABO＝∠BOD＝a°，利用平角等于得到∠BOC＝（180﹣a）°，再根據(jù)角平分線定義得到∠BOE＝（180﹣a）°；利用OF⊥OE，可計算出∠BOF＝a°，則∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可計算出∠POE＝a°，則∠POE＝∠BOF； 根據(jù)∠POB＝90°﹣a°，∠DOF＝a°，可知④不正確．
【解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正確；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正確；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正確；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，同位角相等．
2．（2021秋?宜賓期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（ ）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．
【解答】解：延長DC交AB與G，延長CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故選：C．
【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2021秋?安居區(qū)期末）一個小區(qū)大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，那么∠ABC+∠BCD＝ 270 度．
【分析】作CH⊥AE于H，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠BCH＝180°，∠DCH+∠CHE＝180°，則∠DCH＝90°，于是可得到∠ABC+∠BCD＝270°．
【解答】解：作CH⊥AE于H，如圖，
∵AB⊥AE，CH⊥AE，
∴AB∥CH，
∴∠ABC+∠BCH＝180°，
∵CD∥AE，
∴∠DCH+∠CHE＝180°，
而∠CHE＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°+90°＝270°．
故答案為270．
【點評】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
4．（2021秋?玄武區(qū)期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線
B．平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．兩點之間的所有連線中，線段最短
D．平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】根據(jù)平行公理及推理，平行線的判定以及線段的性質(zhì)判斷．
【解答】解：A、經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線，故本選項說法正確，不符合題意．
B、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項說法正確，不符合題意．
C、兩點之間的所有連線中，線段最短，故本選項說法正確，不符合題意．
D、在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、線段的性質(zhì)以及平行公理及推論，逐一分析三條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．
5．（2021?射陽縣二模）將一副直角三角板如圖擺放，點D落在AC邊上，BC∥DF，則∠1＝ 105 °．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠B＝60°，結(jié)合∠EDF＝45°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．
【解答】解：如圖，
根據(jù)題意得，∠EDF＝45°，
∵BC∥DF，∠B＝60°，
∴∠2＝∠B＝60°，
∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，
故答案為：105．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．
6．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖所示，AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，則∠BOF為（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
【分析】首先根據(jù)平分線的性質(zhì)求得∠DOA的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EOD的度數(shù)，然后根據(jù)垂直求得∠DOF，從而求得∠BOF的度數(shù)．
【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝50°，
∴∠DOA＝130°，∠DOB＝50°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝65°，
∵OF⊥OE，
∴∠DOF＝25°，
∴∠BOF＝25°，
故選：C．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)和已知角求得∠DOA的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2021秋?南京期末）一張長方形紙條折成如圖的形狀，若∠1＝50°，則∠2＝ 80° °．
【分析】由折疊可得，∠3＝∠1+2，再根據(jù)平角的定義，即可得到∠2的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
由折疊可知：∠3＝∠1+∠2，
∵∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝50°，
∴∠2＝80°，
故答案為80°．
【點評】本題考查了折疊性質(zhì)的應(yīng)用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
8．（2021?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，直線a∥b，將一直角三角形的直角頂點置于直線b上，若∠1＝27°，則∠2＝ 117 °．
【分析】由已知條件可求得∠BAD的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，
∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠BAD＝117°．
故答案為：117．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
9．（2021?廣陵區(qū)校級三模）已知：直線a∥b，將一塊含30°角（∠B＝30°）的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線b交于點D，若∠2＝20°，則∠1＝ 40 °．
【分析】過點C作CE∥直線a，由平行線的性質(zhì)可得∠ACE＝∠2＝20°，CE∥b，可求得∠DCE的度數(shù)，再次利用平行線的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：過點C作CE∥直線a，如圖所示：
由題意得∠ACD＝60°，
∵CE∥直線a，a∥b，∠2＝20°，
∴∠ACE＝∠2＝20°，CE∥b，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝40°，∠1＝∠DCE，
∴∠1＝40°．
故答案為：40．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．
10．（2021春?錫山區(qū)校級月考）如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝52°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．76°B．74°C．64°D．52°
【分析】先利用平行線的性質(zhì)求出∠BEF，再利用角平分線的性質(zhì)求出∠BEG，最后利用平行線的性質(zhì)得結(jié)論．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠BEF＝180°，∠BEG＝∠2．
∴∠BEF＝128°．
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠BEF＝64°．
∴∠2＝64°．
故選：C．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線，掌握角平分線的定義和“兩直線平行，內(nèi)錯角相等（同旁內(nèi)角互補）”是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2021秋?灌云縣期中）如圖，把一張長方形紙片ABCD沿EF折疊，點D與點C分別落在點D'和點C'的位置上，ED'與BC的交點為G，若∠EFG＝55°，則∠1為 70 度．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由四邊形ABCD是長方形，得AD∥BC，那么∠EFG＝∠DEF＝55°，從而得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°，進而解決此題．
【解答】解：由題意得：∠DEF＝∠GEF．
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC．
∴∠EFG＝∠DEF＝55°．
∴∠DEF＝∠GEF＝∠EFG＝55°．
∴∠DEG＝∠DEF+∠GEF＝55°+55°＝110°．
∴∠1＝180°﹣DEG＝180°﹣110°＝70°．
故答案為：70．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2021春?錫山區(qū)校級月考）如圖，點B、E分別在AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，AC∥DF，∠C＝∠D．
求證：∠1＝∠2．
【分析】利用平行線的性質(zhì)和已知先得到∠DBA＝∠C，再利用平行線的判定方法判定DB∥CE，最后利用平行線的性質(zhì)得結(jié)論．
【解答】證明：∵AC∥DF，
∴∠DBA＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠DBA＝∠C．
∴DB∥CE．
∴∠1＝∠2．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握“同位（內(nèi)錯）角相等，兩直線平行”“兩直線平行，同位角相等”是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2021秋?法庫縣期末）如圖，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，點D，E在射線OA，OC上，點P是射線OB上的一個動點，連接DP交射線OC于點F，設(shè)∠ODP＝x°．
（1）如圖1，若DE∥OB．
①∠DEO的度數(shù)是 20 °，當DP⊥OE時，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如圖2，若DE⊥OA，是否存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．
【分析】（1）①運用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，可得∠DEO的度數(shù)及x的值；②根據(jù)∠ODE、∠FDE的度數(shù)，可得x的值；
（2）分兩種情況進行討論：DP在DE左側(cè)，DP在DE右側(cè)，分別根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及直角的度數(shù)，可得x的值．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
當DP⊥OE時，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案為：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在這樣的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分兩種情況：
①如圖2，若DP在DE左側(cè)，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
當∠EFD＝4∠EDF時，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如圖3，若DP在DE右側(cè)，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴當∠EFD＝4∠EDF時，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
綜上所述，當x＝68或104時，∠EFD＝4∠EDF．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．解題時注意分類討論思想的運用．
二．平行線的判定與性質(zhì)（共4小題）
14．（2021春?江都區(qū)期中）如圖，已知∠2＝∠4，∠3＝∠B．
（1）試判斷∠AED與∠C的關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠1＝130°，∠5＝65°，求∠DGB的度數(shù)．
【分析】（1）據(jù)平行線的性質(zhì)定理以及判定定理即可解答；
（2）根據(jù)鄰補角的定義得出∠4＝50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝50°，∠B＝65°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．
【解答】解：（1）∠AED＝∠C，理由如下：
∵∠2＝∠4，
∴BD∥EF，
∴∠BDE+∠3＝180°，
∵∠3＝∠B，
∴∠BDE+∠B＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠C；
（2）∵∠1+∠4＝180°，∠1＝130°，
∴∠4＝50°，
∵∠2＝∠4，
∴∠2＝50°，
∵DE∥BC，
∴∠5＝∠B，
∵∠5＝65°，
∴∠B＝65°，
在△BDG，∠B+∠2+∠DGB＝180°，∠B＝65°，∠2＝50°，
∴∠DGB＝65°．
【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理并證明DE∥BC是解題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?太倉市期末）如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點A，C，AD平分∠BAC，交CD于點D，若∠1＝∠2，且∠ADC＝54°．
（1）直線AB、CD平行嗎？為什么？
（2）求∠1的度數(shù)．
【分析】（1）利用對頂角相等可得∠2＝∠3，進而得出∠1＝∠3，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得CD∥AB；
（2）利用平行線的性質(zhì)可得∠DAB＝∠ADC＝54°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)補角的定義可得∠2的度數(shù)，進而得出∠1的度數(shù)．
【解答】解：（1）直線AB、CD平行，理由如下：
如圖：
∵∠2＝∠3（對頂角相等），∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代換），
∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DAB＝∠ADC＝54°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠DAB＝108°，
∴∠2＝180°﹣∠BAC＝72°，
∴∠1＝∠2＝72°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵．
16．（2021秋?安居區(qū)期末）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分別為D、F，∠2+∠3＝180°，試說明：∠GDC＝∠B．請補充說明過程，并在括號內(nèi)填上相應(yīng)的理由．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ 垂直的定義 ），
∴EF∥AD（ 同位角相等兩直線平行 ），
∴ ∠1 +∠2＝180°（ 兩直線平行同旁內(nèi)角互補 ）．
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3（ 同角的補角相等 ），
∴AB∥ DG （ 內(nèi)錯角相等兩直線平行 ），
∴∠GDC＝∠B（ 兩直線平行同位角相等 ）．
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，垂直的定義，同角的補角相等知識一一判斷即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定義），
∴EF∥AD （同位角相等兩直線平行），
∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行同旁內(nèi)角互補），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的補角相等），
∴AB∥DG（內(nèi)錯角相等兩直線平行），
∴∠GDC＝∠B （兩直線平行同位角相等）．
故答案為：垂直的定義，同位角相等兩直線平行，∠1，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，同角的補角相等，DG，內(nèi)錯角相等兩直線平行，兩直線平行同位角相等．
【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
17．（2021春?宜興市月考）如圖①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：∠PBA＝ 120 °；
（2）如圖（1）所示，射線AM繞點A開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即按原速度回轉(zhuǎn)至AM位置，射線BP繞點B開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即按原速度回轉(zhuǎn)至BP位置．若AM轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，BP轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度，若射線BP先轉(zhuǎn)動30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動，在射線BP到達BQ之前，射線AM轉(zhuǎn)動幾秒，兩射線互相平行？
（3）如圖（2），若兩射線分別繞點A，B順時針方向同時轉(zhuǎn)動，速度同題（2），在射線AM到達AN之前，若兩射線交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．
【分析】（1）利用鄰補角的意義和平行線的性質(zhì)解答即可；
（2）利用分類討論的思想方法分當0＜t＜90時和當90＜t＜150時兩種情況討論解答：依據(jù)題意畫出圖形，分別用含t的代數(shù)式表示出∠MAM′，∠PBP′的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)列出方程解答即可；
（3）分別利用t的代數(shù)式表示出∠BAC，∠ABC的度數(shù)，再計算出∠BCD的度數(shù)后比較結(jié)果即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠BAM＝2∠BAN，∠BAM+∠BAN＝180°，
∴∠BAM＝120°．
∵PQ∥MN，
∴∠PBA＝∠BAM＝120°．
故答案為：120；
∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，
∵AM′∥BP′，
∴∠AM′B＝∠PBP′．
∴2t＝t+30．
解得：t＝30；
當90＜t＜150時，如圖，AM′和BP′為經(jīng)過t秒后AM，BP旋轉(zhuǎn)的位置，
（2）設(shè)射線AM轉(zhuǎn)動t秒，兩射線互相平行，
當0＜t＜90時，如圖，AM′和BP′為經(jīng)過t秒后AM，BP旋轉(zhuǎn)的位置，
則∠MAM′＝2t°，∠PBP′＝（t+30）°，
∵PQ∥MN，
則∠MAM′＝（360﹣2t）°，∠PBP′＝（t+30）°，
∵PQ∥MN，
∴∠BM′A＝∠MAM′＝2t°，
∵AM′∥BP′，
∴∠AM′B＝∠PBP′．
∴360﹣2t＝t+30．
解得：t＝110．
綜上所述，當射線AM轉(zhuǎn)動30秒或110秒時，兩射線互相平行．
（3）∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生變化，∠BAC＝2∠BCD．理由：
設(shè)射線AM，BP轉(zhuǎn)動時間為m秒，
∴∠BAC＝（2m﹣120）°，∠ABC＝（120﹣t）°，
∴∠ACB＝180°﹣（2m﹣120）°﹣（120﹣m）°＝（180﹣m）°．
∵∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣（180﹣m）°＝（m﹣60）°．
∵2m﹣120＝2（m﹣60），
∴∠BAC＝2∠BCD．
∴∠BAC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生變化，∠BAC＝2∠BCD．
【點評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，鄰補角的意義，利用分類討論的思想方法解答是解題的關(guān)鍵．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共8小題）
1．（2021秋?玄武區(qū)期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線
B．平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
C．兩點之間的所有連線中，線段最短
D．平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線平行
【分析】根據(jù)平行公理及推理，平行線的判定以及線段的性質(zhì)判斷．
【解答】解：A、經(jīng)過兩點，有且僅有一條直線，故本選項說法正確，不符合題意．
B、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項說法正確，不符合題意．
C、兩點之間的所有連線中，線段最短，故本選項說法正確，不符合題意．
D、在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、線段的性質(zhì)以及平行公理及推論，逐一分析三條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．
2．（2021?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將直尺與30°角的三角尺疊放在一起，若∠1＝55°，則∠2的大小是（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
【分析】根據(jù)已知可知∠3＝60°，∠1＝55°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得∠1+∠3+∠2＝180°，即可得出答案．
【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，
∴∠1+∠3＝115°，
∵AD∥BC，
∴∠1+∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．
故選：A．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2021春?澧縣期末）如圖，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，則下列說法正確的是（ ）
A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷求解即可．
【解答】解：∵BE∥CD，
∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，
∵∠2＝50°，∠3＝120°，
∴∠C＝130°，∠D＝60°，
∵AF∥BE，∠1＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，
∠F的值無法確定．
故選：D．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?如皋市二模）如圖，把一塊直角三角板的60°角的頂點放在直尺的一邊上，如果∠1＝55°，那么∠2的度數(shù)是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．75°
【分析】由兩直線平行，同位角相等，可求得∠3的度數(shù)，然后求得∠2的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
由題意可得，∠1＝∠3＝55°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣∠3
＝180°﹣60°﹣55°
＝65°．
故選：C．
【點評】主要考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，解此題的關(guān)鍵是能準確的從圖中找出關(guān)系角之間的數(shù)量關(guān)系，從而計算出結(jié)果．
5．（2021?高郵市模擬）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點M、N，MH⊥EF于點M，則圖中與∠BMH互余的角有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理和互余的定義解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DNM＝∠BMF，
∵∠BMF＝∠AME，∠DNM＝∠CNE，
∴∠BMF＝∠AME＝∠DNM＝∠CNE，
∵MH⊥EF，
∴∠FMH＝90°，
∴∠BMH與∠BMF互余，
∴與∠BMH互余的角有：∠BMF、∠AME、∠DNM、∠CNE共4個，
故選：D．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，互余的定義，對頂角的性質(zhì)，關(guān)鍵是找出與∠BMF相等的角．
6．（2021春?醴陵市期末）如圖，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若∠2＝∠C，則AE∥CDB．若AD∥BC，則∠1＝∠B
C．若AE∥CD，則∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，則AD∥BC
【分析】由兩條直線平行的判定和性質(zhì)定理逐項判定即可．
【解答】解：A：∵∠2＝∠C，
由同位角相等兩直線平行，
可得AE∥CD，
故A正確，
B：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
而∠2和∠B不一定相等，
故B錯誤，
C：∵AE∥CD，
由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，
可得：∠1+∠3＝180°，
故C正確，
D：∵∠1＝∠2，
由內(nèi)錯角相等兩直線平行，
可得：AD∥BC，
故D正確．
故選：B．
【點評】此題考查兩條直線平行的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是對性質(zhì)和判定定理的掌握和運用．
7．（2020秋?無錫期末）下列說法中：
①若兩條直線相交所形成的四個角中有三個角相等，則這兩條直線互相垂直；
②若AC＝BC，則C是線段AB的中點；
③在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行；
④兩點確定一條直線．
其中說法正確的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根據(jù)對頂角及互補角的概念判斷即可；②根據(jù)中點的定義判斷即可；③根據(jù)平行線的判定方法判斷即可；④根據(jù)兩點確定一條直線公理判斷即可．
【解答】解：①兩條直線相交成四個角，則這四個角中有2對對頂角．如果三個角相等，則這四個角相等，都是直角，所以這兩條直線垂直．故正確；
②若AC＝BC且三點在同一條直線上，則C是線段AB的中點，故原說法不正確；
③在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段所在的直線必平行，故原說法不正確；
④兩點確定一條直線，正確．
說法正確的有2個，
故選：B．
【點評】此題考查的是平行線的判定方法、線段中點的定義及對頂角的概念，掌握其性質(zhì)方法是解決此題關(guān)鍵．
8．（2021春?溧陽市期末）已知，如圖，∠1＝∠2＝∠3＝55°，則∠4的度數(shù)等于（ ）
A．115°B．120°C．125°D．135°
【分析】根據(jù)對頂角相等以及平行線的判定與性質(zhì)求出∠3＝∠6，即可得出∠4的度數(shù)．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝55°，
∴∠2＝∠5＝55°，
∴∠5＝∠1＝55°，
∴l(xiāng)1∥l2，
∴∠3＝∠6＝55°，
∴∠4＝180°﹣55°＝125°．
故選：C．
【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共8小題）
9．（2021?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，則∠3＝ 40° ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可得∠A+∠ACD＝180°，由∠1＝∠2，可得∠2的度數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠3＝∠2＝40°．
故答案為：40°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練應(yīng)用平行線的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2021?柳南區(qū)校級模擬）將一副三角板（含30°、45°、60°、90°角）按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1的度數(shù)為 75 度．
【分析】由平角等于180°結(jié)合三角板各角的度數(shù)，可求出∠2的度數(shù)，由直尺的上下兩邊平行，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠1的度數(shù)．
【解答】解：∵∠2+60°+45°＝180°，
∴∠2＝75°．
∵直尺的上下兩邊平行，
∴∠1＝∠2＝75°．
故答案為：75．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．
11．（2021春?江寧區(qū)月考）如圖，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，則∠A的度數(shù)為 130° ．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠BCD＝25°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACB＝∠BCD＝25°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，
∴∠ABC＝∠BCD＝25°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCD＝25°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，
故答案為：130°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2021春?常熟市期中）如圖，直線a∥b，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)是 70 °．
【分析】由鄰補角定義得出∠3＝70°，再由平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠3即可求解．
【解答】解：
∵∠1＝110°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝70°，
故答案為：70．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記″兩直線平行，內(nèi)錯角相等″是解題的關(guān)鍵．
13．（2021?泰州）如圖，木棒AB、CD與EF分別在G、H處用可旋轉(zhuǎn)的螺絲鉚住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)到與木棒CD平行的位置，則至少要旋轉(zhuǎn) 20 °．
【分析】由平行線的判定“同位角相等，兩直線平行”可知，∠EGB＝∠EHD時，AB∥CD，即∠EGB需要變小20°，即將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)20°即可．
【解答】解：當∠EGB＝∠EHD時，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要變小20°，即將木棒AB繞點G逆時針旋轉(zhuǎn)20°．
故答案為：20．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，熟知相關(guān)定理是解題基礎(chǔ)．
14．（2021春?吳中區(qū)月考）已知：a∥b，b∥c，則a∥c理由是 如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行 ．
【分析】直接根據(jù)平行公理即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵三條直線a、b、c，a∥b，b∥c，
∴a∥c（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．
故答案為：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．
【點評】本題考查的是平行公理的推論，熟知如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行是解答此題的關(guān)鍵．
15．（2020?天心區(qū)校級模擬）如圖∠1＝82°，∠2＝98°，∠3＝80°，則∠4＝ 80 度．
【分析】先根據(jù)鄰補角的定義求出∠1的鄰補角，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出a∥b，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求解即可．
【解答】解：如圖，∵∠1＝82°，
∴∠5＝180°﹣82°＝98°，
∵∠2＝98°
∴∠2＝∠5，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4，
∵∠3＝80°，
∴∠4＝80°．
故答案為：80．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，先求出∠1的鄰補角與∠2相等，判斷出a∥b是解題的關(guān)鍵．
16．（2019春?濱州期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝100°，則∠4＝ 80° ．
【分析】由∠1＝∠2，根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”得到AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠3+∠4＝180°，即∠4＝180°﹣∠3，把∠3＝100°代入計算即可．
【解答】解：如圖，
∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∴∠3+∠4＝180°，
而∠3＝100°，
∴∠4＝180°﹣100°＝80°．
故答案為80°．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
三．解答題（共8小題）
17．（2021春?姜堰區(qū)月考）閱讀下列推理過程，在括號中填寫依據(jù)．
已知：如圖，點D、E分別在線段AB、BC上，AC∥DE，DF∥AE，DF交BC于點F，AE平分∠BAC，求證：DF平分∠BDE．
證明：∵AE平分∠BAC（已知）．
∴∠1＝∠2 （ 角平分線的定義 ）．
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3 （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
∴∠2＝∠3 （ 等量代換 ）．
∵DF∥AE （ 已知 ），
∴∠2＝∠5 （ 兩直線平行，同位角相等 ）．
且∠3＝∠4 （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
∴∠4＝∠5 （ 等量代換 ）．
∴DF平分∠BDE （ 角平分線的定義 ）．
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠3，∠3＝∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2＝∠5，等量代換即可得到結(jié)論．
【解答】證明：∵AE平分∠BAC（已知），
∴∠1＝∠2（角平分線的定義），
∵AC∥DE（已知），
∴∠1＝∠3（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠2＝∠3（等量代換），
∵DF∥AE（已知），
∴∠2＝∠5，（兩直線平行，同位角相等），
且∠3＝∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∴∠4＝∠5（等量代換），
∴DF平分∠BDE（角平分線的定義）．
故答案為：角平分線的定義，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換，已知，兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換，角平分線的定義．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（2021春?姑蘇區(qū)期中）如圖1，已知AB∥CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足∠FPE＝60°．
（1）求∠AEP的度數(shù)；
（2）如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線EM從EA出發(fā)，以相同的速度繞E點按順時針方向旋轉(zhuǎn)至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設(shè)運動時間為t秒．
①當射線PN平分∠EPF時，求∠MEP的度數(shù)（0°＜∠MEP＜180°）；
②當直線EM與直線PN相交所成的銳角是60°時，則t＝ 或 ．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得答案；
（2）由角平分線的定義得∠EPN＝30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得答案；
（3）利用三角形的內(nèi)角和定理列出方程，通過解方程即可得到問題的答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，PF⊥CD，
∴PF⊥AB，
∴∠AMP＝90°，
∵∠FPE＝60°，
∴∠AEP＝150°；
（2）①當PN平分∠EPF時，∠EPN＝30°時，
運動時間t＝＝3（秒），
此時ME也運動了3秒，
∠AEM＝3×10＝30°，
∴∠MEP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
PN繼續(xù)運動至PF時，返回PN平分∠EPF時，運動時間至＝9（秒），此時ME也運動了9秒，
∠AEM＝9×10＝90°，
∴∠MEP＝180°﹣90°﹣30°＝60°；
②如圖3，
當0≤t≤6時，此時∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，
當150°﹣20t＝120°時，t＝，當150°﹣20t＝60°時，t＝，
當6＜t≤12時，此時∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝120°﹣10t，∠PEN＝30°，
∠PHE＝30°，不成立，
當12＜t≤15時，此時∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t﹣120°，∠PEN＝30°，
∠PHE＝270°﹣20t，
∠PHE＝270°﹣20t＝60°時，t＝（不合題意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合題意）
故答案為：或．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解決此題關(guān)鍵．
19．（2021春?東臺市月考）如圖，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠EFD＝56°，求∠D的度數(shù)．
【分析】題中已知∠EFD＝56°，需求出∠2的度數(shù)．根據(jù)平行，以及∠EFD的度數(shù)，可求得∠BEF的度數(shù)，進而根據(jù)∠1＝∠2求得∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EFD＝56°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFD＝124°；
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BEF＝62°；
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠2＝62°．
【點評】本題考查的知識點為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
20．（2019春?高淳區(qū)期中）在同一平面內(nèi)，如果兩條平行直線中的一條與第三條直線垂直，那么另一條直線也與第三條直線垂直．
結(jié)合所給圖形，寫出已知、求證，并給出證明．
已知：如圖， a∥b，a⊥l ．
求證： b⊥l ．
【分析】根據(jù)題意寫出已知，求證；由兩直線平行，同位角相等得到∠1＝∠2，由垂直的定義得到∠1＝90°，則∠2＝90°，則可判定b⊥l．
【解答】已知：如圖，a∥b，∴∠a⊥l，
求證：b⊥l．
證明：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵a⊥l，
∴∠1＝90°，
∴∠2＝90°，
∴b⊥l．
故答案為：a∥b，a⊥l；b⊥l．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)及垂直的定義和判定是解題的關(guān)鍵．
21．（2019春?銅山區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝152°，求∠BED的度數(shù)．
【分析】作FE∥AB，如圖，利用平行線的判定方法得CD∥EF，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+DEF＝180°，則可計算出∠BEF和∠DEF，然后計算它們的和即可．
【解答】解：作FE∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE+DEF＝180°，
∴∠BEF+∠DEF＝180°﹣130°+180°﹣152°＝78°，
即∠BED的度數(shù)為78°．
【點評】本題考查了平行線性質(zhì)定理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等． 簡單說成：兩直線平行，同位角相等；兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
22．（2021春?江都區(qū)校級期末）在數(shù)學課本中，有這樣一道題：
已知：如圖1，∠B+∠C＝∠BEC．
求證：AB∥CD．
（1）請補充下面證明過程．
證明：過點E，作EF∥AB，如圖2．
∴∠B＝∠ BEF （ 兩直線平行內(nèi)錯角相等 ）．
∵∠B+∠C＝∠BEC∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代換）．
∴∠ C ＝∠ FEC （等式性質(zhì)）．
∴EF∥ DC （ 內(nèi)錯角相等兩直線平行 ）．
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．
（2）請再選用一種方法，加以證明．
【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成證明過程；
(2)連接BC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠EBC+∠ABE+∠DCE+∠BCE＝180°,即ABC+∠BCD＝180°，由平行線的判定定理可得結(jié)論．
【解答】證明：(1)過點E，作EF∥AB，如圖2，
∴∠B＝∠BEF（兩直線平行 內(nèi)錯角相等），
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代換），
∴∠C＝∠FEC，
∴EF∥DC（內(nèi)錯角相等 兩直線平行），
∵EF∥AB，
∴AB∥CD．
故答案為：BEF，兩直線平行 內(nèi)錯角相等，C，F(xiàn)EC，DC，內(nèi)錯角相等 兩直線平行；
(2)證明：如圖1，連接BC,
∵∠B+∠C＝∠BEC,∠EBC+∠BEC+∠BCE＝180°,
∴∠EBC+∠ABE+∠DCE+∠BCE＝180°,
∴ABC+∠BCD＝180°,
∴AB∥CD．
【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是準確區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運用．
23．（2021春?江陰市校級月考）如圖，已知AD是∠BAC的平分線，∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，∠3與∠DAC相等嗎？為什么？
【分析】利用平行線的判定定理可得AD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠4+∠BAD＝180°，求出∠3＝∠BAD，根據(jù)角平分線的定義得出∠BAD＝∠DAC即可．
【解答】解：∠3＝∠DAC．
理由是：∵∠1＝∠2，
∴AD∥EF；
∴∠4+∠BAD＝180°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝∠BAD，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．
24．（2021春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，D是AC上一點，過D作DE∥BC交AB于E點，F(xiàn)是BC上一點，連接DF．若∠1＝∠AED．
（1）求證：DF∥AB．
（2）若∠1＝50°，DF平分∠CDE，求∠C的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)DE∥BC，得出∠AED＝∠B，又因為∠1＝∠AED，等量代換得∠B＝∠1，最后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可證明；
（2）根據(jù)DE∥BC，得出∠EDF＝∠1＝50°，再根據(jù)DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝50°，最后在△CDF中利用三角形內(nèi)角和等于180°即可求解．
【解答】解：（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
又∵∠1＝∠AED，
∴∠B＝∠1，
∴DF∥AB；
（2）∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠1＝50°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDF＝∠EDF＝50°，
在△CDF中，
∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
答：∠C的度數(shù)為80°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握題中各角之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．
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日期：2022/2/9 20:39:12；用戶：15921142042；郵箱：15921142042；學號：32447539
題組B 能力提升練
一．選擇題（共4小題）
1．（2021春?臨潼區(qū)期末）如圖，AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①∠DFE＝∠AEF；
②∠EMF＝90°；
③EG∥FM；
④∠AEF＝∠EGC．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】①正確．利用平行線的性質(zhì)即可證明．
②正確．證明∠MEF+∠MFE＝90°即可．
③正確．證明∠GEF＝∠MFE即可．
④錯誤，無法判斷．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF，∠DFE+∠BEF＝180°，故①正確，
∵ME平分∠BEF，MF平分∠DFE，
∴∠MEF＝∠BEF，∠MFE＝∠DFE，
∴∠MEF+∠MFE＝（∠BEF+∠DFE）＝90°，
∴∠EMF＝90°，故②正確，
∵EG平分∠AEF，
∴∠GEF＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠DFE，
∴∠GEF＝∠MFE，
∴EG∥MF，故③正確，
無法判斷∠AEF＝∠EGC，故④錯誤．
故選：C．
【點評】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
2．（2020春?邳州市期末）將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：
①如果∠2＝30°，則AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD＝180°；
③如果BC∥AD，則∠2＝30°；
④如果∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個判斷即可．
【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，故①正確；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；
∵BC∥AD，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③錯誤；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正確；
所以其中正確的結(jié)論有①②④，3個．
故選：C．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
3．（2019春?相城區(qū)期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義一一判斷即可．
【解答】解：∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC＝∠ACB，∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正確，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正確，
∵∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）
＝180°﹣（∠EAC+∠FCA）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，故④正確，
無法判定③正確，
故選：D．
【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
4．（2019春?海安市期中）下列說法，其中錯誤的有（ ）
①相等的兩個角是對頂角
②若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為鄰補角
③同位角相等
④垂線段最短
⑤同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有：相交、平行和垂直
⑥過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)對頂角，同位角，鄰補角定義，垂線的性質(zhì)，平行公理逐個判斷即可．
【解答】解：相等的兩個角不一定是對頂角，如圖：
∠1＝∠2，但不是對頂角；故①錯誤；
若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2不一定是鄰補角，如圖：
∠A+∠B＝180°，但∠A和∠B不是鄰補角，故②錯誤；
同位角不一定相等，如圖：
∠1和∠2是同位角，但是∠1和∠2不相等，故③錯誤；
垂線段最短，故④正確；
同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有：相交和平行，故⑤錯誤；
過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，故⑥正確；
即錯誤的有4個，
故選：D．
【點評】本題考查了對頂角，同位角，鄰補角定義，垂線的性質(zhì)，平行公理等知識點，能熟記知識點的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：語言和圖形相結(jié)合．
二．填空題（共8小題）
5．（2021秋?吳江區(qū)月考）如圖把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'處，∠AED'＝40°，則∠BFC′＝ 40° ．
【分析】根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，得∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．欲求∠BFC′，需求∠EFC、∠EFB．根據(jù)長方形的性質(zhì)，得AD∥BC，那么∠DEF＝∠BFE，∠EFC＝180°﹣∠DEF．欲求∠EFC、∠EFB，需求∠DEF，從而解決此題．
【解答】解：由題意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．
∵∠AED'＝40°，
∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．
∴∠DEF＝＝70°．
∵四邊形ABCD是長方形，
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．
∴∠EFC′＝110°．
∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．
故答案為：40°．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、圖形折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
6．（2021春?高郵市期末）如圖，∠MAN＝52°，過射線AM上一點C作CP∥AN，CB平分∠ACP，依次作出∠BCP的角平分線CB1，∠B1CP的角平分線CB2，∠Bn﹣1CP的角平分線CBn，其中點B、B1、B2、…Bn﹣1、Bn，都在射線AN上，若∠PCBn＝1°時，則n＝ 6 ．
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)求得∠PCBn的度數(shù)規(guī)律，然后代入求解．
【解答】解：∵CP∥AN，
∴∠ACP＝180°﹣∠MAN，
∵CB平分∠ACP，
∴∠PCB＝∠ACP＝（180°﹣∠MAN），
又∵CB1平分∠BCP，
∴∠PCB1＝∠PCB＝（180°﹣∠MAN），
..．
∴∠PCBn＝∠PCBn﹣1＝（180°﹣∠MAN），
∵∠MAN＝52°，∠PCBn＝1°，
∴（180°﹣52°）＝1°，
解得：n＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等，理解角平分線的概念，并通過探索發(fā)現(xiàn)題目數(shù)量間蘊含的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
7．（2021?南寧二模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為 50 °．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵直線m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，
故答案為：50
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2021春?饒平縣校級期末）把一張對邊互相平行的紙條折成如圖那樣，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則∠D′FD的度數(shù)為 64° ．
【分析】直接利用平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)得出∠C′EG＝64°，進而得出答案．
【解答】解：∵EF 是折痕，∠EFB＝32°，AC′∥BD′，
∴∠C′EF＝∠GEF＝32°，
∴∠C′EG＝64°，
∵CE∥FD，
∴∠D′FD＝∠EGB＝64°．
故答案為：64°．
【點評】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，正確把握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．（2021春?高郵市期中）如圖，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點E、F，EP⊥EF，與∠EFD的平分線FP相交于點P，且∠BEP＝20°，則∠EPF＝ 55°
【分析】根據(jù)平角等于180°求出∠AEF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EFD，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠EFP，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵EP⊥EF，
∴∠PEF＝90°，
∵∠BEP＝20°，
∴∠AEF＝180°﹣∠PEF﹣∠BEP＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝70°，
∵FP是∠EFD的平分線，
∴∠EFP＝∠EFD＝×70°＝35°，
在△EFP中，∠EPF＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故答案為：55°
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟記性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
10．（2019春?寶應(yīng)縣期末）已知，如圖，l1、l2被l3、l4所截，∠1＝55°，∠3＝32°，∠4＝148°，則∠2＝ 55 °．
【分析】首先證明l1∥l2，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：∵∠3＝32°，∠4＝148°，
∴∠3+∠4＝180°，
∴l(xiāng)1∥l2，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝55°，
∴∠2＝55°，
故答案為55．
【點評】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
11．（2017春?浦東新區(qū)期中）甲、乙、丙、丁四位同學一起研究一道數(shù)學題．如圖，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
甲說：“如果還知道∠CDG＝∠BFE，則能得到∠AGD＝∠ACB．”
乙說：“如果把甲的已知和結(jié)論倒過來，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”
丙說：“∠AGD一定大于∠BFE．”
丁說：“如果聯(lián)結(jié)GF，則GF一定平行于AB．”
他們四人中說法正確的有 甲、乙 ．
（填“甲”、“乙”、“丙”、“丁”）．
【分析】根據(jù)平行線的判定得出CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根據(jù)平行線的判定得出DG∥BC，即可判斷甲；根據(jù)∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CDG＝∠BCD，即可判斷乙，根據(jù)已知條件判斷丙和丁即可．
【解答】解：甲、乙正確；
理由是：∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠CDG＝∠BFE，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴DG∥BC，
∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正確；
∵CD⊥AB，F(xiàn)E⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠BFE＝∠BCD，
∵∠AGD＝∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG＝∠BCD，
∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正確；
丙和丁的說法根據(jù)已知不能推出，∴丙錯誤，丁錯誤；
故答案為：甲、乙．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
12．（2021春?鄞州區(qū)校級期末）如圖，圖1是長方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3，若圖3中∠CFE＝120°，則圖1中的∠DEF的度數(shù)是 20° ．
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，設(shè)∠DEF＝∠EFB＝α，圖2中根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出∠AEF的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠GFC，圖3中根據(jù)∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得α的值．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴設(shè)∠DEF＝∠EFB＝α，
圖2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2α，
圖3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝120．
解得α＝20．
即∠DEF＝20°，
故答案為：20°．
【點評】本題考查圖形的翻折變換以及平行線的性質(zhì)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．
三．解答題（共10小題）
13．（2021春?洪澤區(qū)期末）如圖，直線AB∥CD，MN⊥AB分別交AB，CD于M、N，射線MP、MQ分別從MA、MN同時開始繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，分別與直線CD交于點E、F，射線MP每秒轉(zhuǎn)10°，射線MQ每秒轉(zhuǎn)5°，ER，F(xiàn)R分別平分∠PED、∠QFC，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0＜t＜18）．
（1）①用含t的代數(shù)式表示：∠AMP＝ （10t） °，∠QMB＝ （90﹣5t） °；
②當t＝4時，∠REF＝ 70 °；
（2）當∠MEN+∠MFN＝120°時，求出t的值；
（3）試探索∠EFR與∠ERF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（4）∠PMN的角平分線與直線ER交于點K，直接寫出∠EKM的度數(shù)為 45°或135° ．
【分析】（1）①根據(jù)題意可難得出∠AMP的度數(shù)為10t°，∠QMB＝90°﹣5t°；
②根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠MEF＝∠AME，再結(jié)合ER是∠PED的平分線，即可求解；
（2）由平行線的性質(zhì)可得∠MEF＝∠AME＝10t°，再由MN⊥AB可得MN⊥CD，從而可得∠MFN＝90°﹣5t°，結(jié)合所給的條件∠MEN+∠MFN＝120°即可求解；
（3）∠EFR＝∠ERF，分別用含t的代數(shù)式表示出∠REF和∠EFR的度數(shù)，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和，可表示出∠ERF，進行比較即可求解；
（4）可分K在MN的左邊與K在MN的右邊兩種情況進行討論，再把△EKM的∠MEK和∠EMK的度數(shù)用含t的代數(shù)式表示出來，再利用三角形的內(nèi)角和求∠EKM的度數(shù)即可．
【解答】解：（1）①由題意得：∠AMP＝10t°，∠NMF＝5t°，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴∠QMB＝90°﹣∠NMF＝90°﹣5t°＝（90﹣5t）°；
故答案為：10t，（90﹣5t）；
②∵AB∥CD，
∴∠MEF＝∠AMP＝10t°，
∵ER是∠PED的平分線，
∴∠REF＝（180°﹣∠MEF）＝（180°﹣10t°）＝90°﹣5t°，
∴當t＝4時，∠REF＝90°﹣5×4°＝70°；
故答案為：70；
（2）∵AB∥CD，
∴∠MEN＝∠AMP＝10t°，
∵MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∵∠NMF＝5t°，
∴∠MFN＝90°﹣5t°，
∵∠MEN+∠MFN＝120°，
∴10t°+90°﹣5t°＝120°，解得：t＝6；
（3）∠EFR＝∠ERF，
理由：∵FR平分∠QFC，由（2）得∠MFN＝90°﹣5t°，
∴∠EFR＝（180°﹣∠MFN）＝（180°﹣90°+5t°）＝45°+t°，
∵由（1）得∠REF＝90°﹣5t°，
在△REF中，∠ERF＝180°﹣∠REF﹣∠EFR＝180°﹣（90°﹣5t°）﹣（45°+t°）＝45°+t°，
∴∠EFR＝∠ERF；
（4）①當K點在MN的左邊時，如圖所示：
由（2）得∠MEN＝10t°，
∴∠EMN＝90°﹣10t°，
∵MK是∠EMF的平分線，
∴∠EMK＝∠EMN＝45°﹣5t°，
由（1）得：∠REF＝90°﹣5t°，
∴∠MER＝∠REF+∠MEN＝90°﹣5t°+10t°＝90°+5t°，
在△MEK中，∠EKM＝180°﹣∠MER﹣∠EMK＝180°﹣（90°+5t°）﹣（45°﹣5t°）＝45°．
②當K點在MN的右邊時，如圖所示：
由題意可知：∠AMP＝10t°，則有∠MEN＝180°﹣∠AMP＝180°﹣10t°，
∠PMN＝10t°﹣90°，
∵MK平分∠PMN，ER平分∠PEF，∠PED＝∠MEN，
∴∠EMK＝∠PMN＝5t°﹣45°，∠MEK＝∠MEN＝∠PED＝90°﹣5t°，
在△MEK中，∠EKM＝180°﹣∠MEK﹣∠EMK＝180°﹣（90°﹣5t°）﹣（5t°﹣45°）＝135°．
故答案為：45°或135°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是對這些知識點的掌握與熟練應(yīng)用．
14．（2021春?盱眙縣期末）如圖1，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．
（1）求證：∠BED＝90°；
（2）如圖2，延長BE交CD于點H，點F為線段EH上一動點，∠EDF＝α，∠ABF的角平分線與∠CDF的角平分線DG交于點G，試用含α的式子表示∠BGD的大?。?br>（3）如圖3，延長BE交CD于點H，點F為線段EH上一動點，∠EBM的角平分線與∠FDN的角平分線交于點G，探究∠BGD與∠BFD之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論： 2∠BGD+∠BFD＝360° ．
【分析】（1）由AB∥CO得∠ABD+∠BDC＝180°，由角平分線的定義和等量代換可得：∠EBD+∠EDB＝90°，進一步即可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證得結(jié)論；
（2）當點G在AB、CD之間時，如圖2，由（1）的結(jié)論和角平分線的定義可推出2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α或2∠ABG+2∠CDG＝90°+α，過點C作GH∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠BGD＝∠ABG+∠CDG，進一步即可推出結(jié)論；如圖2﹣1，當點G在AB、CD下方時；如圖2﹣2，同樣的方法解答即可；
（3）如圖3，過點FG分別作FM∥AB、GM∥AB，則AB∥GM∥FN∥CD，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得∠BFD＝∠3+∠5，∠BGD＝∠4+∠6，然后利用角的和差整理變形即得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABD，
∴∠EBD＝∠ABD，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDB＝∠BDC，
∴∠EBD+∠EDB＝（∠ABD+∠BDC），
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠EBD+∠EDB）＝90°．
（2）解：如圖2，過點G作GH∥AB，
由（1）知：∠EBD+∠EDB＝90°，
又∵∠ABD+∠BDC＝180°，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
即∠ABE+α+∠FDC＝90°，
∵BG平分∠ABE，DG平分∠CDF，
∴∠ABE＝2∠ABG，∠CDF＝2∠CDG，
∴2∠ABG+2∠CDG＝90°﹣α，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD
∴∠ABG＝∠BGH，∠HGD＝∠CDG，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠ABG+∠CDG＝；
（3）如圖3，過點F、G分別作FM∥AB、GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GM∥FN∥CD，
∴∠3＝∠BFN，∠5＝∠DFN，∠4＝∠BGM，∠6＝∠DGM，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠3+∠5，
∠BGD＝∠BGM+∠DGM＝∠4+∠6，
∵BG平分∠FBP，DG平分∠FDQ，
∴∠4＝∠FBP＝（180°﹣∠3），
∠6＝∠FDQ＝（180°﹣∠5），
∴∠BFD+∠BGD＝∠3+∠5+∠4+∠6，
＝∠3+∠5+（180°﹣∠3）+（180°﹣∠5），
＝180°+（∠3+∠5），
＝180°+∠BFD，
整理得：2∠BGD+∠BFD＝360°．
故答案為：2∠BGD+∠BFD＝360°．
【點評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、平行公理的推論、角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和等知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2021春?淮北期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝80°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于點C，D．（推理時不需要寫出每一步的理由）
（1）求∠CBD的度數(shù)．
（2）當點P運動時，那么∠APB與∠ADB的大小關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請找出它們的關(guān)系并說明理由；若變化，請找出變化規(guī)律．
（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；
（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論；
（3）由平行線的性質(zhì)可得到∠ACB＝∠CBN＝50°+∠DBN，結(jié)合條件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝50°，可求得∠ABC的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ABP+∠PBN＝100°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝100°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°；
（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
當∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°，
∴∠ABC+∠DBN＝50°，
∴∠ABC＝25°．
【點評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)及整體思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
16．（2021春?廣陵區(qū)校級月考）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，結(jié)合圖，試探索這兩個角之間的關(guān)系．
（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE．∠1與∠2的關(guān)系是： ∠1＝∠2 ．
（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE．∠1與∠2的關(guān)系是： ∠1+∠2＝180° ．
（3）由（1）（2）你得出的結(jié)論是：如果 一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行 ，那么 這兩個角相等或互補 ．
（4）若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少30°，則求這兩個角度數(shù)．
【分析】（1）如圖1，根據(jù)AB∥EF，BC∥DE，即可得∠1與∠2有的關(guān)系；
（2）如圖2，根據(jù)AB∥EF，BC∥DE，即可得∠1與∠2的關(guān)系；
（3）由（1）（2）即可得出結(jié)論；
（4）設(shè)另一個角為x°，根據(jù)以上結(jié)論和一個角比另一個角的2倍少30°，列出方程即可求出這兩個角度數(shù)．
【解答】解：（1）∠1＝∠2．
理由：如圖1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
故答案為：∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如圖2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°；
故答案為：∠1+∠2＝180°；
（3）如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補．
故答案為：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，這兩個角相等或互補；
（4）設(shè)另一個角為x°，根據(jù)以上結(jié)論得：
2x﹣30＝x或2x﹣30+x＝180°，
解得：x＝30，或x＝70，
這兩個角度數(shù)為：30°、30°或110°，70°．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．
17．（2020秋?金牛區(qū)期末）如圖AB∥CD，∠B＝62°，EG平分∠BED，EG⊥EF，求∠CEF的度數(shù)．
【分析】求出∠DEG，證明∠DEG+∠CEF＝90°即可解決問題．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝62°，
∴∠BED＝∠B＝62°，
∵EG平分∠BED，
∴∠DEG＝∠BED＝31°，
∵EG⊥EF，
∴∠FEG＝90°，
∴∠DEG+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠DEG＝90°﹣31°＝59°．
【點評】本題考查平行線的判定知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
18．（2020秋?香坊區(qū)期末）如圖1是長方形紙帶，將長方形ABCD沿EF折疊成圖2，使點C、D分別落在點C1、D1處，再沿BF折疊成圖3，使點C1、D1分別落在點C2、D2處．
（1）若∠DEF＝20°，求圖1中∠CFE的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，求圖2中∠C1FC的度數(shù)；
（3）在圖3中寫出∠C2FE、∠EGF與∠DEF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEF+∠CFE＝180°，再求出答案即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEF+∠CFE＝180°，∠CFC1＝∠CGD1，再求出答案即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，設(shè)∠DEF＝x°，求出∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，根據(jù)FC1∥ED1求出∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，求出∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°即可．
【解答】解：（1）∵長方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEF+∠CFE＝180°
∵∠DEF＝20°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣20°＝160°；
（2）∵四邊形EDCF折疊得到四邊形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝20°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝20°+20°＝40°，
∵長方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠CGD1＝∠DEG＝40°
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FC＝∠CGD1＝40°；
（3）∠C2FE+∠DEF＝∠EGF，
理由如下：∵長方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EFB＝∠DEF，∠DEF+∠CFE＝180°，∠DEG+∠EGF＝180°，
設(shè)∠DEF＝x°，
∴∠EFB＝x°，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣x°，
∵四邊形EDCF折疊得到四邊形ED1C1F，
∴∠D1EF＝∠DEF＝x°，
∴∠DEG＝∠DEF+∠D1EF＝2x°，
∴∠EGF＝180°﹣∠DEG＝180°﹣2x°，
∵FC1∥ED1，
∴∠C1FG＝∠EGF＝180°﹣2x°，
∵四邊形GD1C1F折疊得到四邊形GD2C2F，
∴∠C2FG＝∠C1FG＝180°﹣2x°，∠C2FE＝∠C2FG﹣∠EFB＝180°﹣2x°﹣x°＝180°﹣3x°，
∴∠C2FE+∠DEF＝180°﹣3x°+x°＝180°﹣2x°＝∠EGF．
【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，能靈活運用平行線的性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．
19．（2021春?衡陽期末）已知AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，PF交AB于點G．
（1）如圖1，直接寫出∠P、∠PEB與∠PFD之間的數(shù)量關(guān)系： ∠P+∠PEB＝∠PFD ；
（2）如圖2，EQ、FQ分別為∠PEB與∠PFD的平分線，且交于點Q，試說明∠P＝2∠Q；
（3）如圖3，若∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請求出∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系；
（4）在（3）的條件下，若∠CFP＝72°，當點E在A、B之間運動時，是否存在PE∥FQ？若存在，請求出∠Q的度數(shù)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由補角性質(zhì)得∠P+∠PEB＝∠PGB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)及平行線性質(zhì)可得∠QEB+∠Q＝∠KFD，再由平分線的定義可得結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可得答案；
（4）根據(jù)角的關(guān)系得∠DFQ，∠PFQ的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE＝180°，∠PGE+∠BGB＝180°，
∴∠P+∠PEB＝∠PGB，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD，
∴∠P+∠PEB＝∠PFD．
故答案為：∠P+∠PEB＝∠PFD．
（2）∵在三角形EQK中，∠QEB+∠Q＝∠QKB，AB∥CD，
∴∠QKB＝∠KFD，
∴∠QEB+∠Q＝∠KFD，
∵EQ、FQ分別為∠PEB與∠PFD的平分線，
∴2∠QEB＝∠PEB，2∠KFD＝∠PFD，
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
∴∠P+2∠QEB＝2∠KFD，即：∠P＝2∠KFD﹣2∠QEB＝2∠Q，
（3）∠P＝3∠Q，理由如下：
由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，
由（2）知，∠Q+∠QEB＝∠QFD，
∵∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，
∴∠P＝3∠Q，
（4）∵∠CFP＝72°，
∴∠PFD＝108°，
∴∠DFQ＝∠PFD＝36°，∠PFQ＝108°﹣36°＝72°，
∵PE∥FQ，
∴∠EPF＝∠PFQ＝72°，
∵AB∥CD，
∴∠PGB＝∠PFD＝108°，
∴∠PEB＝∠PGB﹣∠EPF＝108°﹣72°＝36°，
∵∠BEQ＝∠PEB＝12°，
∴∠Q＝∠QKB﹣∠BEQ＝∠QFD﹣∠BEQ＝36°﹣12°＝24°，
∴存在PE∥FQ，∠Q＝24°．
【點評】此題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，能夠在解答過程中找準同位角、內(nèi)錯角是解決此題關(guān)鍵．
20．（2021春?臨淄區(qū)期末）如圖，AB∥CD，定點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，平行線AB，CD之間有一動點P．
（1）如圖1，當P點在EF的左側(cè)時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為 ∠AEP+∠PFC＝∠EPF ，如圖2，當P點在EF的右側(cè)時，∠AEP，∠EPF，∠PFC滿足數(shù)量關(guān)系為 ∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360° ．
（2）如圖3，當∠EPF＝90°，F(xiàn)P平分∠EFC時，求證：EP平分∠AEF；
（3）如圖4，QE，QF分別平分∠PEB和∠PFD，且點P在EF左側(cè)．
①若∠EPF＝60°，則∠EQF＝ 150° ；
②猜想∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）過點P作PG∥AB，利用平行線的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AEF+∠EFC＝180°，由三角形的內(nèi)角和可得∠PEF+∠EFP＝90°，可得出∠PEA+∠CFP＝90°，由角平分線的定義得∠EFP＝∠CFP，即可得出結(jié)論；
（3）①若當P點在EF的左側(cè)時，由（1）的結(jié)論可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD，∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，利用角平分線的定義即可得∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝150°；
②如圖3，由條件可得∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），由∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF＝360°．
【解答】解：（1）如圖1，過點P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG＝∠AEP，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG＝∠PFC，
∴∠AEP+∠PFC＝∠EPF；
如圖2，當P點在EF的右側(cè)時，過點P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠EPG+∠AEP＝180，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠FPG+∠PFC＝180°，
∴∠AEP+∠PFC+∠EPG+∠FPG＝360°，
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案為：∠AEP+∠PFC＝∠EPF，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠PEF+∠EFP＝90°，
∴∠PEA+∠CFP＝90°，
∵FP平分∠EFC，
∴∠EFP＝∠CFP，
∴∠PEF＝∠PEA，
∴EP平分∠AEF；
（3）①∵∠EPF＝60°，
∴∠PEB+∠PFD＝360°﹣60°＝300°，
∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠QFD＝ （∠PEB+∠PFD）＝×300°＝150°；
故答案為：150°；
②∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ＝∠PEB，∠QFD＝∠PFD，
則∠EPF＝180°﹣2∠BEQ+180°﹣2∠DFQ＝360°﹣2（∠BEQ+∠PFD），
∵∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的度數(shù)，是解此題的關(guān)鍵．
21．（2021春?丹陽市期末）如圖，∠1+∠2＝180°，∠EDF＝∠A．
（1）求證：DE∥AB；
（2）若DE⊥AC，∠ABE＝35°，則∠1＝ 125 °．
【分析】（1）利用平行線的判定和性質(zhì)一一判斷即可．
（2）利用平行線的性質(zhì)、DE⊥AC，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AC∥DF，
∴∠1＝∠CEB，
∵AC∥DF，
∴∠CED＝∠EDF，
∵∠EDF＝∠A．
∴∠A＝∠CED，
∴DE∥AB；
（2）∵DE⊥AC，∠ABE＝35°，
∴∠DEA＝∠CDE＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ABE＝∠DEF＝35°，
∵DE⊥AC，
∴∠2＝90°﹣∠DEF＝90°﹣35°＝55°，
∵∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣55°＝125°，
故答案為：125．
【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)、鄰補角等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用∠CED＝∠EDF解決問題，屬于中考?？碱}型．
22．（2021春?鼓樓區(qū)期末）珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．
（1）填空：∠BAN＝ 60 °；
（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？
（3）如圖3，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN之前，若兩燈發(fā)出的射線AC與BC交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0＜t＜90時，根據(jù)2t＝1?（30+t），可得t＝30；當90＜t＜150時，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；
（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM＝2∠BAN，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案為：60；
（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，
①當0＜t＜90時，如圖1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1?（30+t），
解得 t＝30；
②當90＜t＜150時，如圖2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
綜上所述，當t＝30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會變化．
【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．