蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和課后復(fù)習(xí)題

這是一份蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和課后復(fù)習(xí)題，共26頁(yè)。
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例題】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考點(diǎn)一 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考點(diǎn)二 正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考點(diǎn)三 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考點(diǎn)四 正多邊形的外角問(wèn)題】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考點(diǎn)五 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例題】
【考點(diǎn)一 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題】
例題： (2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則此多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
2． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．八邊形B．七邊形C．六邊形D．五邊形
【考點(diǎn)二 正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題】
例題： (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是900度，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．正六邊形B．正七邊形C．正八邊形D．正九邊形
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．不確定
2． (2023秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)香江育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的4倍，則正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考點(diǎn)三 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】
例題： (2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)多邊形被截取一個(gè)角后，內(nèi)角和變?yōu)?620°，則原多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______．
2． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為 ______________．
【考點(diǎn)四 正多邊形的外角問(wèn)題】
例題： (2023秋·天津西青·八年級(jí)校考期中）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為1800°，則邊數(shù)為_(kāi)__，它的每一個(gè)外角等于___．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東濱州·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為，則邊數(shù)n為_(kāi)_____．內(nèi)角和度數(shù)為_(kāi)_________．
2． (2023秋·遼寧大連·八年級(jí)?？计谀┮阎粋€(gè)正多邊形的外角為20°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)___．
【考點(diǎn)五 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】
例題： (2023秋·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10m后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進(jìn)10m后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，一共走了__________m．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小聰從點(diǎn)出發(fā)，先向前走20m，接著向左轉(zhuǎn)30°，然后他繼續(xù)再向前走20m，又向左轉(zhuǎn)30°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，當(dāng)他走回點(diǎn)時(shí)共走的路程是______．
2． (2023秋·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某人從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)5m到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進(jìn)5m，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)α，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了60m，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為_(kāi)_______．
【考點(diǎn)六 多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】
例題： (2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┒噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都等于，從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，可以將該多邊形分成_________個(gè)三角形．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是____________．
（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5.5倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是____________．
2． (2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)角度，再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)角度，…照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度為_(kāi)__________度；小明所走路線形成的多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)__________ 度．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1． (2023秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．6D．7
2． (2023秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10B．8C．6D．4
3． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一束平行太陽(yáng)光照射到正六邊形上，若，則的大小為（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
4．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面上將邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊放在一起，則（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
5． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在一個(gè)凸n邊形的紙板上切下一個(gè)三角形后，剩下的是一個(gè)內(nèi)角和為的多邊形，則n的值為（ ）
A．只能為13B．只能為14C．只能為15D．以上都不對(duì)
6． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若 ， ， ， 的外角的度數(shù)和為，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7． (2023秋·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021邊形的外角和等于___________．
8． (2023秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則該正多邊形的內(nèi)角和等于___________度．
9． (2023秋·山西朔州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則_________．
10． (2023秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_(kāi)_______．
11． (2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知，正五邊形的頂點(diǎn)、在射線上，頂點(diǎn)在射線上，則_____度．
12． (2023秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形邊數(shù)為_(kāi)___；其中邊數(shù)最少的原多邊形從一頂點(diǎn)出發(fā)，能做_______條對(duì)角線．
三、解答題
13． (2023秋·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n．
(1)若，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和；
(2)若這個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比一個(gè)四邊形的外角和多，求n的值．
14． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，的平分線交于點(diǎn)E．
(1)若，則＝ °；
(2)若，求的大?。?br>15． (2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在六邊形中，．
(1)求證：．
(2)求的度數(shù)．
16． (2023秋·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）探究一：已知：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角．
試探究與的數(shù)量關(guān)系_____(即列出一個(gè)含有，，的等式，直接寫(xiě)出答案即可)；
探究二：已知：如圖2，在中，分別平分和，求：與的數(shù)量關(guān)系；
探究三：若將探究2中的改為任意四邊形呢？
即：如圖3，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系．
專題06 多邊形的內(nèi)角和與外角和壓軸題五種模型全攻略
【考點(diǎn)導(dǎo)航】
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例題】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考點(diǎn)一 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考點(diǎn)二 正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考點(diǎn)三 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考點(diǎn)四 正多邊形的外角問(wèn)題】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考點(diǎn)五 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例題】
【考點(diǎn)一 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題】
例題： (2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】n邊形的內(nèi)角和為，列出方程解出n的值即可．
【詳解】解：多邊形的內(nèi)角和是，
，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了求n邊形的內(nèi)角和公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記求n邊形的內(nèi)角和公式．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，則此多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
【答案】B
【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式，列方程求解即可，邊形的內(nèi)角和為．
【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理得：
，
解得：．
所以此多邊形的邊數(shù)為10邊．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和的公式．
2． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．八邊形B．七邊形C．六邊形D．五邊形
【答案】C
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是，得到關(guān)于n的方程組，就可以求出邊數(shù)n．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，由題意知，
，
∴，
∴該多邊形的邊數(shù)是六邊形．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)二 正多邊形的內(nèi)角問(wèn)題】
例題： (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是900度，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．正六邊形B．正七邊形C．正八邊形D．正九邊形
【答案】B
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和等于，列出方程，解出即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，
則有，
解得：，
這個(gè)多邊形的邊數(shù)為7．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等量關(guān)系列出方程從而解決問(wèn)題．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．4B．5C．6D．不確定
【答案】B
【分析】n邊形的內(nèi)角和公式為，由此列方程求邊數(shù)n．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
則，
解得，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為5，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解題關(guān)鍵在于熟練掌握公式．
2． (2023秋·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)香江育才實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的4倍，則正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】設(shè)該正多邊形的一個(gè)外角為x，根據(jù)正多邊形的外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)列方程求解x，再根據(jù)正多邊形的外角相等且外角和為360°即可求解．
【詳解】解：設(shè)該正多邊形的一個(gè)外角為x，
根據(jù)題意，得，
解得：，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和和內(nèi)角和，熟知正多邊形的外角和相鄰內(nèi)角互補(bǔ)是解答的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)三 多邊形截角后的內(nèi)角和問(wèn)題】
例題： (2023秋·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，則原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【答案】A
【分析】首先求得內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)是則，
解得：．
∵一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后，變成的多邊形可能比原來(lái)少一邊，也可能相同，也可能多一邊；
∴原來(lái)多邊形的邊數(shù)可能是9或10或11
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，理解分三種情況是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)多邊形被截取一個(gè)角后，內(nèi)角和變?yōu)?620°，則原多邊形的邊數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】10或11或12
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，先計(jì)算出截取之后的邊數(shù)，再進(jìn)行分類討論即可．
【詳解】解：設(shè)截取后多邊形的邊數(shù)為n，
，解得：，
，．
故答案為：10或11或12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式以及掌握一個(gè)多邊形截取一個(gè)角后邊的數(shù)量可能會(huì)增加一條，可能不變，也可能減少一條．
2． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，那么原多邊形的邊數(shù)為 ______________．
【答案】5或6或7
【分析】首先求得內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)．
【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)是n，
則，
解得：．
∵一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變，
∴原多邊形的邊數(shù)可能為5或6或7．
故答案是：5或6或7．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，知道一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變，是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)四 正多邊形的外角問(wèn)題】
例題： (2023秋·天津西青·八年級(jí)校考期中）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為1800°，則邊數(shù)為_(kāi)__，它的每一個(gè)外角等于___．
【答案】 12 30°
【分析】根據(jù)題意求得正多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求得答案
【詳解】解：∵一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為1800°，即
∴
由
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和和外角和公式，根據(jù)內(nèi)角和公式求得邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東濱州·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為，則邊數(shù)n為_(kāi)_____．內(nèi)角和度數(shù)為_(kāi)_________．
【答案】 9 ##1260度
【分析】根據(jù)多邊形的外角和為，正多邊形每個(gè)外角都相等，即可求出n的值，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為，即可進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵該正多邊形的每個(gè)外角都為，
∴，
∴該多邊形的內(nèi)角和為：，
故答案為：9，．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的外角和以及內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和為，正多邊形每個(gè)外角都相等；多邊形的內(nèi)角和為．
2． (2023秋·遼寧大連·八年級(jí)校考期末）已知一個(gè)正多邊形的外角為20°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)___．
【答案】18
【分析】先思考正多邊形的外角和為360°，再根據(jù)一個(gè)外角為20°，即可求出正多邊形的邊數(shù)即可．
【詳解】正多邊形的邊數(shù)是： ．
故答案為：18．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)五 多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】
例題： (2023秋·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明在操場(chǎng)上從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10m后向左轉(zhuǎn)40°，再沿直線前進(jìn)10m后，又向左轉(zhuǎn)40°，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，一共走了__________m．
【答案】90
【分析】由題意可知小亮所走的路線為一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和為360度即可求出答案．
【詳解】解：∵，
∴他需要走9次才會(huì)回到原來(lái)的起點(diǎn)，即一共走了（米）．
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理．解題的關(guān)鍵是理解任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）小聰從點(diǎn)出發(fā)，先向前走20m，接著向左轉(zhuǎn)30°，然后他繼續(xù)再向前走20m，又向左轉(zhuǎn)30°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，當(dāng)他走回點(diǎn)時(shí)共走的路程是______．
【答案】240m##240米
【分析】根據(jù)題意，小聰走過(guò)的路是正多邊形，先用360°除以30°求出邊數(shù)，然后再乘以20米即可．
【詳解】解：小聰每次都是走20m后向左轉(zhuǎn)30°，
小聰走過(guò)的路線是正多邊形，且正多邊形的外角是30°，
正多邊形的邊數(shù)，
當(dāng)他走回點(diǎn)時(shí)共走的路程是，
故答案為：240m．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和定理：任何一個(gè)多邊形的外角和都是360°．
2． (2023秋·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，某人從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)5m到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)的角度為α，再沿直線前進(jìn)5m，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)α，照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)時(shí)，他共走了60m，則每次旋轉(zhuǎn)的角度α為_(kāi)_______．
【答案】##30度
【分析】由題意可知此人的前行路線是一個(gè)正多邊形，所求α為多邊形的外角，首先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和得到α的度數(shù)．
【詳解】解：由題意得：正多邊形的周長(zhǎng)為60m，邊長(zhǎng)為5m
∴正多邊形邊數(shù)為，此人前行路線為正十二邊形
∵多邊形的外角和為，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形外角和定理，解題關(guān)鍵是牢記多邊形的外角和為．
【考點(diǎn)六 多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】
例題： (2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┒噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角都等于，從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，可以將該多邊形分成_________個(gè)三角形．
【答案】
【分析】已知多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，則外角為，根據(jù)多邊形的外角和為，由此即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的邊數(shù)即可求解．
【詳解】解：多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，
∴多邊形的外角為，根據(jù)多邊形外角和定理得，邊數(shù)為，即多邊形為五邊形，
∴從該多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，可以將該多邊形分成個(gè)三角形，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和與外角和綜合，對(duì)角線知識(shí)，掌握多邊形的外角和定理，對(duì)角線知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1． (2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)是____________．
（2）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5.5倍，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是____________．
【答案】 ##度 13
【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行求解即可；
（2）先根據(jù)多邊形外角和為360度求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行求解即可
【詳解】解：（1），
∴十二邊形的內(nèi)角和度數(shù)是，
故答案為：；
（2）∵一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的5.5倍，
∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和和外角和，熟知多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和為360度是解題的關(guān)鍵．
2． (2023秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)8米到達(dá)點(diǎn)B后向左旋轉(zhuǎn)角度，再沿直線前進(jìn)8米，到達(dá)點(diǎn)C后，又向左旋轉(zhuǎn)角度，…照這樣走下去，第一次回到出發(fā)地點(diǎn)A時(shí)，他共走了72米，則每次旋轉(zhuǎn)的角度為_(kāi)__________度；小明所走路線形成的多邊形的內(nèi)角和為_(kāi)__________ 度．
【答案】 40
【分析】根據(jù)共走了72米，每前進(jìn)8米左轉(zhuǎn)一次可求得左轉(zhuǎn)的次數(shù)，則已知多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)外角和及內(nèi)角和公式，計(jì)算左轉(zhuǎn)的角度及內(nèi)角和即可．
【詳解】解：向左轉(zhuǎn)的次數(shù) (次)，
則左轉(zhuǎn)的角度是，
這個(gè)多邊形是9邊形，
內(nèi)角和為：

故答案是：40，1260．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和定理與內(nèi)角和公式，熟練掌握和運(yùn)用多邊形的外角和定理與內(nèi)角和公式是解決本題的關(guān)鍵．
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、選擇題
1． (2023秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．8B．9C．6D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，依此列方程可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，
則，
解得．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．
2． (2023秋·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于外角和，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和等于外角和列方程解答即可．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則
，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形內(nèi)角和與外角和的計(jì)算，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式及外角和是解題的關(guān)鍵．
3． (2023秋·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一束平行太陽(yáng)光照射到正六邊形上，若，則的大小為（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
【答案】B
【分析】如圖，先標(biāo)注各點(diǎn)，先求解，再證明，最后利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：如圖，先標(biāo)注各點(diǎn)，
由正六邊形可得：，
∵，，
∴，
∴，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的內(nèi)角和與外角和問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，利用正多邊形的外角的性質(zhì)求解正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角是解本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面上將邊長(zhǎng)相等的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一邊重合并疊放在一起，則（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
【答案】A
【分析】首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，分別求出正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少，然后分別求出的度數(shù)是多少，進(jìn)而求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：正三角形的每個(gè)內(nèi)角是：，
正方形的每個(gè)內(nèi)角是：，
正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是：
，
正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是：
，
則
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）n邊形的內(nèi)角和且n為整數(shù)）．（2）多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無(wú)論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．
5． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在一個(gè)凸n邊形的紙板上切下一個(gè)三角形后，剩下的是一個(gè)內(nèi)角和為的多邊形，則n的值為（ ）
A．只能為13B．只能為14C．只能為15D．以上都不對(duì)
【答案】D
【分析】在一個(gè)凸邊形的紙板上切下一個(gè)三角形，則所得新的多邊形的邊可能增加一個(gè)，也可能不變，也可能減少一個(gè)，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：設(shè)一個(gè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)為，則
，解得．
在一個(gè)凸邊形的紙板上切下一個(gè)三角形，分三種情況：
①若新多邊形的邊增加一個(gè)，則的值為13；
②若新多邊形的邊不變，則的值為14；
③若新多邊形的邊減少一個(gè)，則的值為15．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是理解在一個(gè)凸邊形的紙板上切下一個(gè)三角形，則所得新的多邊形的邊可能增加一個(gè)，也可能不變，也可能減少一個(gè)．
6． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，七邊形中，，的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，若 ， ， ， 的外角的度數(shù)和為，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，根據(jù)多邊形的外角和等于，得 ,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得，那么．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得．
【詳解】解：如圖．
由題意得：，
，
，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的外角、多邊形的外角和等于、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形的外角、多邊形的外角和等于、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
7． (2023秋·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021邊形的外角和等于___________．
【答案】360°##360度
【分析】根據(jù)多邊形外角和可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：2021邊形的外角和等于360°；
故答案為360°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和都為360°是解題的關(guān)鍵．
8． (2023秋·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則該正多邊形的內(nèi)角和等于___________度．
【答案】
【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度，每個(gè)外角都相等，即可求得多邊形的邊數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和定理即可求得內(nèi)角和．
【詳解】解：正多邊形的邊數(shù)是：，
則正多邊形的內(nèi)角和是：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理以及多邊形的外角和定理，注意多邊形的外角和不隨邊數(shù)的變化而變化，因而把求多邊形內(nèi)角的計(jì)算轉(zhuǎn)化為外角的計(jì)算，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便．
9． (2023秋·山西朔州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則_________．
【答案】##240度
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，是多邊形的邊數(shù)，即可求解．
【詳解】解：四邊形的內(nèi)角和為，即，，
∴，
∵剪去后變成五邊形，
∴五邊形的內(nèi)角和為，即，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和定理，掌握多邊形內(nèi)角定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
10． (2023秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】##1800度
【分析】設(shè)正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)為x，則與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)列出方程得到，再根據(jù)多邊形的外角和為，得到出多邊形的邊數(shù)為12，最后利用多邊形的內(nèi)角和公式即可計(jì)算該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)正多邊形的每個(gè)外角度數(shù)為x，則與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為，
，
，
這個(gè)多邊形的每個(gè)外角是，
該正多邊形的邊數(shù)為，
該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角，多邊形外角和，多邊形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式和多邊形外角和等于．
11． (2023秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，已知，正五邊形的頂點(diǎn)、在射線上，頂點(diǎn)在射線上，則_____度．
【答案】
【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形，掌握多邊形內(nèi)角和定理、正多邊形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12． (2023秋·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形邊數(shù)為_(kāi)___；其中邊數(shù)最少的原多邊形從一頂點(diǎn)出發(fā)，能做_______條對(duì)角線．
【答案】 15，16或17
【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1，少1三種情況進(jìn)行討論；根據(jù)n邊形，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引條對(duì)角線解答即可．
【詳解】設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，
則，
解得，
①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為15，
②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為16，
③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為17，
所以多邊形的邊數(shù)可以為15，16或17．
從十五邊形的一頂點(diǎn)出發(fā)，能作的對(duì)角線的條數(shù)為：（條）．
故答案為：15，16或17；12．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理、多邊形的對(duì)角線，解題的關(guān)鍵在于截去一個(gè)角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1，少1，有這么三種情況．
三、解答題
13． (2023秋·河北邯鄲·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)為n．
(1)若，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和；
(2)若這個(gè)多邊形的內(nèi)角和的比一個(gè)四邊形的外角和多，求n的值．
【答案】(1)；
(2)12．
【分析】（1）把，代入多邊形內(nèi)角和公式求解即可．
（2）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式及多邊形外角和為，列出一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為．
（2）由題意，得，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和問(wèn)題，一元一次方程應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是牢記多邊形的內(nèi)角和與外角和．
14． (2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，的平分線交于點(diǎn)E．
(1)若，則＝ °；
(2)若，求的大?。?br>【答案】(1)
(2)40°
【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和360°以及，可求．
（2）因?yàn)?，所以，進(jìn)而可求出，再根據(jù)平分可求出，然后利用四邊形內(nèi)角和可求出．
【詳解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
故答案為：．
（2）∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和，結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵．
15． (2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在六邊形中，．
(1)求證：．
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可證即可證明；
（2）先證明，再根據(jù)六邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
16． (2023秋·天津河西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）探究一：已知：如圖1，與分別為的兩個(gè)外角．
試探究與的數(shù)量關(guān)系_____(即列出一個(gè)含有，，的等式，直接寫(xiě)出答案即可)；
探究二：已知：如圖2，在中，分別平分和，求：與的數(shù)量關(guān)系；
探究三：若將探究2中的改為任意四邊形呢？
即：如圖3，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
探究二：根據(jù)角平分線的定義可得，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解
探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【詳解】解：探究一：∵，，
∴；
故答案為：；
探究二：∵分別平分和，
∴，，
∴
；
探究三：∵分別平分和，
∴，，
∴
．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題．