蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.2 探索平行線的性質(zhì)同步練習(xí)題

這是一份蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.2 探索平行線的性質(zhì)同步練習(xí)題，共26頁(yè)。
1．掌握平行線的性質(zhì)，并能依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；
2．了解平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，理解兩條平行線的距離的概念；
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).
特別說(shuō)明：
（1）“同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提 “兩直線平行”．
(2)從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性質(zhì)．
要點(diǎn)二、兩條平行線的距離
同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線
的距離．
特別說(shuō)明：
（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是兩條平行線的距離．
（2） 兩條平行線的位置確定后，它們的距離就是個(gè)定值，不隨垂線段的位置的改變而改變，即平行線間的距離處處相等．
【典型例題】
類(lèi)型一、平行線的性質(zhì)??同位（內(nèi)錯(cuò)）相等??同旁內(nèi)角互補(bǔ)??兩直線平行
1．閱讀下列推理過(guò)程，在括號(hào)中填寫(xiě)理由．
如圖，已知，，，試證明：．
解：，（已知），
（______）
____________（______）
（______）
又（已知），
______（______）
（______）
【答案】垂直的定義；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可．
解：，（已知），
∴（垂直的定義），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又（已知），
∴（等量代換），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
故答案為：垂直的定義；；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】將下列證明過(guò)程及依據(jù)補(bǔ)充完整．
如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且，，求證：平分
證明：∵平分（已知），
∴（角平分線的定義）．
∵（已知），
∴（ ）
∴（等量代換），
∵（已知），
∴（ ）
（ ）
∴_____=______（等量代換），
∴平分（ ）
【答案】?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；；；角平分線的定義．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．
證明：∵平分（已知），
∴（角平分線的定義）．
∵（已知），
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴（等量代換），
∵（已知），
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
（兩直線平行，同位角相等）
∴=（等量代換），
∴平分（角平分線的定義）
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同位角相等；；；角平分線的定義．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和平行線的判定在幾何證明中的應(yīng)用，明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2】填空，將本題補(bǔ)充完整．
如圖，已知EFAD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．將求∠AGD的過(guò)程填寫(xiě)完整．
解：∵EFAD（已知）
∴∠2＝ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝ （等量代換）
∴ABGD（ ）
∴∠BAC+ ＝180°（ ）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝ °
【答案】∠3；兩直線平行，同位角相等；∠3；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠AGD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；115°
【分析】由EFAD，可得∠2＝∠3，由等量代換可得∠1＝∠3，從而得到DGBA，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解．
解：∵EFAD（已知）
∴∠2＝∠3（兩直線平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代換）
∴ABGD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴∠BAC＋∠AGD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝115°．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)定理；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的應(yīng)用．
2．如圖，已知，，．

求證：；
求證：．
【分析】（1）根據(jù)垂直得出，根據(jù)平行線的判定得出；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，由得出，根據(jù)平行線的判定得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．
（1）證明：∵，，
∴，（垂直的定義），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行；
（2）證明：∵，
∴（兩直線平行，同位角相等），
又（已知），
∴（等量代換），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 如圖，已知ABCD，BC平分∠ABD交AD于點(diǎn)E．
證明：∠1=∠3；
若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠CDA=34°，求∠3的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)∠3=28°．
【分析】（1）由角平分線的定義得到∠1=∠2，由ABCD可得∠2=∠3，根據(jù)等量代換可得∠1=∠3；
（2）由垂直的定義得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行線的性質(zhì)得出∠ABD=56°，根據(jù)角平分線的定義即可得解．
（1）證明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵ABCD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3；
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵ABCD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2=∠ABD=×56°=28°，
∵∠1=∠3，
∴∠3=28°．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．
【變式2】P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，射線PD//AB，射線PE//AC，連接BC，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)E在射線AB上時(shí)，
(1)補(bǔ)全圖形；
(2)猜想∠DPE與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析； (2)∠DPE+∠A=180°，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題中的要求直接補(bǔ)全圖形即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，等量代換即可證得結(jié)論．
（1）解：補(bǔ)全圖形，如下圖所示：

（2）解：．
理由如下：
，
，
,
，即．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
類(lèi)型二、平行線的性質(zhì)??由平行線性質(zhì)探索角的關(guān)系
3．如圖：
若，猜想圖①中，、與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
若，如圖②，直接寫(xiě)出、與之間的數(shù)量關(guān)系： ．
學(xué)以致用：一個(gè)小區(qū)大門(mén)欄桿的平面示意圖如圖所示，垂直地面于，平行于地面，若，則 ．
【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)；(3)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作；通過(guò)平行線的性質(zhì)倒角即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作；根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)列出等式求解；
（3）由（2）中的結(jié)論計(jì)算即可；
（1）解：；理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)作；

∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：；理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)作；

∵
∴
∴，
∴
（3）解：由（2）可知：
∵
∴
∴
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)以及傳遞性；熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】如圖，已知三角形的頂點(diǎn)，分別在直線和上，且．若，．
當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
設(shè)，，求和的數(shù)量關(guān)系（用含，的等式表示）．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作，可得，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到，，由此得到，在中，，由此即可求解．
（1）解：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴．
（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線與三角形的綜合運(yùn)用，掌握平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【變式2】請(qǐng)閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識(shí)點(diǎn)時(shí)的一段筆記，然后解決問(wèn)題．
小明：老師說(shuō)在解決有關(guān)平行線的問(wèn)題時(shí)，如果無(wú)法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來(lái)幫助解答，今天老師介紹了一個(gè)“美味”的模型一“豬蹄模型”．即
已知：如圖1，，為、之間一點(diǎn)，連接，得到．
求證：，
小明筆記上寫(xiě)出的證明過(guò)程如下：
證明：過(guò)點(diǎn)作，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
請(qǐng)你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個(gè)問(wèn)題．
如圖2，若，，求的度數(shù)；
靈活應(yīng)用：如圖3，一條河流的兩岸當(dāng)小船行駛到河中點(diǎn)時(shí)，與兩岸碼頭B、D所形成的夾角為（即），當(dāng)小船行駛到河中點(diǎn)時(shí)，恰好滿足，，請(qǐng)你直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)與碼頭B、D所形成的夾角＝_________．
【答案】(1)240°； (2)32°
【分析】（1）過(guò)E點(diǎn)作，過(guò)F點(diǎn)作，易得，，，則有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根據(jù)∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°；
（2）根據(jù)題目的證明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，問(wèn)題得解．
解：（1）過(guò)E點(diǎn)作，過(guò)F點(diǎn)作，如圖，

∵，，，
∴，，，
∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，
∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，
∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°，
故答案為：240°；
（2）根據(jù)題目中“豬蹄模型”的證明方法，同理可以證明：∠F=∠ABF+∠CDF， ∠E=∠ABE+∠CDE，
∵∠E=64°，
∴∠ABE+∠CDE=64°，
∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，
∵∠F=∠ABF+∠CDF，
∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，
故答案為：32°．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解答本題的關(guān)鍵．
類(lèi)型三、平行線的性質(zhì)??由平行線性質(zhì)求角度
4．（1）如圖平分，，．求的度數(shù)．
（2）如圖已知，．求證：．
【答案】（1）的度數(shù)為；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，由平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）先證明，再利用平行線的性質(zhì)證明，，即可證明．
解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解答此題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 如圖，已知點(diǎn)B、C在線段的異側(cè)，連接，點(diǎn)E、F分別是線段上的點(diǎn)，連接，分別與交于點(diǎn)G，H，且，．
(1)求證：；
(2)若，求證：；
(3)在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析； (2)證明見(jiàn)解析；(3)
【分析】（1）只需要證明即可證明；
（2）先證明得到則，再由即可證明；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，再結(jié)合已知條件求出的度數(shù)即可得到答案．
（1）證明：∵，，，
∴，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，對(duì)頂角相等，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．
【變式2】
類(lèi)型四、平行線的性質(zhì)??平行線性質(zhì)的應(yīng)用
5．如圖，一條公路修在湖邊，需拐彎繞道而過(guò)，如果第一次向右拐75°，第二次拐彎形成的拐角∠B＝135°，第三次拐彎后道路恰好和第一次拐彎前的道路平行，那么第三次是如何拐彎的？
【答案】向左拐30°
【分析】過(guò)點(diǎn)B作，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P．可得．從而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解．
解：過(guò)點(diǎn)B作，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)P．
∵，，
∴．
∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°，
∴∠ABM＝∠A＝105°．
∵∠ABC＝135°，
∴∠MBC＝30°
又∵，
∴∠NCP＝∠MBC＝30°．
答：第三次應(yīng)向左拐30°．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 如圖，一名學(xué)員在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē)，兩次拐彎的角度分別為和，量得，要保持兩次拐彎前后的路線平行，的度數(shù)應(yīng)為多少？為什么？
【答案】117°，理由：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
【分析】根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得出∠BCD的度數(shù)．
【詳解】解：根據(jù)題意得，ABCD，∠ABC=63°
∴∠BCD=180°-∠ABC=117°，
∴要保持兩次拐彎前后的路線平行，∠BCD為117°，理由是同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【點(diǎn)撥】題目主要考查平行線的性質(zhì)，理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式2】潛望鏡中的兩面鏡子是互相平行放置的，如圖1，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，，，那么和有什么關(guān)系？為什么進(jìn)入潛望鏡的光線和離開(kāi)潛望鏡的光線是平行的？先畫(huà)幾何圖形，如圖2，再寫(xiě)已知未知．
如圖，，
（1）猜想和有什么關(guān)系，并進(jìn)行證明；
（2）求證：．
【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)兩面鏡子是互相平行放置的可知，再根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）即可直接證明．
（2）結(jié)合題意可證明，再由，，即可證明，最后由平行線的判定定理（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），即可證明．
解：（1）根據(jù)題意可知，
∴ （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.
（2）∵，
∴；
∵，，
∴，
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定與性質(zhì)在生活中的應(yīng)用．掌握平行線的性質(zhì)與判定是解答本題的關(guān)鍵．
類(lèi)型五、平行線的性質(zhì)??平行線間的距離??應(yīng)用
6．探究規(guī)律：我們有可以直接應(yīng)用的結(jié)論：若兩條直線平行，那么在一條直線上任取一點(diǎn)，無(wú)論這點(diǎn)在直線的什么位置，這點(diǎn)到另一條直線的距離均相等．例如：如圖1，兩直線，兩點(diǎn)、在上，于，于，則．
如圖2，已知直線，、為直線上的兩點(diǎn)，、為直線上的兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中面積相等的各對(duì)三角形：__________．
（2）如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：_______與的面積相等；理由是：___________．
【答案】（1）和，和，和；（2），同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等
【分析】（1）寫(xiě)出面積相等的各對(duì)三角形，我們拿與為例：兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等，其它對(duì)分析類(lèi)似；
（2）根據(jù)同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等，可以得出結(jié)論．
解：（1）有三對(duì)分別是：和，和，和，
分析如下：
和，兩個(gè)三角形用公共邊為底，再由圖1的結(jié)論知道高相等，由三角形面積公式知兩個(gè)三角形面積相等；
和，兩個(gè)三角形以為底，高相等，即面積相等；
和，根據(jù)和面積相等，兩個(gè)三角形同時(shí)減去，得和面積相等．
故答案為：和，和，和，
（2）如果、、為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置總有：與的面積相等，分析如下：
與同底，點(diǎn)在上移動(dòng)，那么無(wú)論點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，點(diǎn)到另一條直線的距離相等，使得這兩個(gè)三角形是：同底等高的兩個(gè)三角形，即面積相等．
故答案為：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等
【點(diǎn)撥】本題考查了兩條平行直線間的距離和兩個(gè)三角形面積相等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是：理解兩直線平行距離為定值及同底等高的兩個(gè)三角形面積相等．
舉一反三：
【變式1】 如圖，已知直線m//n，A，B 為直線m上的兩點(diǎn)，C，P 為直線n上的兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中面積相等的各對(duì)三角形： ；
（2）如果A，B，C 為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P 在直線n上移動(dòng)，那么，無(wú)論P(yáng) 點(diǎn)移動(dòng)到任何位置，總有 ．
理由是： ．
【答案】（1）與、與、與；（2）題（1）中三對(duì)面積相等的三角形，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)兩平行線之間的距離處處相等、三角形的面積公式即可得；
（2）根據(jù)兩平行線之間的距離處處相等即可得．
【詳解】（1）設(shè)平行線m與n之間的距離為h
則和的邊CP上高均為h，和的邊AB上高均為h
由同底等高得：與的面積相等，與的面積相等
又，
即與的面積相等
故答案為：與、與、與；
（2）總有題（1）中三對(duì)面積相等的三角形
理由：兩平行線之間的距離相等、同底等高的三角形的面積相等、面積相等兩個(gè)三角形都減去公共部分得到的兩個(gè)三角形的面積也相等．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線之間的距離，掌握平行線之間的距離是解題關(guān)鍵．
【變式2】作圖并寫(xiě)出結(jié)論：如圖，直線CD與直線AB相交于C，根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)圖.
過(guò)點(diǎn)P作PR⊥CD，垂足為R .
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥CD，交AB于點(diǎn)Q .
(3) 若∠DCB=135°，則∠PQC 度．
(4)點(diǎn)Q到直線PR的距離是線段 的長(zhǎng)度．
【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】本題考查了基本作圖垂線和平行線的畫(huà)法，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，垂線段定理解答即可
（2）如圖

∵PQ∥CD（已作），
∴∠DCB+∠PQC=180°，∵∠DCB=135°，∴∠PQC=180°-135°=45°
（4）因?yàn)镻R⊥CD，所以點(diǎn)Q到直線PR的距離是線段PQ的長(zhǎng)度
【點(diǎn)撥】本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖，并能運(yùn)用平行線的性質(zhì)知識(shí)解決問(wèn)題
類(lèi)型六、平行線的性質(zhì)??平行線性質(zhì)與判定綜合??證明??計(jì)算
7．如圖，點(diǎn)，在線段的異側(cè)，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，已知，．
求證：；
若，求證：；
在（2）的條件下，若，求的度數(shù)．
【答案】(1) 見(jiàn)解析；(2) 見(jiàn)解析；(3)
【分析】（1）已知，所以，又因?yàn)?，可以得?br>即可判定；
（2）已知，，可以得出，即可得出；
（3）由（1）（2）可知，，可以得出，；可以得出，可以得出，又因?yàn)?，即可求出的度?shù)．
（1）證明：，，，
，
；
（2）證明：，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)頂角相等，平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)在直線上上，點(diǎn)G在線段上，與交于點(diǎn)H，．
試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
若，求的度數(shù)．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得CEGF，根據(jù)平行線的性質(zhì)等量代換可得∠FGD＝∠EFG，進(jìn)而判定ABCD，即可得出∠AED＋∠D＝180°；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CED＝，∠DEF＝∠D＝30°，求出∠CEF，依據(jù)對(duì)頂角相等即可得到∠AEM的度數(shù)．
（1）解：∠AED＋∠D＝180°；
理由：∵，
∴CEGF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴ABCD，
∴∠AED＋∠D＝180°；
（2）解：∵CEGF，，
∴∠CED＝，
∵∠D＝30°，ABCD，
∴∠DEF＝∠D＝30°，
∴∠CEF＝∠CED＋∠DEF＝70°＋30°＝100°，
∴∠AEM＝∠CEF＝100°．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．
如圖，．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】 根據(jù)兩直線平行，同位角相等，得出，，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得到，最后再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，計(jì)算即可得出答案．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式2】完成下面的證明：如圖，點(diǎn)在上，，連接，平分，，于點(diǎn)．
求證：．
證明：∵，
∴（_____________________）．
∵，
∴，即．
∵平分，
∴______（__________________）．
∴，
∴（________________________）
∴__________________（________________________）．
∵，
∴______（______________________）．
∴．
【答案】?jī)芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等； ；角平分線的定義；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行； ；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；90；垂直的定義
【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)與判定、角平分線定義、垂直的定義填空即可．
證明：∵，
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵，
∴，即．
∵平分，
∴（角平分線的定義）．
∴，
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵，
∴（垂直的定義）．
∴．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；角平分線的定義；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；90；垂直的定義．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
中考真題專練
一、單選題
1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，直線，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)在直線a上，兩直角邊均與直線b相交，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．
解：由題意得∠ABC=90°，
∵∠1=40°，
∴∠3=180°-∠1-∠ABC=50°，
∵，
∴∠2=∠3=50°，
故選B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖北襄陽(yáng)·中考真題）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．60°D．70°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．
解：∵mn，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，
∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．
3．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，，將一個(gè)等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若，則的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，過(guò)等腰直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，根據(jù)三角板可知，進(jìn)而等量代換結(jié)合已知條件即可求解．
解：如圖，過(guò)等腰直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)作直線

∵a∥b，
，
，
，
，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
4．（2022·遼寧阜新·中考真題）一副三角板如圖擺放，直線，則的度數(shù)是______．
【答案】##15度
【分析】根據(jù)題意可得：，，，然后利用平行線的性質(zhì)可得，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．
解：如圖：

由題意得：
，，，
，
，


，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·湖北宜昌·中考真題）如圖，島在A島的北偏東方向，島在島的北偏西方向，則的大小是_____．
【答案】##85度
【分析】過(guò)作交于，根據(jù)方位角的定義，結(jié)合平行線性質(zhì)即可求解．
解：島在A島的北偏東方向，
，
島在島的北偏西方向，
，
過(guò)作交于，如圖所示：

，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查方位角的概念與平行線的性質(zhì)求角度，理解方位角的定義，并熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
三、解答題
6．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖，在四邊形中，，．
(1) 求的度數(shù)；
(2) 平分交于點(diǎn)，．求證：．

【答案】(1) ；(2) 詳見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求解；
（2）根據(jù)平分，可得．再由，可得．即可求證．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）證明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵