數(shù)學(xué)七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)同步練習題

這是一份數(shù)學(xué)七年級下冊7.2 探索平行線的性質(zhì)同步練習題，共20頁。

圖 一
幾何模型2：雞翅模型

圖三
幾何模型3：折雞翅模型

圖四
幾何模型4：多個M型模型
【典型例題】
類型一、平行線幾何模型??豬蹄模型??求解??證明
1．請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．
小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”．即
已知：如圖1，，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到．
求證：
小明筆記上寫出的證明過程如下:
證明：過點E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題．
(1)如圖，若，，求；
(2)如圖，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1) ； (2)
【分析】（1）作，，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，所以，，，然后利用等量代換計算；
（2）分別過G、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用和分別表示出和，從而可找到和的關(guān)系，結(jié)合條件可求得．
解：（1）作，，如圖，且

∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如圖，分別過G、H作AB的平行線MN和RS，

∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能運用平行線的性質(zhì)和判定進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，反之亦然．
舉一反三：
【變式】閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．
已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．
(1)求證：；
(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇 題．
①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為 ．
②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為 ．
【答案】(1)見解析； (2)①；②結(jié)論：
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可；
（2）①利用基本結(jié)論求解即可；②利用基本結(jié)論，，求解即可．
（1）證明：如圖，過作，
，
，
，

，
平分，平分，
，，
，
在中，，
，
；
（2）解：①如圖2中，由題意，，
平分，平分，
，
，
故答案為：；
②結(jié)論：．
理由：如圖3中，由題意，，，
平分，平分，
，，
，
故答案為：．
【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．
類型二、平行線幾何模型??雞翅模型??求解??證明
2．已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點在直線上，且不和點，重合．
(1)如圖，有一動點在線段之間運動時，求證：；
(2)如圖，當動點在點之上運動時，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析； (2)，理由見解析．
【分析】過點作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論；
過作，依據(jù)，可得，進而得到，，再根據(jù)，即可得出．
（1）證明：如圖，過點作，

，
，
，．
又，
；
（2）解：．
理由如下：如圖，過作，

，
，
，，
，
．
【點撥】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】【原題】已知直線ABCD，點P為平行線AB，CD之間的一點，如圖1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP．
(1)則∠P=______，∠E=______．
(2)【探究】如圖2，當點P在直線AB的上方時，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分線交于點，∠ABE1與的角平分線交于點，∠ABE與∠CDE的角平分線交于點，…以此類推，求∠E的度數(shù)，并猜想∠E的度數(shù)．
(3)【變式】如圖3，∠ABP的角平分線的反向延長線和∠CDP的補角的角平分線交于點E，試直接寫出∠P與∠E的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)110°，55°；(2)∠E的度數(shù)為，∠E的度數(shù)為
(3)∠DEB=90°-∠P
【分析】（1）過E作EFAB，而ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解；
（3）過E作EGAB，而ABCD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解．
解（1）如圖1，過E作EFAB，而ABCD，
∴ABCDEF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE=∠ABP=25°，∠CDE=∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
同理：∠BPD=110°．
故答案為：110°，55°；
（2）如圖2，∵∠ABP和∠CDP的平分線交于點，
∴∠ABE=∠ABP=α，∠CDE=∠CDP=，
∵ABCD，
∴∠CDF=∠AFE=，
∴∠E=∠AFE-∠ABE=，
∵∠ABE與∠CDE的角平分線交于點E，
∴∠ABE=∠ABE=，∠CDE=∠CDE=，
∵ABCD，
∴∠CDG=∠AGE=，
∴∠E=∠AGE-∠ABE=，
同理可得，∠E=，
以此類推，∠E的度數(shù)為；
（3）∠DEB=90°-∠P．理由如下：
如圖3，過E作EGAB，而ABCD，
∴ABCDEG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分線的反向延長線和∠CDP的補角的角平分線交于點E，
∴∠FDE=∠PDF=(180°-∠CDP)，∠ABQ=∠ABP，
∴∠DEB=∠ABP+(180°-∠CDP)=90°-(∠CDP-∠ABP)，
∵ABCD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°-(∠CDP-∠ABP)=90°-(∠AHP-∠ABP)=90°-∠P．

【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上的性質(zhì)并熟練的運用．
類型三、平行線幾何模型??多個M型模型??求解??證明
3．探究：
(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？
(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？
(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系；
【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2； (2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【分析】（1）過點E作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；
（2）過點F作NFAB，結(jié)合（1）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；
（3）過點G作GMAB，結(jié)合（2）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．
（1）解：如圖①，過點E作EMAB，

∵ABCD，
∴ABCDEM，
∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，
∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，
即∠1＋∠3＝∠2；
（2）如圖②，過點F作NFAB，

∵ABCD，
∴ABCDFN，
∴∠4＝∠NFH，
由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，
∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，
即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；
（3）如圖③，過點G作GMAB，

∵ABCD，
∴ABCDGM，
∴∠5＝∠MGN，
由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，
∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，
即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．
【點撥】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】【發(fā)現(xiàn)】如圖，已知CD，直線AB，CD被EF所截．若EM，F(xiàn)N分別平分∠AEF和∠DFE，判斷EM與FN之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
【變式】如圖，已知，∠M＝∠N，求證∠1＝∠2；
【拓展】如圖，CD，∠1＝∠2，求證∠M＝∠N．
【答案】【發(fā)現(xiàn)】EMFN；證明見解析；【變式】證明見解析；【拓展】證明見解析．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可．
解：EMFN；
證明：∵ABCD，
∴∠AEF＝∠EFD．
∵EM，F(xiàn)N分別平分∠AEF和∠DFE，
∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠DFE，
∴∠MEF＝∠NFE，
∴EMFN；
【變式】證明：∵∠AEF+∠EFC＝180°，
∴ABCD，
∴∠AEF＝∠DFE．
∵∠M＝∠N，∴MEFN，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴∠AEF-∠MEF＝∠EFD-∠EFN，
即∠1＝∠2；
【拓展】證明：如圖，延長EM交CD于點P．
∵ABCD，
∴∠1＝∠EPD．
∵∠1＝∠2，
∴∠EPD＝∠2，
∴MEFN，
∴∠EMN＝∠N．
【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
類型四、平行線幾何模型??綜合模型??求解??證明
4．根據(jù)下列敘述填依據(jù)．
(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．
解：過點F作
所以∠B+∠BFE=180°（ ）
因為、（已知）
所以 （ ）
所以∠D+∠DFE=180°（ ）
所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°
(2)根據(jù)以上解答進行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請選其中一個簡要證明）
備用圖：
(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）
【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；(2)見解析；(3)
【分析】（1）過點F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；
（2）類比問題（1）的解題方法即可得解；
（3）類比問題（1）的解題方法即可得解．
（1）解：過點F作，如圖，
∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），
∵、（已知）
∴（平行于同一直線的兩直線平行），
∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°；
故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；
兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；

（2）解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系為：∠BDF+∠B=∠F；
理由如下：

過點D作DC//AB，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F；
選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠BDF+∠B=∠F
過點D作，
∴∠B=∠BDC，
∵，，
∴，
∴∠CDF=∠F，
∴∠BDF+∠BDC =∠F，
即∠BDF+∠B=∠F
∠BDF+∠B=∠F ；
（3）解：
如圖（4）所示，過點C作，過D作，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵ ，，
∴．
【點撥】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系和平行線公理推論的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行線公理推論的運用是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式】已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系．
(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表：
(2)請選擇其中一個圖形進行說明理由．
【答案】(1)見解析； (2)見解析
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)即可求解．
（2）過點C作CGAB，利用平行線的判定和性質(zhì)即可求解．
（1）解：∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系如下表：
（2）解：圖（1） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F=∠C．
理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，
∴∠B+∠F=∠BCF；
圖（2） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．
理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
圖（3） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．

理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
圖（4） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F+∠C=360°．

理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG+∠B=180°，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF+∠F=180°，
∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°；
圖（5） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B-∠F=∠C．

理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F，
∴∠B-∠F=∠BCF；
圖（6） ∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．
理由：過點C作CGAB，
∴∠BCG=∠B，
∵ABEF，
∴CGEF，
∴∠GCF=∠F，
∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B，
∴∠F-∠B=∠BCF；
【點撥】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題． 圖形
∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系
圖（1）
圖（2）
圖（3）
圖（4）
圖（5）
圖（6）
圖形
∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系
圖（1）
∠B+∠F=∠C
圖（2）
∠F-∠B=∠C
圖（3）
∠B-∠F=∠C
圖（4）
∠B+∠F+∠C=360°
圖（5）
∠B-∠F=∠C
圖（6）
∠F-∠B=∠C