蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和課后復(fù)習(xí)題

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一．三角形內(nèi)角和定理
（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．
（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
（3）三角形內(nèi)角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．
（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用
主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．
二．三角形的外角性質(zhì)
（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．
（2）三角形的外角性質(zhì)：
①三角形的外角和為360°．
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．
（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．
三．多邊形
（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．
（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．
（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．
（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．
（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時(shí)圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài)，此時(shí)的支撐點(diǎn)或者懸掛點(diǎn)叫做平衡點(diǎn)，或重心．
常見圖形的重心（1）線段：中點(diǎn)（2）平行四邊形：對(duì)角線的交點(diǎn)（3）三角形：三邊中線的交點(diǎn)（4）任意多邊形．
四．多邊形的對(duì)角線
（1）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．
（2）n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）
（3）對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．
五．多邊形內(nèi)角與外角
（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）
此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．
（2）多邊形的外角和等于360°．
①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．
②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．
六．平面鑲嵌（密鋪）
（1）平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接．彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．
（2）正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制：①邊長相等；②頂點(diǎn)公共；③在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°．
判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若能構(gòu)成360°，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能．
（3）單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形．
（4）兩種正多邊形的鑲嵌：3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形、四個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形、2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形、1個(gè)正三角形和2個(gè)正十二邊形、1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形等．
（5）用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案．
一．三角形內(nèi)角和定理（共8小題）
1．（2020春?梁溪區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB，連接DE，則∠BDE＝ °．
2．（2021春?徐州期末）如圖，射線OX與射線OY互相垂直，點(diǎn)A、B分別在OX、OY上，連接AB．若AP平分∠BAX，BP平分∠ABY，求∠APB的大?。?br>3．（2021春?江都區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度數(shù)．
4．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB．
（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若AE是△ABC的角平分線，AE、CD相交于點(diǎn)F．求證：∠CFE＝∠CEF．
5．（2021秋?徐州期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在邊BC上，將△ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)E處．若∠C＝28°，則∠CDE＝ °．
6．（2021春?高郵市期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“倍角三角形”．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），連接CP．
（1）當(dāng)∠B＝72°時(shí)；
①若∠CPB＝54°，則△ACP “倍角三角形”（填“是”或“否”）；
②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度數(shù)；
（2）當(dāng)△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”時(shí)，求∠BCP的度數(shù)．
7．（2021秋?邗江區(qū)期中）如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)三角形為特異三角形．若△ABC是特異三角形，∠A＝36°，∠B為鈍角，則符合條件的∠B度數(shù)為 ．
8．（2021春?江都區(qū)期中）圖①，∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．
①若∠BAO＝60°，則∠D＝ °；
②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？并說明理由；
（2）若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度數(shù)；
（3）若將“∠MON＝90°”改為“∠MON＝α（0°＜α＜180°）”，∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，其余條件不變，則∠D＝ （用含α，n的代數(shù)式表示）．
二．三角形的外角性質(zhì)（共6小題）
9．（2021?東臺(tái)市模擬）一副三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（ ）
A．105°B．75°C．110°D．120°
10．（2021?鎮(zhèn)江一模）如圖，△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，直尺的一邊與BC平行，則∠1＝ °．
11．（2021秋?港南區(qū)期中）如圖，∠BDC＝110°，∠C＝38°，∠A＝35°，∠B的度數(shù)是（ ）
A．43°B．33°C．37°D．47°
12．（2021秋?黃石期末）如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線BP與外角∠ACD的平分線CP交于點(diǎn)P，連接AP，若∠BPC＝46°，則∠CAP＝ °．
13．（2021春?邗江區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，D是BC上一點(diǎn)，AE平分∠DAC．
（1）若∠ADC＝116°，∠C＝26°，求∠BAE的度數(shù)．
（2）若∠ADC＝m°，∠C＝n°，請(qǐng)?zhí)角蟆螧AE的度數(shù)與∠ADC、∠C度數(shù)之間的關(guān)系（用含m、n的代數(shù)式表示）．
14．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）【概念認(rèn)識(shí)】
如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．
【問題解決】
（1）如圖①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分線”，則∠ABE＝ °；
（2）如圖②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點(diǎn)D，則∠BDC＝ °；
（3）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數(shù)；
【延伸推廣】
（4）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點(diǎn)P．若∠A＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m、n的代數(shù)式表示）
三．多邊形（共1小題）
15．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，工人師傅砌門時(shí)，常用木條EF固定長方形門框ABCD，使其不變形，這種做法的根據(jù)是（ ）
A．三角形的穩(wěn)定性
B．長方形的對(duì)稱性
C．長方形的四個(gè)角都是直角
D．兩點(diǎn)之間線段最短
四．多邊形的對(duì)角線（共2小題）
16．（2017?江陰市自主招生）四邊形ABCD內(nèi)部有1000個(gè)點(diǎn)，以頂點(diǎn)A、B、C、D、和這1000個(gè)點(diǎn)能把原四邊形分割成n個(gè)沒有重疊的小三角形，則個(gè)數(shù)n的值為（ ）
A．2002B．2001C．2000D．1001
17．（2021春?大豐區(qū)月考）從一個(gè)多邊形的任何一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)都只有5條對(duì)角線，這個(gè)多邊形的對(duì)角線有 條．
五．多邊形內(nèi)角與外角（共7小題）
18．（2019春?水城縣期末）下列角度中，不能成為多邊形內(nèi)角和的是（ ）
A．600°B．720°C．900°D．1080°
19．（2021春?江都區(qū)期中）下列哪個(gè)度數(shù)不可能是一個(gè)多邊形的內(nèi)角和（ ）
A．360°B．600°C．900°D．1800°
20．（2021春?江都區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和大于1100°，小于1300°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
21．（2021?儀征市一模）如圖是第四套人民幣1角硬幣，該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為 °．
22．（2021秋?青山區(qū)期末）若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形是（ ）
A．四邊形B．七邊形C．六邊形D．五邊形
23．（2021秋?秦淮區(qū)期中）如果一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都是144°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．5B．6C．10D．12
24．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知某多邊形的內(nèi)角和與外角和之比為9：2，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和對(duì)角線的條數(shù)．
六．平面鑲嵌（密鋪）（共1小題）
25．（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）某休閑廣場的地面中間是1塊正六邊形地磚，周圍是用正方形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設(shè)10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊正三角形地磚，則鋪設(shè)該廣場共用地磚 塊．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共7小題）
1．（2021?連云港）正五邊形的內(nèi)角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
2．（2021?柳南區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角減去其外角為120°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．八B．九C．十D．十二
3．（2021春?鼓樓區(qū)期末）從十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其它的頂點(diǎn)，可把這個(gè)多邊形分成（ ）個(gè)三角形．
A．7B．8C．9D．10
4．（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在Rt△AOB中，∠O＝90°，C為AO上一點(diǎn)，且不與A，O重合，則x可能是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
5．（2021春?溧陽市期末）若多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，且它的每一個(gè)外角是它的鄰補(bǔ)角的，則該多邊形是（ ）
A．十邊形B．十二邊形C．十五邊形D．十六邊形
6．（2021春?興化市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝80°，點(diǎn)D在AB上，將△ABC沿CD折疊，點(diǎn)B落在邊AC的點(diǎn)E處．若∠ADE＝30°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
7．（2021春?儀征市期末）如圖，在△ABC中，∠A＝78°，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDC，則∠BDF的度數(shù)為（ ）
A．35°B．39°C．40°D．45°
二．填空題（共8小題）
8．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)三角形中，三個(gè)內(nèi)角之比為1：2：6，則這個(gè)三角形是 三角形．（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）
9．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)六邊形的所有內(nèi)角都相等，它的每一個(gè)外角等于 度．
10．（2021春?亭湖區(qū)校級(jí)期末）四邊形ABCD的內(nèi)角∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：4：3，則∠D＝ ．
11．（2021春?高新區(qū)期末）如圖，將四邊形紙片ABCD沿MN折疊，點(diǎn)A、D分別落在A1、D1處，若∠1+∠2＝144°，則∠B+∠C＝ °．
12．（2021?廣陵區(qū)校級(jí)二模）多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都等于140°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 ．
13．（2021春?惠山區(qū)期中）如圖，已知△ABC，點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)∠DEF＝∠A且點(diǎn)E恰在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)處，若∠1+∠2＝130°，則∠BEC＝ ．
14．（2019秋?興化市月考）如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝86°，則∠B＝ °．
15．（2021春?溧陽市期末）如圖，把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，那么圖中∠CEF＝ °．
三．解答題（共9小題）
16．（2021春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線．試說明BE∥DF．請(qǐng)補(bǔ)充說明過程，并在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)理由．
解：在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°．
∵∠A＝∠C＝90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC＝ °．
∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ ）．
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ADC）．
∴∠1+∠2＝ °．
在△FCD中，∠C＝90°，
∴∠DFC+∠2＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已證），
∴∠1＝∠DFC（ ）．
∴BE∥DF．（ ）．
17．（2021秋?江油市月考）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F(xiàn)、H是BC上的點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AC，HD⊥AC，垂足分別為G、D，在AB上取一點(diǎn)E，使∠BED+∠B＝180°，求四邊形BEDH各內(nèi)角的度數(shù)．
18．（2021春?望城區(qū)期末）如圖，在△ABC 中，∠B＝40°，∠C＝110°．
（1）畫出下列圖形：
①BC邊上的高AD；
②∠A的角平分線AE．
（2）試求∠DAE的度數(shù)．
19．（2021春?雨山區(qū)校級(jí)月考）在一個(gè)各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個(gè)內(nèi)角都比與它相鄰?fù)饨堑?倍還大20°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)以及它的內(nèi)角和．
20．（2021春?徐州期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝ 度；
（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點(diǎn)E，且BE∥AD，試求出∠C的度數(shù)；
（3）①如圖3，若∠ABC和∠DCB的角平分線交于點(diǎn)E，試求出∠BEC的度數(shù)；
②在①的條件下，若延長BA、CD交于點(diǎn)F（如圖4）．將原來?xiàng)l件“∠A＝140°，∠D＝80°”改為“∠F＝40°”．其他條件不變．則∠BEC的度數(shù)為 ．
21．（2021秋?臺(tái)安縣期中）已知一個(gè)正多邊形內(nèi)角和比外角和多720°，求此多邊形的邊數(shù)及每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
22．（2021春?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，∠B＝40°，∠ACB＝80°．點(diǎn)F在BC的延長線上，F(xiàn)G⊥AE，垂足為H，F(xiàn)G與AB相交于點(diǎn)G．
（1）求∠AGF的度數(shù)；
（2）求∠EAD的度數(shù)．
23．（2021春?泰州期末）如圖1，D為△ABC的邊BC上一點(diǎn)，若∠ADC＝∠BAC，
（1）求證：∠DAC＝∠B；
（2）如圖2，若AE平分∠BAD，在圖中找出與∠EAC相等的角，并加以證明．
24．（2021春?高郵市期末）如圖，已知四邊形ABCD中，∠B＝90°，點(diǎn)E在AB上，連接CE、DE．
（1）若∠1＝35°，∠2＝25°，則∠CED＝ °；
（2）若∠1＝∠2，求證：∠3+∠4＝90°．
題組B 能力提升練
一．選擇題（共7小題）
1．（2021春?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（ ）
A．90°B．100°C．110°D．120°
2．（2021春?東?？h期末）如圖，△ABC中，∠BAC＞∠B，∠C＝70°，將△ABC折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕PD分別交AB、BC于點(diǎn)D、P，當(dāng)△APC中有兩個(gè)角相等時(shí)，∠B的度數(shù)為（ ）
A．35°或20°B．20°或27.5°
C．35°或25°或32.5°D．35°或20°或27.5°
3．（2021?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，則∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
4．（2021秋?武陟縣月考）如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)E、D，若∠E＝90°，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．125°C．130°D．135°
5．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分線，交邊BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作△ACD中AD邊上的高線CE，則∠ECD的度數(shù)為（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
6．（2021春?姑蘇區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點(diǎn)D．∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點(diǎn)G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，則∠DFB的度數(shù)為（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
7．（2021春?丹陽市期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)F處，若∠CFD＝60°且△AEF中有兩個(gè)內(nèi)角相等，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．30°或40°B．40°或50°C．50°或60°D．30°或60°
二．填空題（共8小題）
8．（2021春?射陽縣校級(jí)期末）如圖，將△ABC沿著DE對(duì)折，點(diǎn)A落到A'處，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，則∠A＝ °．
9．（2021春?江都區(qū)期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)三角形稱為理想三角形；如果一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，那么這個(gè)三角形稱為夢想三角形．若一個(gè)三角形既是理想三角形，也是夢想三角形，寫出這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)（只寫出一組） ．
10．（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是 度．
11．（2021?越秀區(qū)校級(jí)二模）一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為144°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 ．
12．（2021春?錦江區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABE和△ACD是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折形成的，若∠BAC＝135°，則∠EFC的度數(shù)是 ．
13．（2021春?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)G重合），過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，∠EDB的角平分線所在直線交AB于點(diǎn)H，交射線AG于點(diǎn)F，則∠B與∠AFD之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
14．（2021春?江都區(qū)期末）如圖，△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝ °．
15．（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAD＝50°，∠CAD＝20°，則∠BAC＝ ．
三．解答題（共8小題）
16．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．
（1）若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度數(shù)；
（2）若∠A﹣∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度數(shù)．
17．（2021春?泰州期末）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“倍角三角形”．如三個(gè)內(nèi)角分別為20°，40°，120°的三角形是“倍角三角形”．
如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交射線OB于點(diǎn)C．
（1）△AOB （填“是”或“不是”）倍角三角形；
（2）若△AOC為“倍角三角形”，求∠OAC；
（3）若△ABC為“倍角三角形”，求∠ACB．
18．（2021春?溧陽市期末）已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E、P分別是線段AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)．（E、P不與點(diǎn)B重合）
（1）如圖1，若DE∥BC，則
①∠EDB的度數(shù)是 °．
②當(dāng)∠EDF＝∠DEF時(shí)，∠EPB＝ °；當(dāng)∠DEF＝∠EFD時(shí)，∠EPB＝ °．
（2）如圖2，若DE⊥AB，當(dāng)△DEF中有兩個(gè)相等的角時(shí)，求出∠EPB的度數(shù)．
19．（2021春?東海縣期末）如圖1．△ABC的外角平分線BF、CF交于點(diǎn)F．
（1）若∠A＝50°．則∠F的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，過點(diǎn)F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點(diǎn)M、N．若設(shè)∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與a+β滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；
（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)．
①如圖3，當(dāng)直線MN與線段BC沒有交點(diǎn)時(shí)，試探索∠A與α，β之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②當(dāng)直線MN與線段BC有交點(diǎn)時(shí)，試問①中∠A與α，β之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)直接寫出三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系．
20．（2021春?江都區(qū)期末）直線m與直線n相交于C，點(diǎn)A是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)B是直線n上一點(diǎn)，∠ABC的平分線BP與∠DAB的平分線AE的反向延長線相交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，若∠ACB＝90°，則∠P＝ ；若∠ACB＝α，則∠P＝ （結(jié)果用含α的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，點(diǎn)F是直線n上一點(diǎn)，若點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)，點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，連接AF，∠CAF與∠AFC的平分線相交于點(diǎn)Q．
①隨著點(diǎn)B、F的運(yùn)動(dòng)，∠APB+∠AQF的值是否變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；
②延長AQ交直線n于點(diǎn)G，作QH∥CF交AF于點(diǎn)H，則＝ ．
21．（2021春?江寧區(qū)月考）已知在四邊形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y(tǒng)（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝（用含x、y的代數(shù)式表示）；
（2）如圖1，若x＝y(tǒng)＝90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，
①當(dāng)x＜y時(shí)，若x+y＝140°，∠DFB＝30°試求x、y．
②小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，∠DFB不存在．
22．（2021春?江都區(qū)月考）△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作∠ODC＝∠AOC，交邊BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若∠ABC＝50°，求∠BOD的度數(shù)；
（2）如圖1，若∠ABC＝n°，求∠BOD的度數(shù)；
（3）如圖2，作∠ABC外角∠ABE的平分線交CO的延長線于點(diǎn)F．求證：BF∥OD；
（4）若∠F＝∠ABC＝40°，將△BOD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度α后得△B'OD'（0°＜α＜360°），B'D'所在直線與FC平行，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的旋轉(zhuǎn)角度α的值．
23．（2021春?江陰市校級(jí)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．
①以線段AC為邊的“8字型”有 個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有 個(gè)；
②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)；
③若角平分線中角的關(guān)系改為“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．