初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.1 探索直線平行的條件測(cè)試題

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級(jí)下冊(cè)7.1 探索直線平行的條件測(cè)試題，文件包含第01講探索直線平行的條件核心考點(diǎn)講與練-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略蘇科版原卷版docx、第01講探索直線平行的條件核心考點(diǎn)講與練-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略蘇科版解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共50頁(yè)， 歡迎下載使用。
一．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．
（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．
（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．
（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．
二．平行線的判定
（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行． 簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，兩直線平行．
（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
（3 ）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．
（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．
一．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（共10小題）
1．（2021春?南京期中）在下列圖形中，∠1與∠2是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：A．∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，不是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∠1與∠2是同旁內(nèi)角，不是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∠1與∠2是同位角，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∠1與∠2不是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義，能正確識(shí)圖是解此題的關(guān)鍵．
2．（2021春?江陰市月考）如圖，∠1和∠2不是同旁內(nèi)角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的意義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：選項(xiàng)D中的∠1、∠2不兩條直線被第三條直線所截得到的角，
∠1與∠2既不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角，也不是同旁內(nèi)角，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同旁內(nèi)角，理解和掌握同旁內(nèi)角的意義是正確判斷的前提．
3．（2021春?饒平縣校級(jí)月考）如圖，與∠1是同位角的角是 ∠4 ，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的角是 ∠2 ，與∠1是同旁內(nèi)角的角是 ∠5 ．
【分析】根據(jù)同位角是兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角，可得答案；根據(jù)兩個(gè)角位于截線的兩側(cè)，兩條直線的中間的角是內(nèi)錯(cuò)角，可得答案；根據(jù)同旁內(nèi)角是兩個(gè)角位于截線的同旁，兩條直線的中間，可得答案．
【解答】解：與∠1是同位角的角是∠4，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的角是∠2，與∠1是同旁內(nèi)角的角是∠5，
故答案為：∠4，∠2，∠5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．
4．（2021春?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，
（1）∠1和∠3是直線 AB 和 AC 被直線 DE 所截而成的 內(nèi)錯(cuò) 角；
（2）能用圖中數(shù)字表示的∠3的同位角是 ∠7 ；
（3）圖中與∠2是同旁內(nèi)角的角有 3 個(gè)．
【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義得出即可．
【解答】解：（1）∠1和∠3是直線AB和AC被直線DE所截而成的內(nèi)錯(cuò)角；
故答案為：AB、AC、DE、內(nèi)錯(cuò)；
（2）圖中與∠3是同位角的角是∠7，
故答案為：∠7；
（3）圖中與∠2 是同旁內(nèi)角的角有∠6、∠5、∠7，共3個(gè)，
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圖形找出各對(duì)角是解此題的關(guān)鍵．
5．（2021秋?長(zhǎng)春期末）如圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A．∠1與∠2是同旁內(nèi)角B．∠1與∠6是內(nèi)錯(cuò)角
C．∠2與∠5是內(nèi)錯(cuò)角D．∠3與∠5是同位角
【分析】直接利用同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角、同位角的定義分別判斷得出答案．
【解答】解：A、∠1與∠2是同旁內(nèi)角，正確，不合題意；
B、∠1與∠6是內(nèi)錯(cuò)角，正確，不合題意；
C、∠2與∠5不是內(nèi)錯(cuò)角，故C錯(cuò)誤，符合題意；
D、∠3與∠5是同位角，正確，不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同旁內(nèi)角以及內(nèi)錯(cuò)角、同位角的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
6．（2021春?高郵市期中）如圖，下列圖形中的∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)同位角的意義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：選項(xiàng)A中的∠1與∠2，是直線AB、BC被直線EF所截的同位角，因此選項(xiàng)A不符合題意；
選項(xiàng)B中的∠1與∠2，是直線AB、MG被直線EM所截的同位角，因此選項(xiàng)B不符合題意；
選項(xiàng)C中的∠1與∠2，沒(méi)有公共的截線，因此不是同位角，所以選項(xiàng)C符合題意；
選項(xiàng)D中的∠1與∠2，是直線CD、EF被直線AB所截的同位角，因此選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同位角，理解同位角的定義是正確判斷的前提，找出兩條直線的公共截線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2019春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AF和AC被直線EB所截，∠EBC的同位角是∠EOF，直線DC、AC被直線AF所截，∠FAC同位角是 ∠COF ．
【分析】由同位角的位置特點(diǎn)，可知∠FAC的同位角是∠COF．
【解答】解：根據(jù)同位角的圖形特點(diǎn)，可得∠FAC的同位角是∠COF，
故答案為∠COF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；牢記兩直線被第三條直線所截，同位角的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2021春?畢節(jié)市期中）如圖，下列判斷正確的是（ ）
A．∠5與∠3是內(nèi)錯(cuò)角B．∠2與∠4是同位角
C．∠3與∠6是同位角D．∠2與∠5是對(duì)頂角
【分析】根據(jù)同位角是“F”型，內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型、同旁內(nèi)角是“U”、判斷選項(xiàng)A，B，C，最后根據(jù)對(duì)頂角的意義進(jìn)行判斷選項(xiàng)D即可．
【解答】解：∠5與∠3不是兩條直線被第三條直線所截的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)A不符合題意；
同理∠2與∠4既不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角，也不是同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)B不符合題意；
∠3與∠6是直線AC，直線BE被直線AB所截的同旁內(nèi)角，因此選項(xiàng)C不符合題意；
∠2和∠5是直線AC，直線DF相交所得的對(duì)頂角，因此選項(xiàng)D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角，掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角的意義是正確判斷的前提．
9．（2020春?麻城市校級(jí)月考）如圖，∠1和∠3是直線 AB 和 AC 被直線 DE 所截而成的 內(nèi)錯(cuò) 角；圖中與∠2是同旁內(nèi)角的角有 3 個(gè)．
【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的定義得出即可．
【解答】解：∠1和∠3是直線AB和AC被直線DE所截而成的內(nèi)錯(cuò)角；圖中與∠2 是同旁內(nèi)角的角有∠6、∠5、∠7，共3個(gè)，
故答案為：AB、AC、DE、內(nèi)錯(cuò)，3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圖形找出各對(duì)角是解此題的關(guān)鍵．
10．（2021春?滿洲里市期末）如圖，下列結(jié)論：①∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角；②∠2與∠B是同位角；③∠A與∠B是同旁內(nèi)角；④∠A與∠ACB不是同旁內(nèi)角，其中正確的是 ①②③ （只填序號(hào)）．
【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的意義，結(jié)合圖形逐個(gè)判斷即可．
【解答】解：∠2與∠3是直線AB、直線BC，被直線CD所截的一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，因此①符合題意；
∠2與∠B是直線CD、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同位角，因此②符合題意；
∠A與∠B是直線AC、直線BC，被直線AB所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此③符合題意，
∠A與∠ACB是直線AB、直線BC，被直線AC所截的一對(duì)同旁內(nèi)角，因此④不符合題意，
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的意義，理清哪兩條直線被第三條直線所截，形成的角進(jìn)行判斷是關(guān)鍵．
二．平行線的判定（共16小題）
11．（2021秋?上蔡縣期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，a∥b；
當(dāng)∠4＝∠5時(shí)，a∥b；
當(dāng)∠2+∠4＝180°時(shí)，a∥b．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
12．（2021秋?白銀期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠2＝∠3
【分析】利用平行線的判定方法分別得出即可．
【解答】解：A、∵∠1＝∠3，
∴a∥b，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵∠2+∠4＝180°，
∴a∥b，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∵∠4＝∠5，
∴a∥b，（同位角相等，兩直線平行），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∠2＝∠3，無(wú)法判定直線a∥b，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，正確把握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
13．（2021春?蓮湖區(qū)期末）設(shè)a，b，c為平面內(nèi)三條不同的直線，若a⊥c，b⊥c，則a與b的位置關(guān)系是 a∥b ．
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a∥b
故答案為：a∥b．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．
14．（2021春?陽(yáng)谷縣期末）如圖，木工用角尺畫(huà)出CD∥EF，其依據(jù)是 同位角相等，兩直線平行 ．
【分析】根據(jù)平行線的判定，同位角相等，兩直線平行作答．
【解答】解：木工用角尺畫(huà)出CD∥EF，其依據(jù)是同位角相等，兩直線平行，
故答案為：同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，正確掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
15．（2021?宛城區(qū)二模）如圖是利用直尺和三角板過(guò)直線l外一點(diǎn)P作直線l的平行線的方法，這樣做的依據(jù)是 同位角相等，兩直線平行 ．
【分析】過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線，只有滿足同位角相等，才能得到兩直線平行．
【解答】解：由圖形得，有兩個(gè)相等的同位角存在，
這樣做的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．
故答案為：同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．
16．（2021秋?肇源縣期末）如圖，下列能判定AB∥CD的條件有（ ）個(gè)．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
【分析】在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．
【解答】解：（1）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，判定兩直線平行，故（1）正確；
（2）利用內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）錯(cuò)誤；
（3）利用內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行，故（3）正確；
（4）利用同位角相等，判定兩直線平行，故（4）正確．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定方法，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩直線平行．
17．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知：如圖，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G．求證：AB∥CD．
【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，從而證得AB∥CD．
【解答】證明：∵BE⊥FD，
∴∠EGD＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
又已知∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定，關(guān)鍵是由BE⊥FD及三角形內(nèi)角和定理得出∠1和∠D互余．
18．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，下列條件中：
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的條件個(gè)數(shù)有 3 個(gè)．
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可判斷．
【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，則AB∥CD；
（2）∠1＝∠2，則AD∥BC；
（3）∠3＝∠4，則AB∥CD；
（4）∠B＝∠5，則AB∥CD，
故能判定AB∥CD的條件個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
19．（2021春?金壇區(qū)期末）已知：如圖，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求證：AD∥EF．
【分析】根據(jù)平行線的判定推出GD∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAD＝∠2，根據(jù)等量關(guān)系可得∠3+∠CAD＝180°，再根據(jù)平行線的判定得出即可．
【解答】證明：∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC，
∴∠CAD＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠CAD＝180°，
∴AD∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．
20．（2021春?邗江區(qū)校級(jí)期末）將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．
證明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ ECD （ 角平分線的定義 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ ECD （ 等量代換 ）．
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 ）．
【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的定義即可解決問(wèn)題．
【解答】證明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分線的定義），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代換），
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．
故答案為：ECD；角平分線的定義；ECD；等量代換；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定解答．
21．（2021春?崇川區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G．
（1）求證：∠CFD＝90°；
（2）求證：AB∥CD．
【分析】（1）由∠C＝∠1得到BE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證得∠CFD＝∠DGE＝90°；
（2）首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知得到∠C＝∠1，由∠2和∠D互余，得到∠C＝∠2，從而證得AB∥CD．
【解答】證明：（1）∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∵∠C＝∠1，
∴BE∥CF，
∴∠CFD＝∠DGE＝90°；
（2）∵BE⊥FD，
∴∠DGE＝90°，
∴∠1+∠D＝90°，
又∵∠2和∠D互余，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠C＝∠1，
∴∠C＝∠2，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的判定和性質(zhì)，由BE⊥FD及三角形內(nèi)角和定理得出∠1和∠D互余是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
22．（2021春?寶應(yīng)縣月考）已知：如圖，∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，求證：AB∥CD．
【分析】根據(jù)等角的余角相等得∠1＝∠2，根據(jù)等量關(guān)系可得∠2＝∠C，然后根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD．
【解答】證明：∵∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，
∴∠2＝∠1，
∵∠C＝∠1，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．
23．（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，GM、HN分別平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，求證：AB∥CD．
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BGE+∠DHF＝180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和等量關(guān)系，以及平行線的判定即可求解．
【解答】證明：∵GM、HN分別平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，
∴∠BGE+∠DHF＝180°，
∵∠BGE+∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠DHF，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】考查了角平分線的定義，平行線的判定，關(guān)鍵是熟悉同位角相等，兩直線平行的知識(shí)點(diǎn)．
24．（2021春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說(shuō)明理由．
【分析】根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定a∥b．
【解答】解：平行．理由如下：
如圖，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定．
25．（2021春?恩施市期末）請(qǐng)將下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整：
已知：如圖，點(diǎn)E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD
證明：∵CE平分∠ACD
∴∠ 2 ＝∠ ECD （ 角平分線的定義 _），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠ ECD （ 等量代換 ）
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行 ）
【分析】根據(jù)平行線的判定依據(jù)角平分線的定義即可解決問(wèn)題．
【解答】證明：∵CE平分∠ACD
∴∠2＝∠ECD（角平分線的定義），
∵∠1＝∠2．（已知）
∴∠1＝∠ECD（等量代換））
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）．
故答案為：2，ECD，角平分線的定義，ECD，等量代換，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
26．（2021春?鹽都區(qū)月考）如圖1，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側(cè)．
（1）若∠DCF＝70°，試判斷射線AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．
【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：∵∠DCF＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：存在．分三種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此時(shí)（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此時(shí)（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此時(shí)t＞50，
∵38＜50，
∴此情況不存在．
綜上所述，t為2秒或38秒時(shí)，CD與AB平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
一．選擇題（共5小題）
1．（2021春?大余縣期末）如圖，∠1的同位角是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【分析】根據(jù)同位角定義可得答案．
【解答】解：∠1的同位角是∠5，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形．
2．（2021春?驛城區(qū)期末）下列所示的四個(gè)圖形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．②④
【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的概念解答即可．
【解答】解：∠1和∠2是同位角的是①②，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的概念，關(guān)鍵是根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角的概念解答．
3．（2020秋?鹽田區(qū)期末）如圖，點(diǎn)E在射線AB上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBEB．∠A＝∠CC．∠C＝∠CBED．∠A+∠D＝180°
【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2021春?儀征市期中）如圖，要得到a∥b，則需要條件（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1＝∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝120°
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得出a∥b，需要的條件．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線判定，正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．
5．（2021春?峽江縣期末）如圖，下列條件：①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5； ④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3，其中能判斷直線l1∥l2的有（ ）
A．5 個(gè)B．4 個(gè)C．3 個(gè)D．2 個(gè)
【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
③∵∠4＝∠5，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確；
④∵∠2＝∠3不能判定l1∥l2，故本小題錯(cuò)誤；
⑤∵∠6＝∠2+∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故本小題正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
二．填空題（共6小題）
6．（2020春?興化市月考）如圖，直線AB、CD被直線AE截，則∠A和∠ EFD 是同位角．
【分析】利用同位角定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：直線AB、CD被直線AE截，則∠A和∠EFD是同位角，
故答案為：EFD．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同位角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形．
7．（2018秋?海安市期末）如圖，直線DE經(jīng)過(guò)三角形ABC的頂點(diǎn)A，則∠DAC與∠C的關(guān)系是 同旁內(nèi)角 ．（填“內(nèi)錯(cuò)角”或“同旁內(nèi)角”）
【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角解答即可．
【解答】解：由圖可知：∠DAC與∠C的關(guān)系是同旁內(nèi)角，
故答案為：同旁內(nèi)角
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．
8．（2020春?吳忠期末）如圖，木工師傅用角尺畫(huà)平行線的依據(jù)是 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行或根據(jù)同位角相等兩直線平行 ．
【分析】在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行或根據(jù)同位角相等兩直線平行
【解答】解：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行或根據(jù)同位角相等兩直線平行，
故答案為：在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行或根據(jù)同位角相等兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2019春?銅山區(qū)期中）如圖，如果∠B＝∠1，則可得DE∥BC，如果∠B＝∠2，那么可得 AB∥EF ．
【分析】同位角相等，兩直線平行，依此即可求解．
【解答】解：∵∠B＝∠2，
∴AB∥EF．
故答案為：AB∥EF．
【點(diǎn)評(píng)】考查了平行線的判定，解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．
10．（2019?南京）結(jié)合圖，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理形式：∵ ∠1+∠3＝180° ，∴a∥b．
【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，
∴a∥b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
故答案為：∠1+∠3＝180°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行的判定，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
11．（2018春?鄒平市期末）如圖，對(duì)于下列條件：①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠D＝∠5；其中一定能判定AB∥CD的條件有 ①③ （填寫(xiě)所有正確條件的序號(hào)）．
【分析】根據(jù)平行線的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥DC，符合題意；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，故本選項(xiàng)正確；
④∵∠D＝∠5；
∴AD∥BC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選答案為：①③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
12．（2019秋?崇川區(qū)校級(jí)期末）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題我們常會(huì)把它分解為基本問(wèn)題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題思想．
（1）如圖1，直線l1，l2被直線l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了 2 對(duì)同旁內(nèi)角．
（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，圖中一共有 6 對(duì)同旁內(nèi)角．
（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成 24 對(duì)同旁內(nèi)角．
（4）平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多可以形成 n（n﹣1）（n﹣2） 對(duì)同旁內(nèi)角．
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角的定義，結(jié)合圖形確定同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)．
【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)交點(diǎn)可以形成2對(duì)同旁內(nèi)角，而三個(gè)交點(diǎn)形成的同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)為6對(duì)，
（1）直線l1，l2被直線l3所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了2對(duì)同旁內(nèi)角．
（2）平面內(nèi)三條直線l1，l2，l3兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，圖中一共有3×2＝6對(duì)同旁內(nèi)角．
（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，交點(diǎn)最多為6個(gè)，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24對(duì)同旁內(nèi)角．
（4）平面內(nèi)n條直線兩兩相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）對(duì)同旁內(nèi)角
故答案為：（1）2；（2）6；（3）24；（4）n（n﹣1）（n﹣2）
【點(diǎn)評(píng)】此題考查同旁內(nèi)角問(wèn)題，本題是規(guī)律總結(jié)的問(wèn)題，應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
13．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE＝∠AEC．求證：AB∥CD．
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答即可．
【解答】證明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
又∵∠ACE＝∠AEC，
∴∠DCE＝∠AEC，
∴AB∥CD．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義得出∠ACE＝∠ECD．
14．（2021春?東臺(tái)市月考）如圖，∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，試說(shuō)明DE∥FB．
【分析】根據(jù)角平分線定義和已知求出∠CDE＝∠ABF，推出∠2＝∠ABF，根據(jù)平行線的判定推出即可．
【解答】解：DE∥BF，
理由是：∵∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，
∴∠1＝∠ABF，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ABF，
∴DE∥BF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和角平分線定義的應(yīng)用，注意：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
15．（2019春?邗江區(qū)期中）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．求證：DG∥BA．
【分析】首先證明AD∥EF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠BAD，再由∠1＝∠2，可得∠2＝∠BAD，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得DG∥BA．
【解答】證明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFB＝∠ADB＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠BAD，
∴AB∥DG．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
16．（2018春?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，EG⊥FG．
（1）若∠BEG+∠DFG＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，當(dāng)EG⊥FG保持不變，EG上有一點(diǎn)M，使∠MFG＝2∠DFG，則∠BEG與∠MFD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（3）如圖2，若移動(dòng)點(diǎn)M，使∠MFG＝n∠DFG，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BEG與∠MFD的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）延長(zhǎng)EG交CD于H，根據(jù)平角的定義得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根據(jù)平行線判定定理即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)EG交CD于H，根據(jù)平角的定義得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根據(jù)平行線判定定理即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)平角的定義得到∠HGF＝∠EGF＝90°，根據(jù)平行線判定定理即可得到結(jié)論；
【解答】解：（1）AB∥CD，
理由：延長(zhǎng)EG交CD于H，
∴∠HGF＝∠EGF＝90°，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠BEG+∠DFG＝90°，
∴∠BEG＝∠GHF，
∴AB∥CD；
（2）∠BEG+∠MFD＝90°，
理由：延長(zhǎng)EG交CD于H，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝2∠DFG，
∴∠BEG+∠MFD＝90°；
（3）∠BEG+（）∠MFD＝90°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠GHF，
∵EG⊥FG，
∴∠GHF+∠GFH＝90°，
∵∠MFG＝n∠DFG，
∴∠BEG+∠MFG＝∠BEG+（）∠MFD＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，三角形的內(nèi)角和，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
題組B 能力提升練
一．填空題（共6小題）
1．在圖①所標(biāo)注的6個(gè)角中共有 1 對(duì)同位角， 3 對(duì)內(nèi)錯(cuò)角， 4 對(duì)同旁內(nèi)角，在圖②中共有 5 對(duì)同旁內(nèi)角．
【分析】根據(jù)同位角就是：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角，內(nèi)錯(cuò)角是兩個(gè)角都在截線的兩側(cè)，又分別處在被截的兩條直線中間的位置的角，同旁內(nèi)角是兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線中間位置的角，可得答案．
【解答】解：在圖①所標(biāo)注的6個(gè)角中∠1與∠4是同位角，∠3與∠6，∠1與∠3，∠4與∠5是內(nèi)錯(cuò)角，∠2與∠3，∠2與∠4，∠3與∠4，∠5與∠6是同旁內(nèi)角，故共有1對(duì)同位角，3對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，4對(duì)同旁內(nèi)角，在圖②中∠CAB與∠B，∠B與∠C，∠C與∠CAB，∠DAC與∠C，∠EAB與∠B是同旁內(nèi)角，故共有5對(duì)同旁內(nèi)角．
故答案為：1，3，4，5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．
2．如圖：
（1）∠2與∠4是直線 l3 、 l4 被直線 l1 所截成的同位角；
（2）∠3與 ∠1或者∠5 是同位角．
【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義可直接得到答案．
【解答】解：（1）∠2與∠4是直線l3、l4被直線l1所截成的同位角；
（2）∠3與∠1或者∠5是同位角；
故答案為：（1）l3 l4 l1
（2）∠1 或者∠5
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三線八角，在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．
3．（2020春?江都區(qū)期中）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)B、D重合，若固定三角形AOB，改變?nèi)前錋CD的位置（其中A點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)∠BAD＝ 30°或150° 時(shí)，CD∥AB．
【分析】分兩種情況，根據(jù)CD∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠BAD的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示：當(dāng)CD∥AB時(shí)，∠BAD＝∠D＝30°；
如圖所示，當(dāng)AB∥CD時(shí)，∠C＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝60°+90°＝150°；
故答案為：150°或30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由直線的平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．
4．（2020春?邳州市期中）如圖，兩塊三角板形狀、大小完全相同，邊AB∥CD的依據(jù)是 內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行 ．
【分析】利用平行線的判定方法即可解決問(wèn)題．
【解答】解：由題意：∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）
故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
5．（2019春?南京期中）如圖，在△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝50°，∠C＝60°，點(diǎn)D在邊OA上，將圖中的△COD繞點(diǎn)O按每秒20°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第t秒時(shí)，邊CD恰好與邊AB平行，則t的值為 5.5秒或14.5 ．
【分析】討論：如圖1，△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△C′OD′，C′D′交OB于E，了；一平行線的判定，當(dāng)∠OEC′＝∠B＝50°時(shí)，C′D′∥AB，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠C′OC＝110°，從而可計(jì)算出此時(shí)△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°得到△C′OD′所需時(shí)間；如圖2，△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，利用平行線的判定得當(dāng)∠OFC″＝∠B＝50°時(shí)，C″D″∥AB，根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠C″OC＝70°，則△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋290°得到△C″OD″，然后計(jì)算此時(shí)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．
【解答】解：如圖1，△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△C′OD′，C′D′交OB于E，則∠C′OD′＝∠COD＝90°，∠OC′D＝∠C＝60°，
當(dāng)∠OEC′＝∠B＝50°時(shí)，C′D′∥AB，
∴∠C′OC＝∠OEC′+∠OC′E＝50°+60°＝110°，
∴△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°得到△C′OD′所需時(shí)間為＝5.5（秒）；
如圖2，△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，則∠C″OD″＝∠COD＝90°，∠OC″D＝∠C＝60°，
當(dāng)∠OFC″＝∠B＝50°時(shí)，C″D″∥AB，
∴∠C″OC＝180°﹣∠OFC″+∠OC′F＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
而360°﹣70°＝290°，
∴△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋290°得到△C″OD″所需時(shí)間為＝14.5（秒）；
綜上所述，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，在第5.5秒或14.5秒時(shí)，邊CD恰好與邊AB平行．
故答案為：5.5秒或14.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了平行線的判定．
6．（2019春?東臺(tái)市月考）如果兩條直線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的度數(shù)比為3：2，差為36°，那么這兩條直線的位置關(guān)系是 平行 ，這是因?yàn)?同旁內(nèi)角互補(bǔ) ．
【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)及已知可求得兩角的度數(shù)，從而根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行判定兩直線的關(guān)系．
【解答】解：∵一組同旁內(nèi)角的度數(shù)比為3：2，差為36°
∴設(shè)較小的角為：x，則較大的為x+36°
∴（x+36°）：x＝3：2
∴x＝72°，x+36°＝108°
∵72°+108°＝180°即同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
∴這兩條直線的位置關(guān)系是平行
∴答案為：平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行線的判定的理解及運(yùn)用能力．
二．解答題（共6小題）
7．（2014春?灌云縣校級(jí)期末）如圖，∠1和∠2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？∠1和∠3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？
【分析】根據(jù)同位角的概念作答．準(zhǔn)確識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說(shuō)，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線．
【解答】解：∠1和∠2是直線EF、DC被直線AB所截形成的同位角，∠1和∠3是直線AB、CD被直線EF所截形成的同位角．
【點(diǎn)評(píng)】同位角，即位置相同，兩個(gè)角都在第三條直線的同旁，同在被截兩條直線的上方或下方．在截線的同旁找同位角和同旁內(nèi)角，在截線的兩旁找內(nèi)錯(cuò)角．要結(jié)合圖形，熟記同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)，比較它們的區(qū)別與聯(lián)系．
8．（2021春?科左中旗期末）填空并完成以下證明：
已知，如圖，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H，求證：CD⊥AB．
證明：FH⊥AB（已知）
∴∠BHF＝ 90° ．
∵∠1＝∠ACB（已知）
∴DE∥BC（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠2＝ ∠BCD ．（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∵∠2＝∠3（已知）
∴∠3＝ ∠BCD ．（ 等量代換 ）
∴CD∥FH（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠BDC＝∠BHF＝ 90 ．°（ 兩直線平行，同位角相等 ）
∴CD⊥AB．
【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根據(jù)∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】證明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），
∴∠2＝∠BCD．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代換），
∴CD∥FH（同位角相等，兩直線平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（兩直線平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
故答案為：90°；同位角相等，兩直線平行；∠BCD；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠BCD；等量代換；同位角相等，兩直線平行；90；兩直線平行，同位角相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE與DF平行嗎？為什么？
解：BE∥DF．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 ．
理由是： 等角的余角相等 ．
∴BE∥DF．
理由是： 同位角相等，兩直線平行 ．
【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定義得到∠ABC為直角，進(jìn)而得到∠3與∠4互余，再由∠1與∠2互余，根據(jù)∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等兩直線平行即可得證．
【解答】解：BE∥DF，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°，
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4，
理由是：等角的余角相等，
∴BE∥DF．
理由是：同位角相等，兩直線平行．
故答案為：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，兩直線平行．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
10．（2019春?泰安期中）如圖，直線a⊥b，垂足為O，△ABC與直線a、b分別交于點(diǎn)E、F，且∠C＝90°，EG、FH分別平分∠MEC和∠NFC．
（1）填空：∠OEC+∠OFC＝ 180° ；
（2）求證：EG∥FH．
【分析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和解答即可；
（2）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和平行線的判定解答即可．
【解答】解：（1）在四邊形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
故答案為：180°；
（2）證明：在四邊形OECF中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
因?yàn)椤螹EC＝180°﹣∠OEC，
∠NFC＝180°﹣∠OFC，
所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）
＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）
＝360°﹣180°＝180°，
因EG，F(xiàn)H分別平分∠MEC和∠NFC，
所以∠CEG＝∠MEC，∠CFH＝∠NFC，
所以∠CEG+∠CFH＝（∠MEC+∠NFC）＝×180°＝90°，
過(guò)C點(diǎn)作CD∥EG，
所以∠CEG＝∠DCE，
因?yàn)椤螪CE+∠DCF＝90°，
∠CEG+∠CFH＝90°，
所以∠DCF＝∠CFH，
所以CD∥FH，
又因?yàn)镃D∥EG，
所EG∥FH．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
11．（2018春?吳中區(qū)期中）如圖，已知在∠MON的一邊OM上有一點(diǎn)A，另一邊ON上有一點(diǎn)C，過(guò)A作ON的垂線交ON于點(diǎn)B，過(guò)C作OM的垂線交OM于點(diǎn)D，AE、CF分別是∠DAB及∠DCB的平分線．判斷AE與CF是否平行，并說(shuō)明理由．
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答即可．
【解答】解：AE∥CF，理由如下：
∵AB⊥ON，CD⊥OM，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∵AE、CF分別是∠DAB及∠DCB的平分線，
∴∠BAE+∠FCE＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠FCE，
∴AE∥CF．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定解答．
12．（2018春?濟(jì)寧期末）如圖，已知AD⊥BC于點(diǎn)D，EF⊥BC于點(diǎn)F，且AD平分∠BAC．請(qǐng)問(wèn)：
（1）AD與EF平行嗎？為什么？
（2）∠3與∠E相等嗎？試說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得∠EFD＝∠ADC＝90°，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行解答；
（2）根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1＝∠E，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2＝∠3，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，最后等量代換即可得證．
【解答】解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠EFD＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EF；
（2）∠3＝∠E．
理由如下：∵AD∥EF，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠E．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定，平行線的性質(zhì)，垂線的定義，是基礎(chǔ)題，熟記判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．