蘇科版七年級(jí)下冊(cè)12.2 證明綜合訓(xùn)練題

這是一份蘇科版七年級(jí)下冊(cè)12.2 證明綜合訓(xùn)練題，共26頁(yè)。
1．（2020春?儀征市期末）已知△ABC，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線上）．連接PB、PC，設(shè)∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，
①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝ ；
②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，直接寫(xiě)出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形．
2．（2020春?揚(yáng)中市期中）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖③，延長(zhǎng)線段BP、QC交于點(diǎn)E，△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．
3．（2019春?常熟市月考）好學(xué)的小紅在學(xué)完三角形的角平分線后，遇到下列4個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫她解決．如圖，在△ABC中，∠BAC＝48°，點(diǎn)I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)．
（1）填空：∠BIC＝ °．
（2）若點(diǎn)D是兩條外角平分線的交點(diǎn)，填空：∠BDC＝ °．
（3）若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點(diǎn)，試探索：∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（4）在問(wèn)題（3）的條件下，當(dāng)∠ACB等于 度時(shí)，CE∥AB？
4．（2019春?寶應(yīng)縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求∠CBE的度數(shù)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF∥BE，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求∠F的度數(shù)．
5．（2019春?常熟市期中）在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）如圖1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分線CE交AD于點(diǎn)F，試說(shuō)明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的條件下，如圖2，△ABC的外角∠ACQ的角平分線CP交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠P與∠CFD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
（3）如圖3，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD交AC于點(diǎn)F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PE，垂足為E，交PD于點(diǎn)G，試說(shuō)明CE平分∠ACB．
6．如圖，△ABC中，∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，求∠ADB的度數(shù)．
7．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，∠A＝50°，∠BDC＝70°，求∠BED的度數(shù)．
8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）圖1中，作∠BAC的角平分線AD，分別交CB、BE于D、F兩點(diǎn)，求證：∠EFD＝∠ADC；
（2）圖2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD，分別交CB、BE的延長(zhǎng)線于D、F兩點(diǎn)，試探究（1）中結(jié)論是否仍成立？為什么？
9．在△ABC中，∠ADB＝100°，∠C＝80°，∠BAD∠DAC，BE平分∠ABC，求∠BED的度數(shù)．
10．如圖，D是△ABC的BC邊上的一點(diǎn)，AD＝BD，∠ADC＝80°．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）若∠BAC＝70°，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
11．如圖：已知△ABC與△DEF是一副三角板的拼圖，A，E，C，D在同一條線上．
（1）求證EF∥BC；
（2）求∠1與∠2的度數(shù)．
12．如圖，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，則∠A＝ °；
（2）若∠A＝80°，試求∠BPC的度數(shù)；
（3）試直接寫(xiě)出∠DPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：∠DPC＝ ．
13．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD．
①圖中有 個(gè)“8字形”；
②若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)；
（3）如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，求∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系．
14． Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝30°，則∠1+∠2＝ °；
（2）若點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．
（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由．
（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC之外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2的關(guān)系為： ．
15．（2020春?徐州期末）△ABC中，∠C＝70°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
初探：
（1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)∠α＝60°時(shí)，則∠1+∠2＝ °；
②∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為： ．
再探：
（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖2，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．
拓展：
（3）請(qǐng)你試著給出一個(gè)點(diǎn)P的其他位置，在圖3中補(bǔ)全圖形，并寫(xiě)出此時(shí)∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系： ．
16．（2020春?淮安區(qū)期中）在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形”．例如，三個(gè)內(nèi)角分別為120°、40°、20°的三角形是“靈動(dòng)三角形”；三個(gè)內(nèi)角分別為80°、75°、25°的三角形也是“靈動(dòng)三角形”等等．如圖，∠MON＝60°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（規(guī)定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度數(shù)為 °，△AOB ．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，則△AOC （填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；
（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．
17．（2020春?常州期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)P，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作DE⊥CP分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，
（1）若∠BAC＝40°，求∠APB與∠ADP度數(shù)；
（2）探究：通過(guò)（1）的計(jì)算，小明猜測(cè)∠APB＝∠ADP，請(qǐng)你說(shuō)明小明猜測(cè)的正確性（要求寫(xiě)出過(guò)程）．
18．（2020春?寶應(yīng)縣期末）（1）如圖1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，∠C＝70°．
①∠BAC＝ °，∠DAE＝ °；
②如圖2．若把“AE⊥BC”變成“點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)E⊥BC”，其它條件不變，求∠DFE的度數(shù)；
（2）如圖3，AD平分∠BAC，AE平分∠BEC，∠C﹣∠B＝40°，求∠DAE的度數(shù)．
19．（2020春?泰興市校級(jí)期中）直線MN與直線PQ相交于O，∠POM＝60°，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，∠BAO＝70°，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，試求出∠AEB的度數(shù)．
（2）如圖2，已知AB不平行CD，AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CED的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值．
（3）在（2）的條件下，在△CDE中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠DCE的度數(shù)．
20．（2020春?江陰市期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點(diǎn)F．
（1）求證：∠AEF＝∠AFE；
（2）G為BC上一點(diǎn)，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時(shí)，求∠CGF的度數(shù)．
參考答案
一．解答題（共20小題）
1．
【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；
②結(jié)論：x＝y(tǒng)+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；
（2）分6種情形分別求解即可解決問(wèn)題；
【解析】（1）①∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝110°，
∵∠PBA＝10°，∠PCA＝20°，
∴∠PBC+∠PCB＝80°，
∴∠BPC＝100°，
∴x＝100，
故答案為100．
②結(jié)論：x＝y(tǒng)+s+t．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB＝180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC＝180°，
∴∠A+∠PBA+∠PCA＝∠BPC，
∴x＝y(tǒng)+s+t．
（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關(guān)系：
如圖1：s+x＝t+y；
如圖2：s+y＝t+x；
如圖3：y＝x+s+t；
如圖4：x+y+s+t＝360°；
如圖5：t＝s+x+y；
如圖6：s＝t+x+y；
．
2．
【分析】（1）運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠1+∠2，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問(wèn)題；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°∠A，求出∠E∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分別列出方程，求解即可．
【解析】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，
∴∠P＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，
∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB）
（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
（180°+∠A）
＝90°∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A；
（3）延長(zhǎng)BC至F，
∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
∠ABC∠MBC
（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，則90°∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，則∠A＝2（90°∠A），解得∠A＝120°．
綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．
3．
【分析】（1）想辦法求出∠IBC+∠ICB即可解決問(wèn)題．
（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°解決問(wèn)題即可．
（3）設(shè)∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y(tǒng)，利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．
（4）利用平行線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）∵∠A＝48°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣48°＝132°，
∵點(diǎn)I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)，
∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝66°，
∴∠BIC＝180°﹣66°＝114°．
故答案為114．
（2）由題意：∠IBD＝∠ICD＝90°，
∴∠BDC+∠BIC＝180°，
∴∠BDC＝66°．
故答案為66．
（3）設(shè)∠ACE＝∠ECG＝x，∠ABI＝∠IBC＝y(tǒng)，
∴2x＝2y+∠A①，
x＝y(tǒng)+∠E②，
①÷2﹣②可得∠E∠A．
（4）∵CE∥AB，
∴∠ECA＝∠A＝48°，
∴∠ECG＝∠ECA＝∠ABC＝48°，
∴∠ACB＝180°﹣48°﹣48°＝84°
故答案為84．
4．
【分析】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出∠CBD，根據(jù)角平分線的定義計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，
∴∠CBD＝124°，
∵BE是∠CBD的平分線，
∴∠CBE∠CBD＝62°；
（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，
∴∠CEB＝28°，
∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝28°．
5．
【分析】（1）如圖1中，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明．
（2）如圖2中，首先證明∠PCE＝90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，延長(zhǎng)PE交BC于H，設(shè)PA交AC于K．只要證明∠EKC＝∠EHC，即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）證明：
如圖1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，
又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）∠P+∠CFD＝90°，理由如下：
如圖2中，
∵∠ACE∠ACB，∠ACP∠ACQ，
∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP（∠ACB+∠ACQ）＝90°，
∴∠P+∠AEC＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，
∴∠P+∠CFD＝90°．
（3）證明：
如圖3中，延長(zhǎng)PE交BC于H，設(shè)PA交AC于K．
∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，
又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，
∴∠EKC＝∠EHC，
∵CE⊥KH，
∴∠CEK＝∠CEH＝90°，
∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，
∴∠ECK＝∠ECH，
∴CE平分∠ACB．
6．
【分析】依據(jù)∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，即可得出∠DBC＝35°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ADB的度數(shù)．
【解析】∵∠ABC＝∠C＝70°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝35°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝70°+35°＝105°．
7．
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出∠ABD的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求出∠ABC的度數(shù)，再“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可求出∠BED的度數(shù)．
【解析】∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝70°﹣50°＝20°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BED＝180°，
∴∠BED＝180°﹣∠ABC＝140°．
8．
【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進(jìn)而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進(jìn)而得∠EFD＝∠ADC．
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
9．
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出∠DAC，再求出∠BAD，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．
【解析】∵∠ADB＝100°，∠C＝80°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝100°﹣80°＝20°，
∵∠BAD∠DAC，
∴∠BAD20°＝10°，
在△ABD中，∠ABC＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣100°﹣10°＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC70°＝35°，
∴∠BED＝∠BAD+∠ABE＝10°+35°＝45°．
10．
【分析】（1）由AD＝BD，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，可得∠B＝∠BAD，又由三角形外角的性質(zhì)，即可求得∠B的度數(shù)；
（2）由∠BAC＝70°，易求得∠C＝∠BAC＝70°，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)，可證得△ABC是等腰三角形．
【解析】（1）∵在△ABD中，AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝80°，
∴∠B∠ADC＝40°；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵∠B＝40°，∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝70°，
∴∠C＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
11．
【分析】（1）由垂直于同一條直線的兩直線平行，可證EF∥BC．
（2）由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求∠1與∠2的度數(shù)．
【解析】（1）∵EF⊥AD，BC⊥AD，
∴BC∥EF（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行）．
（2）∵∠APE＝180°﹣∠AEP﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
又∵∠APE＝∠OPF，
∴∠1＝∠F+∠OPF＝30°+45°＝75°，
∠2＝∠DCQ+∠D＝90°+60°＝150°．
12．
【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠1∠ABC，∠2∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，易得∠BPC＝90°∠A，然后根據(jù)此結(jié)論解決各小題．
【解析】∵∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)P，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°∠ABC∠ACB＝180°（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
故答案為60．
（2）∵∠A＝80°，
∴∠BPC＝90°80°＝130°；
（3）∵∠BPC＝90°∠A，
∴∠DPC＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A．
故答案為：90°∠A．
13．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
（2）①根據(jù)“8字形”的定義判斷即可．
②根據(jù)“8字形”的性質(zhì)，構(gòu)建關(guān)系式解決問(wèn)題即可．
（3）根據(jù)“8字形”的性質(zhì)，構(gòu)建關(guān)系式解決問(wèn)題即可．
【解析】（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案為：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）①圖中，有6個(gè)“8字形”．
故答案為6．
②∵AP平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵PC平分∠BCD，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠B＝∠3+∠P①，∠2+∠P＝∠4+∠D②，
①﹣②得，2∠P＝∠B+∠D＝50°，
∴∠P＝25°．
（3）結(jié)論：2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP平分∠BCE，
∴∠3＝∠4，
∵AG平分∠DAF，
∴∠1＝∠2，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠2＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠4，
∴∠P+∠2＝∠B+∠4 ③，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3）④，
③+④得，2∠P＝∠B+∠D．
14．
【分析】（1）先用平角的得出，∠CDP＝180°﹣∠1，∠CEP＝180°﹣∠2，最后用四邊形的內(nèi)角和即可．
（2）同（1）方法即可．
（3）利用平角的定義和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．
（4）利用三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】（1）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α＝90°+30°＝120°，
故答案為：120．
（2）∵∠1+∠CDP＝180°，
∴∠CDP＝180°﹣∠1，
同理：∠CEP＝180°﹣∠2，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C＝360°，
∵∠C＝90°，
∴180°﹣∠1+α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
（3）如圖3，∵∠1+∠CDF＝180°，
∴∠CDF＝180°﹣∠1，
∵∠CFD＝∠2+α，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴90°+180°﹣∠1+∠2+α＝180°，
∴∠1﹣∠2﹣∠α＝90°．
（4）如圖4，∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠2＝∠C+∠EGC＝90°+∠PGD，
∴∠PGD＝∠2﹣90°，
∵∠PDG＝180°﹣∠1，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和得，∠DPG+∠PDG+∠PDG＝180°，
∴α+180°﹣∠1+∠2﹣90°＝180°，
∴∠2﹣∠1+∠α＝90°．
故答案為：∠2﹣∠1+∠α＝90°．
15． （1）如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，
①當(dāng)∠α＝60°時(shí)，則∠1+∠2＝ 130 °；
②∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為： ∠1+∠2＝70°+∠α ．
再探：
（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖2，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．
拓展：
（3）請(qǐng)你試著給出一個(gè)點(diǎn)P的其他位置，在圖3中補(bǔ)全圖形，并寫(xiě)出此時(shí)∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系： ∠1+∠2＝430°﹣∠α ．
【分析】（1）①如圖1中，連接PC．證明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可．
②利用①中結(jié)論解決問(wèn)題．
（2）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（3）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【解析】（1）①如圖1中，連接PC．
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，
∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°．
②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，
故答案為130，70°+∠α．
（2）結(jié)論：∠1＝70°+∠2+∠α．
理由：如圖2中，
∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝70°+∠2+∠α．
（3）結(jié)論：∠1+∠2＝430°﹣∠α．
理由：如圖3中，
∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．
故答案為∠1+∠2＝430°﹣∠α．
16．
（1）∠ABO的度數(shù)為 30 °，△AOB 是 ．（填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，則△AOC 是 （填“是”或“不是”）“靈動(dòng)三角形”；
（3）當(dāng)△ABC為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，求∠OAC的度數(shù)．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．
（2）求出∠OAC即可解決問(wèn)題．
（3）分三種情形分別求出即可．
【解析】（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“靈動(dòng)三角形”．
故答案為：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“靈動(dòng)三角形”．
故答案為：是．
（3）①當(dāng)∠CAB＝3∠ABC，時(shí)，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．
②當(dāng)∠ABC＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③∠ACB＝3∠CAB時(shí)，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，
綜上所述，滿足條件的值為30°或52.5°或80°．
17．
【分析】（1）首先說(shuō)明PC平分∠ACB，推出∠CDE＝45°，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．
（2）證明∠APB＝135°，∠ADP＝135°即可．
【解析】（1）∵∠ABC與∠BAC的角平分線相交于點(diǎn)P，
∴PC平分∠ACB，
∴∠PCD＝∠PCE∠ACB90°＝45°，
∵PC⊥DE，
∴∠CPD＝90°，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADP＝135°，
∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵∠PBA∠ABC＝25°，∠PAB∠BAC＝20°，
∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．
（2）結(jié)論：∠APB＝∠ADP．
理由：∵PB，PA分別是∠ABC，∠BAC的角平分線，
∴∠PBA∠ABC，∠PAB∠BAC，
∴∠APB＝180°（∠ABC+∠BAC）＝180°（180°﹣90°）＝135°，
∵∠ADP＝135°，
∴∠APB＝∠ADP．
18． ①∠BAC＝ 80 °，∠DAE＝ 20 °；
【分析】（1）①利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再求出∠CAD，∠CAE即可解決問(wèn)題．
②想辦法求出∠ADC即可解決問(wèn)題．
（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義構(gòu)建關(guān)系式解決問(wèn)題即可．
【解析】（1）①∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（30°+70°）＝80°，
∵AD平分∠ABC，
∴∠CAD∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAD＝20°．
故答案為80，20．
②∵∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴∠FDE＝∠ADC＝70°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠FDE＝20°．
（3）∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∵∠C+∠CAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝40°，
∴∠DAE＝20°．
19．
【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義計(jì)算即可．
（2）延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F，先求得∠PAB+∠MBA＝240°，再根據(jù)AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，求得∠BAD+∠ABC＝120°，進(jìn)而得出∠F＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠FDC+∠FCD＝1120°，即∠CDA+∠DCB＝240°，最后根據(jù)DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，得到∠CDE+∠DCE＝120°，進(jìn)而在△CDE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠E＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，因?yàn)椤鱁CD中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，推出∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，由此即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）如圖1中，∵BE平分∠ABO，AE平分∠BAO，
∴∠EBA+∠EAB（∠ABO+∠BAO）（180°﹣∠AOB）＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EBA+∠EAB）＝120°．
（2）∠CED的大小不變．
如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)F．
∵直線MN與直線PQ相交于O，
∴∠AOB＝60°，
∴∠OAB+∠OBA＝120°，
∴∠PAB+∠MBA＝240°，
∵AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線，
∴∠BAD∠BAP，∠ABC∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC（∠PAB+∠ABM）＝120°，
∴∠F＝60°，
∴∠FDC+∠FCD＝120°，
∴∠CDA+∠DCB＝240°，
∵DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線，
∴∠CDE+∠DCE＝120°，
∴△CDE中，∠E＝180°﹣120°＝60°．
（3）由（2）可知，∠EDC+∠ECD＝120°，
∵△ECD中有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，
∴∠ECD＝2∠EDC或∠EDC＝2∠ECD，
∴∠DCE＝40°或80°．
20．
【分析】（1）由角平分線定義得∠ABE＝∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分線定義得∠AFE＝∠GFE，進(jìn)而得∠AEF＝∠GFE，由平行線的判定得FG∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得結(jié)果．
【解析】（1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．