初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理綜合與測試學(xué)案設(shè)計

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版八年級下冊第十七章 勾股定理綜合與測試學(xué)案設(shè)計，共9頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，知識網(wǎng)絡(luò)，要點梳理，典型例題，思路點撥，答案與解析，總結(jié)升華等內(nèi)容，歡迎下載使用。
勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】 要點一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：） 2.勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）求作長度為的線段.要點二、勾股定理的逆定理1.原命題與逆命題　　如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.2.勾股定理的逆定理　　 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（2）驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形. 3.勾股數(shù)滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.常見的勾股數(shù)：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）要點三、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【典型例題】類型一、勾股定理及逆定理的應(yīng)用 1、如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一點，且AE＝，求點E到CD的距離EF．【思路點撥】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為△DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出△CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC．【答案與解析】解：過點D作DH⊥BC于H，連接DE、CE，則AD＝BH，AB＝DH，∴  CH＝BC－BH＝  DH＝AB＝，在Rt△CDH中，，∴  CD＝25，∵                      又∵ ，∴  ，∴  EF＝10．【總結(jié)升華】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡易方法．（2）利用勾股定理求邊長、面積時要注意邊長、面積之間的轉(zhuǎn)換． 舉一反三：【變式】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的點，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的長． 【答案】解：在△ABD中，由可知：，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．在Rt△ADC中，．類型二、勾股定理與其他知識結(jié)合應(yīng)用 2、如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家．試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？【思路點撥】作點A關(guān)于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決．【答案與解析】解：作點A關(guān)于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短．說明如下：在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE．∵  點G、A關(guān)于直線CD對稱，∴  AI＝GI，AE＝GE．由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得證．最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于點H，在直角三角形GHB中，∵  GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，∴  由勾股定理得．∴  GB＝1000，即最短路程為1000米．【總結(jié)升華】這是一道有關(guān)極值的典型題目．解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來證明，如本題中的I點．本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．舉一反三：【變式】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．【答案】解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BP＝DP，連接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，    即最短距離EP＋BP也就是ED．    ∵  AE＝3，EB＝1，∴  AB＝AE＋EB＝4，    ∴  AD＝4，根據(jù)勾股定理得： ．    ∵  ED＞0，∴  ED＝5，∴  最短距離EP＋BP＝5．3、如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F為AB上兩點(E左F右)，且∠ECF＝45°，求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.【思路點撥】：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若將∠ACE和∠BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將△ACE旋轉(zhuǎn)到△BCF的右外側(cè)合并，或?qū)?/span>△BCF繞C點旋轉(zhuǎn)到△ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理即可證明． 【答案與解析】解：(1)，理由如下：    將△BCF繞點C旋轉(zhuǎn)得△ACF′，使△BCF的BC與AC邊重合，    即△ACF′≌△BCF，    ∵  在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，    ∴  ∠CAF′＝∠B＝45°，∴  ∠EAF′＝90°．    ∵  ∠ECF＝45°，∴  ∠ACE＋∠BCF＝45°．    ∵  ∠ACF′＝∠BCF，∴  ∠ECF′＝45°．    在△ECF和△ECF′中：        ∴  △ECF≌△ECF′(SAS)，∴  EF＝EF′．    在Rt△AEF′中，，    ∴  ．【總結(jié)升華】若一個角的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題．4、（2014?順義區(qū)一模）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊．當(dāng)a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷△ABC的形狀（按角分類）．（1）請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時，△ABC為　   　三角形；當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，11時，△ABC為　    　三角形．（2）小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形．”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：當(dāng)a=2，b=4時，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？【思路點撥】（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；（2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．【答案與解析】解：（1）∵兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；故答案為：銳角；鈍角；（2）∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當(dāng)4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當(dāng)c=2時，這個三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當(dāng)2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類型三、本章中的數(shù)學(xué)思想方法1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．5、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求線段EF的長.　　　【答案與解析】解：連接AD．因為∠BAC＝90°，AB＝AC．又因為 AD為△ABC的中線，所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．且∠BAD＝∠C＝45°．因為∠EDA＋∠ADF＝90°．又因為∠CDF＋∠ADF＝90°．所以∠EDA＝∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．所以 AE＝FC＝5．同理：AF＝BE＝12．在Rt△AEF中，由勾股定理得：，所以EF＝13.【總結(jié)升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識.通過此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.舉一反三：【變式】已知凸四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，求證：　　  【答案】解：將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°．　　由于DC＝AD，故點A轉(zhuǎn)至點C．點B轉(zhuǎn)至點E，連結(jié)BE．　　∵ BD＝DE，∠BDE＝60°　　∴ △BDE為等邊三角形，BE＝BD易證△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB∵ 四邊形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°∴ ∴ 2.方程的思想方法6、如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，，求、、的值.　　
【答案與解析】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，則 ，由勾股定理，得.因為 ，所以，，，.【總結(jié)升華】在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.舉一反三：【變式1】直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積.【答案】解：設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是，根據(jù)題意得：
　　　　　由（1）得：，　　　∴，即 (3)　　　(3)－(2)，得：　　　∴直角三角形的面積是＝×12＝6（）【變式2】（2014春?防城區(qū)期末）如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？【答案】解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2．