初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第二十七章 相似綜合與測試精品學(xué)案設(shè)計

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版九年級下冊第二十七章 相似綜合與測試精品學(xué)案設(shè)計，共10頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，知識網(wǎng)絡(luò)，要點(diǎn)梳理，典型例題，答案與解析，總結(jié)升華，思路點(diǎn)撥等內(nèi)容，歡迎下載使用。



【學(xué)習(xí)目標(biāo)】


1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；


2、通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、 對 應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實(shí)際問題；


3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化；


4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.


【知識網(wǎng)絡(luò)】








【要點(diǎn)梳理】


要點(diǎn)一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).


要點(diǎn)詮釋：


(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；


(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形全等；


2.相似多邊形


如果兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．


要點(diǎn)詮釋：


（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．


（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比.3. 比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．


要點(diǎn)詮釋：


（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；（d也叫第四比例項(xiàng)）


（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．


要點(diǎn)二、相似三角形


相似三角形的判定:


判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.


判定方法（二）：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.


判定方法（三）：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似.


要點(diǎn)詮釋：


此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.


判定方法（四）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.


要點(diǎn)詮釋：


要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.


相似三角形的性質(zhì)：


（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；


（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；


相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.


要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.


(3) 相似三角形周長的比等于相似比；


（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。


3.相似多邊形的性質(zhì)：


（1）相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．


（2）相似多邊形的周長比等于相似比．


（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．


要點(diǎn)三、位似


1.位似圖形定義: 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心．


2.位似圖形的性質(zhì):


（1）位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；


（2) 位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；


（3）位似圖形中不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行.


要點(diǎn)詮釋：


(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構(gòu)成位似圖形.


（2）位似變換中對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)


為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.





要點(diǎn)四、黃金分割


1.定義：如圖，將一條線段AB分割成大小兩條線段AP、PB，若小段與大段的長度之比等于大段的長度與全長之比，即（此時線段AP叫作線段PB、AB的比例中項(xiàng)），則P點(diǎn)就是線段AB的黃金分割點(diǎn)（黃金點(diǎn)），這種分割就叫黃金分割．











2.黃金三角形：頂角為36°的等腰三角形，它的底角為72°，恰好是頂角的2倍，人們稱這種三角形為黃金三角形．


黃金三角形性質(zhì)：底角平分線將其腰黃金分割．


要點(diǎn)五、射影定理


在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，


∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）


∴；


；


（射影定理）；


（等積）．





【典型例題】


類型一、相似三角形


1. 已知：如圖，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時，這兩個三角形相似？





【答案與解析】


∵AC=a，BC=b，


∴AB=，


①當(dāng)△ABC∽△BDC時，


,


即.


②當(dāng)△ABC∽△CDB時，


，


即.


【總結(jié)升華】相似三角形中未明確對應(yīng)點(diǎn)和對應(yīng)邊時，要注意分類討論.


舉一反三


【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直線MN對折，使A、C重合，直線MN交AC于O.（1）求證：△COM∽△CBA； （2）求線段OM的長度.





【答案】


（1）證明： A與C關(guān)于直線MN對稱，


∴ACMN，∴∠COM=90°，


在矩形ABCD中，∠B=90°，


∴∠COM=∠B ，


又∠ACB=∠ACB，


∴△COM∽△CBA ，


（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，


∴AC=10 ，∴OC=5，


△COM∽△CBA，


∴，


∴OM=.


2. 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，將△ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，則四邊形MABN的面積是（ ）


A． B． C． D．








【答案】C；


【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，


再由翻折前后△CMN≌△DMN得對應(yīng)高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且


相似比為1:2，故兩者的面積比為1:4，從而得S△CMN：S四邊形MABN=1:3，故選C.


【總結(jié)升華】本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的平方等一些類知識點(diǎn).知識點(diǎn)豐富；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識來解決問題的能力.難度較大.





類型二、相似三角形的綜合應(yīng)用


3.（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE=OB，連接DE．


（1）求證：DE⊥BE；


（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．





【答案與解析】


證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，


∴BO=BD，


∵OE=OB，


∴OE=BD，


∴∠BED=90°，


∴DE⊥BE；





（2）∵OE⊥CD


∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，


∴∠CEO=∠CDE，


∵OB=OE，


∴∠DBE=∠CDE，


∵∠BED=∠BED，


∴△BDE∽△DCE，


∴，


∴BD?CE=CD?DE．


【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．


4. （2016?杭州）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，∠AED=∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點(diǎn)F，G，且．


（1）求證：△ADF∽△ACG；


（2）若，求的值．





【思路點(diǎn)撥】（1）欲證明△ADF∽△ACG，由可知，只要證明∠ADF=∠C即可．


（2）利用相似三角形的性質(zhì)得到=，由此即可證明．


【答案與解析】


（1）證明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，


∴∠ADF=∠C，


∵=，


∴△ADF∽△ACG．


（2）解：∵△ADF∽△ACG，


∴=，


又∵=，


∴=，


∴=1．


【總結(jié)升華】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識，記住相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題中考?？碱}型．


舉一反三：


【變式】（2015?湘潭）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．


（1）求證：△BDE∽△BAC；


（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．





【答案與解析】


證明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，


∴∠C=∠AED=90°，


∴∠DEB=∠C=90°，


∵∠B=∠B，


∴△BDE∽△BAC；


（2）由勾股定理得，AB=10．


由折疊的性質(zhì)知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．


∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，


在Rt△BDE中，由勾股定理得，


DE2+BE2=BD2，


即CD2+42=（8﹣CD）2，


解得：CD=3，


在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，


即32+62=AD2，


解得：AD=．


5. 如圖，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．


（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形．


（2）動點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動，且∠MPQ=60°保持不變．


設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．





【答案與解析】


（1）∵是等邊三角形


∴


∵是中點(diǎn)，


∴，


∵，


∴，


∴，


∴，


∴梯形是等腰梯形．


（2）在等邊中，


又∵，


∴，


∴，


∴，


∴，


∵ ∴，


∴ ，


∴.


【總結(jié)升華】利用相似三角形得到的比例式，構(gòu)建線段關(guān)系求得函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識來解題.


舉一反三


【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA運(yùn)動到點(diǎn)A為止，運(yùn)動速度為每秒2個單位長度．過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，設(shè)動點(diǎn)D運(yùn)動的時間為x秒，AE的長為y．


(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；


(2)當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少?





【答案】


(1)因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC，


所以.


又因?yàn)锳B=8，AC=6，，，


所以，即，


自變量x的取值范圍為.


(2)


.


所以當(dāng)時，S有最大值，且最大值為6.


類型三、黃金分割


6.如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點(diǎn)E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點(diǎn)B″使AB″=AB′．這是B″就是AB的黃金分割點(diǎn)．請你證明這個結(jié)論．





【答案與解析】


設(shè)正方形ABCD的邊長為2，


E為BC的中點(diǎn)，


∴BE=1


∴AE=，


又B′E=BE=1，


∴AB′=AE-B′E=-1，


∵AB″=AB′=-1


∴AB″：AB=(-1):2


∴點(diǎn)B″是線段AB的黃金分割點(diǎn)．


【總結(jié)升華】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵．


舉一反三


【變式】如圖，已知△ABC中，D是AC邊上一點(diǎn)，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．


求證：（1）AD=BD=BC； （2）點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．





【答案】


（1）∵∠A=36°，∠C=72°，


∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，


∴∠ABD=36°，


∴△ADB、△BDC是等腰三角形，


∴AD=BD=BC．


（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，


∴△ABC∽△BDC，


∴BC：AC=CD：BC，


∴BC2=AC?DC，


∵BC=AD，


∴AD2=AC?DC，


∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)．