人教版八年級下冊第十七章 勾股定理綜合與測試學(xué)案及答案

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?第08課 勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固

目標(biāo)導(dǎo)航


課程標(biāo)準(zhǔn)
1.了解勾股定理的歷史，掌握勾股定理的證明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的內(nèi)容；
3.能應(yīng)用勾股定理及逆定理解決有關(guān)的實際問題.

知識精講


知識點01 勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
2.勾股定理的應(yīng)用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；
（3）求作長度為的線段.
知識點02 勾股定理的逆定理
1.原命題與逆命題
　　如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.
2.勾股定理的逆定理
　　 勾股定理的逆定理：
如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；
（2）驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角形.
3.勾股數(shù)
滿足不定方程的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
常見的勾股數(shù)：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.
觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：
1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；
2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.
3.假設(shè)三個數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
知識點03 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系
區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；
聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).

能力拓展


考法01 勾股定理及逆定理的應(yīng)用
【典例1】如圖所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一點，且AE＝，求點E到CD的距離EF．

【分析】連接DE、CE將EF轉(zhuǎn)化為△DCE一邊CD上的高，根據(jù)題目所給的條件，容易求出△CDE的面積，所以利用面積法只需求出CD的長度，即可求出EF的長度，過點D作DH⊥BC于H，在Rt△DCH中利用勾股定理即可求出DC．
【答案與解析】
解：過點D作DH⊥BC于H，連接DE、CE，則AD＝BH，AB＝DH，
∴ CH＝BC－BH＝ DH＝AB＝，
在Rt△CDH中，，
∴ CD＝25，
∵


又∵ ，
∴ ，∴ EF＝10．
【點睛】（1）多邊形的面積可通過輔助線轉(zhuǎn)化為多個三角形的面積，利用面積法求三角形一邊上的高是一種常用的簡易方法．（2）利用勾股定理求邊長、面積時要注意邊長、面積之間的轉(zhuǎn)換．

【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，D是BC邊上的點，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的長．


【答案】
解：在△ABD中，由可知：
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在Rt△ADC中，．
考法02 勾股定理與其他知識結(jié)合應(yīng)用
【典例2】如圖所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后再回家．試問在何處飲水，所走路程最短？最短路程是多少？

【分析】作點A關(guān)于直線CD的對稱點G，連接GB，交CD于點E，利用“兩點之間線段最短”可知應(yīng)在E處飲水，再根據(jù)對稱性知GB的長為所走的最短路程，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可解決．
【答案與解析】
解：作點A關(guān)于直線CD的對稱點G，連接GB交CD于點E，由“兩點之間線段最短”可以知道在E點處飲水，所走路程最短．說明如下：

在直線CD上任意取一異于點E的點I，連接AI、AE、BE、BI、GI、GE．
∵ 點G、A關(guān)于直線CD對稱，∴ AI＝GI，AE＝GE．
由“兩點之間線段最短”或“三角形中兩邊之和大于第三邊”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得證．
最短路程為GB的長，自點B作CD的垂線，自點G作BD的垂線交于點H，在直角三角形GHB中，
∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，
∴ 由勾股定理得．
∴ GB＝1000，即最短路程為1000米．
【點睛】這是一道有關(guān)極值的典型題目．解決這類題目，一方面要考慮“兩點之間線段最短”；另一方面，證明最值，常常另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來證明，如本題中的I點．本題體現(xiàn)了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用．

【即學(xué)即練】如圖所示，正方形ABCD的AB邊上有一點E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一點P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．

【答案】
解：根據(jù)正方形的對稱性可知：BP＝DP，連接DE，交AC于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，
即最短距離EP＋BP也就是ED．

∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4，
∴ AD＝4，根據(jù)勾股定理得： ．
∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距離EP＋BP＝5．

【典例3】如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F為AB上兩點(E左F右)，且∠ECF＝45°，求證：線段AE,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】：由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若將∠ACE和∠BCF合在一起則為一特殊角45°，于是想到將△ACE旋轉(zhuǎn)到△BCF的右外側(cè)合并，或?qū)ⅰ鰾CF繞C點旋轉(zhuǎn)到△ACE的左外側(cè)合并，旋轉(zhuǎn)后的BF邊與AE邊組成一個直角，聯(lián)想勾股定理即可證明．
【答案與解析】
解：(1)，理由如下：
將△BCF繞點C旋轉(zhuǎn)得△ACF′，使△BCF的BC與AC邊重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵ 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．
∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°．
∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°．
在△ECF和△ECF′中：

∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′．
在Rt△AEF′中，，
∴ ．
【點睛】若一個角的內(nèi)部含有同頂點的半角，(如平角內(nèi)含直角，90°角內(nèi)含45°角，120°角內(nèi)含60°角)，則常常利用旋轉(zhuǎn)法將剩下的部分拼接在一起組成又一個半角，然后利用角平分線、全等三角形等知識解決問題．

【典例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設(shè)c為最長邊．當(dāng)a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，可以判斷△ABC的形狀（按角分類）．
（1）請你通過畫圖探究并判斷：當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，9時，△ABC為　 　三角形；當(dāng)△ABC三邊長分別為6，8，11時，△ABC為　 　三角形．
（2）小明同學(xué)根據(jù)上述探究，有下面的猜想：“當(dāng)a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形．”請你根據(jù)小明的猜想完成下面的問題：
當(dāng)a=2，b=4時，最長邊c在什么范圍內(nèi)取值時，△ABC是直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形？
【分析】
（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；
（2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的最大值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．
【答案與解析】
解：（1）∵兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10，
∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；
當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：銳角；鈍角；
（2）∵c為最長邊，2+4=6，
∴4≤c＜6，
a2+b2=22+42=20，
①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，
∴當(dāng)4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，
∴當(dāng)c=2時，這個三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，
∴當(dāng)2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂題目信息，理解理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
考法03 本章中的數(shù)學(xué)思想方法
1.轉(zhuǎn)化的思想方法：我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決．
【典例5】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．求線段EF的長.
　　　
【答案與解析】
解：連接AD．因為∠BAC＝90°，AB＝AC．
又因為 AD為△ABC的中線，
所以 AD＝DC＝DB．AD⊥BC．
且∠BAD＝∠C＝45°．
因為∠EDA＋∠ADF＝90°．
又因為∠CDF＋∠ADF＝90°．
所以∠EDA＝∠CDF．
所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以 AE＝FC＝5．
同理：AF＝BE＝12．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：
，所以EF＝13.
【總結(jié)升華】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理等知識.通過此題，我們可以知道：當(dāng)已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應(yīng)通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化把它們放在同一直角三角形中求解.

【即學(xué)即練】已知凸四邊形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，
求證：

【答案】
解：將△ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°．
　　由于DC＝AD，故點A轉(zhuǎn)至點C．點B轉(zhuǎn)至點E，連結(jié)BE．
　　
∵ BD＝DE，∠BDE＝60°
　　∴ △BDE為等邊三角形，BE＝BD
易證△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB
∵ 四邊形ADCB中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°
∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°
∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°
∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°
∴
∴
2.方程的思想方法
【典例6】如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ，求的值.
　　
【答案與解析】
解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝30°，
則 ，由勾股定理，得.
因為 ，所以，
，，.
【點睛】在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

【即學(xué)即練】直角三角形周長為12，斜邊長為5，求直角三角形的面積.
【答案】
解：設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是，根據(jù)題意得：
　　
　　　由（1）得：，
　　　∴，即 (3)
　　　(3)－(2)，得：
　　　∴直角三角形的面積是＝×12＝6（）
【即學(xué)即練】如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？

【答案】
解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，
∵周長為36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
過3秒時，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2．
分層提分


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（ ）．
A．1.5，2，2 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．
【詳解】
解：A、1.52+22≠22，不能構(gòu)成直角三角形，故符合題意；
B、72+242=252，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
C、62+82=102，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意；
D、92+122=152，能構(gòu)成直角三角形，故不符合題意．
故選：A．
【點睛】
本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．
2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形定義即可．
【詳解】
解：A、∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A＝∠B＋∠C，
∵∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，此選項正確；
B、如果a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此選項不正確；
C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
設(shè)∠A=x，則∠B=3x，∠C=2x，則x+3x+2x=180°，
解得：x=30°，則3x=90°，
∴△ABC是直角三角形，此選項正確；
D、如果a2：b2：c2=9：16：25，則a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，此選項正確；
故選：B．
【點睛】
本題考查了三角形內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形．
3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點，，都在格點上，若是的邊上的高，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用割補法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3?×1×2?×1×3?×2×3＝，
∴AC?BD＝，
∴?BD＝7，
∴BD＝．
故選：D．
【點睛】
本題考查了勾股定理與三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在四邊形中，，，，，則（ ）．

A．20 B．25 C．35 D．30
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理求得的長度，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】
解：
由勾股定理可得：

故選B
【點睛】
此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，則RtABC的面積是（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)∠C＝90°確定直角邊為，對式子兩邊平方，再根據(jù)勾股定理得到的值，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)∠C＝90°確定直角邊為，∴
∵
∴，即
∴
∴
故選A
【點睛】
此題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給式子確定的值．
6．如圖，已知中，，F(xiàn)是高和的交點，，，則線段的長度為（ ）

A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
先證明△BDF≌△ADC，得到BF=AC=，再根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】
解：∵和是△ABC的高線，
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠DBF=∠CAD，
∵，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC=，
在Rt△BDF中，DF=．
故選：D
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，證明△BDF≌△ADC是解題關(guān)鍵．
7．如圖，圓柱的底面周長是24，高是5，一只在A點的螞蟻想吃到B點的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑是（　　）

A．9 B．13 C．14 D．25
【答案】B
【解析】
【分析】
畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB，然后根據(jù)勾股定理求出AB即可求出結(jié)論．
【詳解】
解：該圓柱的側(cè)面展開圖，如下圖所示，

根據(jù)兩點之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB
AB恰為一個矩形的對角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，即長為24÷2=12
寬為5
∴AB==13
即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長為13．
故選：B．
【點睛】
此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，掌握勾股定理和兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．
8．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形”．若是“勻稱三角形”，且，，則為（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】
作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，由“勻稱三角形”的定義可判斷滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，設(shè)AC=2a，則CE=a，BE=2a，在Rt△BCE中∠BCE=90°，根據(jù)勾股定理可求出BC、AB，則AC：BC：AB的值可求出．
【詳解】
解：如圖①，作Rt△ABC的三條中線AD、BE、CF，

∵∠ACB=90°，
∴，
又在Rt△中，AD＞AC＞BC，

∴滿足條件的中線是BE，它是AC邊上的中線，
設(shè)AC=2a，則
在Rt△BCE中∠BCE=90°，
∴
在Rt△ABC中，
∴AC：BC：AB=
故選：B．
【點睛】
考查了新定義、勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是理解“勻稱三角形”的定義，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
9．如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在F處，BF交AD于點E．若∠BDC＝62°，則∠DEF的度數(shù)為（ ）

A．31° B．28° C．62° D．56°
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用互余計算出∠BDE＝28°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CBD＝∠BDE＝28°，接著根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠FBD＝∠CBD＝28°，然后利用三角形外角性質(zhì)計算∠DEF的度數(shù)，于是得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝90°，
∵，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE＝28°，
∵矩形ABCD沿對角線BD折疊，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°，
∴∠DEF＝∠FBD+∠BDE＝28°+28°＝56°．
故選：D．
【點睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線和折疊的性質(zhì)，綜合運用以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在中，，，點D，E為BC上兩點．，F(xiàn)為外一點，且，，則下列結(jié)論：
①；②；③；④，其中正確的是


A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①利用全等三角形的判定得≌，再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)得，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得，再利用三角形的面積計算 結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計算得結(jié)論．
【詳解】
解：如圖：


對于①，因為，
所以，
，
因此．
又因為，
所以．
又因為，所以．
因此≌，所以．
故①正確．
對于②，由①知≌，所以．
又因為，
所以，連接FD，
因此≌．
所以．
在中，因為，
所以．
故②正確．
對于③，設(shè)EF與AD交于G．
因為，
所以．
因此．
故③正確．
對于④，因為，
又在中，
又是以EF為斜邊的等腰直角三角形，
所以
因此，
故④正確．
故選A．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積．
題組B 能力提升練
11．如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面的部分為1尺．如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叺模瑒t這根蘆葦?shù)拈L度是______尺．

【答案】13
【解析】
【分析】
設(shè)出AB=AB'=x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．
【詳解】
解：設(shè)蘆葦長AB=AB′=x尺，則水深A(yù)C=(x-1)尺，
因為底面是邊長為10尺的正方形，所以B'C=5尺
在Rt△AB'C中，52+(x-1)2=x2，
解之得x=13，
即蘆葦長13尺．
故答案為：13．
【點睛】
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．
12．如圖，等腰中，，，于，且．則__________．

【答案】
【解析】
【分析】
在Rt△BCD中，由勾股定理求出CD，再設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=6+x，最后在Rt△ABD中由勾股定理求出x即可求解．
【詳解】
解：在Rt△BCD中，由勾股定理可知，
設(shè)AD=x，則AB=AC=AD+CD=x+6，
在Rt△ABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2，代入數(shù)據(jù)：
(x+6)2=x2+82，解得x=，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關(guān)鍵是設(shè)AD=x，進(jìn)而將AB用x的代數(shù)式表示，在Rt△ABD中使用勾股定理求出x求解．
13．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．

【答案】+24
【解析】
【分析】
連結(jié)BD，可求出BD=6，再根據(jù)勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，兩個三角形面積相加即可．
【詳解】
解：連結(jié)BD，
∵，
∴，
∵，，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，
BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
S△ABD=，
S△BDC=，
四邊形ABCD的面積是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案為：+24．

【點睛】
本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
14．如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為________

【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，即可得出選項．
【詳解】
解：如圖：

由圖可知：，
∵數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了數(shù)軸和實數(shù)，勾股定理的應(yīng)用，能讀懂圖象是解此題的關(guān)鍵．
15．如圖一只螞蟻從長為5cm，寬為3cm，高為4cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它爬行的最短距離是__________cm．

【答案】
【解析】
【分析】
把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．
【詳解】
解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．
（1）展開前面右面由勾股定理得;
（2）展開前面上面由勾股定理得;
（3）展開左面上面由勾股定理得;
所以最短路徑的長為;
故答案為：.
【點睛】
本題考查了平面展開—最短路徑問題及勾股定理的拓展應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
16．已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為和，求斜邊c的長．
【答案】斜邊c的長為
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理的定義“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”解答即可．
【詳解】
根據(jù)勾股定理可知：斜邊c的長．
故斜邊c的長為．
【點睛】
本題考查勾股定理及二次根式的混合運算．掌握勾股定理的定義是解答本題的關(guān)鍵．
17．在四邊形中，，為邊上的點．

（1）連接，，；
①如圖，若，求證：；
②如圖，若，求證：平分；
（2）如圖，是的平分線上的點，連接，，若，，，求的長．
【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）①根據(jù)條件得出，即可求證；
②延長交的延長線于點，得出再證明即可；
（2）解法1：過點分別作，，得到，由，，得到，設(shè)，求得，在和中，由勾股定理即可求得的長．
解法2：在上截取，得出，過作，根據(jù)，即可求得的長．
【詳解】
（1）①證明：，
，，
，
在和中
，，，
，
．

②證明：延長交的延長線于點，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分．

（2）解法1：如圖，過點分別作，，分別交及的延長線于點，．

平分，
，
又，，
，
在和中
，，，
，
，，
在和中
，，，
，
設(shè)，
，，
，，
，
，
，
，
在和中
，，，

．
解法2：如圖，在上截取，

，，
，
在和中
，，，
，
，
，
，
過作，垂足為，
，
，
在和中


．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線以及利用方程解決問題．
18．臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點為一海港，且點與直線上的兩點，的距離分別為，，又，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．

（1）求的度數(shù)．
（2）海港受臺風(fēng)影響嗎？為什么？
（3）若臺風(fēng)的速度為千米/小時，當(dāng)臺風(fēng)運動到點處時，海港剛好受到影響，當(dāng)臺風(fēng)運動到點時，海港剛好不受影響，即，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？
【答案】（1）；（2）海港受臺風(fēng)影響，證明見解析；（3）臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為小時．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷；
（2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出海港C是否受臺風(fēng)影響；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間．
【詳解】
（1），，，
，
是直角三角形，
∴∠ACB=90°；
（2）海港受臺風(fēng)影響，
過點作，

是直角三角形，
，
，
，
以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，
海港受臺風(fēng)影響．
（3）當(dāng)，時，正好影響港口，
，
，
臺風(fēng)的速度為千米/小時，
（小時）
答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為小時．
【點睛】
本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）如圖1，長方體的底面邊長分別為3m和2m，高為1m，在盒子里，可以放入最長為_______m的木棒；
（2）如圖2，在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點C，那么所用細(xì)線最短需要______m；
（3）如圖3，長方體的棱長分別為AB=BC=6cm，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時昆蟲乙從盒內(nèi)頂點A以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉昆蟲甲?

【答案】（1）；（2）；（3）昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出斜對角線的長即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）由題意的最短路徑相等，設(shè)昆蟲甲從頂點 沿棱 向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，列出方程求解即可．
【詳解】
（1）最長的為斜對角線：=；
（2）這根細(xì)線的長為：=；
（3）設(shè)昆蟲甲從頂點沿棱向頂點C爬行的同時，昆蟲乙從頂點A按路徑A→E→F，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，

∵x>0，解得：
答：昆蟲乙至少需要秒鐘才能捕捉到昆蟲甲．


【點睛】
本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解題的關(guān)鍵．
20．細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．




……
（1）請用含n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律________，_________；
（2）請推算出的長；
（3）求出的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用S1，S2，S3的值和變化規(guī)律直接得出答案即可；
（2）結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出；
（3）根據(jù)總結(jié)的規(guī)律計算，得到答案．
【詳解】
解：（1）∵，，
，，
，，
……，
∴，；
（2）∵OA1=，OA2=，OA3=，…，
∴OA10=，
故答案為：；
（3）S12+S22+S32+…+S102
=()2+()2+()2+…+()2
= (1+2+3+…+10)
=．
【點睛】
本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．解題的關(guān)鍵是觀察，觀察題中給出的結(jié)論，由此結(jié)論找出規(guī)律進(jìn)行計算．