人教B版高中數(shù)學(xué)選修1 2-2-3《直線及其方程課時2》教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份人教B版高中數(shù)學(xué)選修1 2-2-3《直線及其方程課時2》教學(xué)設(shè)計(jì)，共13頁。
《直線及其方程》教學(xué)設(shè)計(jì) 課時2直線的方向向量和法向量 一、本節(jié)內(nèi)容分析 “直線及其方程”作為高中平面解析幾何的第二節(jié),既是對初中所學(xué)“一次函數(shù)”的延展,又是后續(xù)學(xué)習(xí)“圓及其方程”“曲線與方程”的基石,它起著承上啟下的作用.在用有序?qū)崝?shù)對表示點(diǎn)之后,直線作為平面中最簡單的圖形,它的坐標(biāo)化既是自然延續(xù),又是圓與圓錐曲線坐標(biāo)化的前提,這體現(xiàn)了教材編排的系統(tǒng)性,以及由易到難、由淺入深的編排特點(diǎn).而坐標(biāo)法作為連接“形”與“數(shù)”的橋梁,作為平面解析幾何的基本思想,集中地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,這種思想貫穿于平面解析幾何始末. 本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下: 二、學(xué)情整體分析 從認(rèn)知水平和能力方面,高中二年級學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察、分析、概括能力,有著較豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)及活動經(jīng)驗(yàn),形成了自發(fā)地參與意識和合作意識,可以很好地理解直線的傾斜角、斜率、直線的方程、直線的平行與垂直、兩條直線的交點(diǎn)及距離公式等知識. 學(xué)情補(bǔ)充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教學(xué)活動準(zhǔn)備 【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】 1.直線的傾斜角與斜率 2.直線的方向向量與法向量 3.直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程 4.直線的兩點(diǎn)式方程與一般式方程 5.兩條直線的相交、平行與重合 6.兩條直線的垂直 7.點(diǎn)到直線的距離公式 【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】 1.通過“回顧與梳理”理解傾斜角等基本概念,掌握距離公式等主要知識. 2.通過知識的再現(xiàn)與延展理解知識間的內(nèi)在聯(lián)系,形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu). 3.體會數(shù)形結(jié)合思想,初步形成主動在“數(shù)”與“形”之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化的意識. 【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】 高中數(shù)學(xué)的課堂,一定要讓學(xué)生成為課堂教學(xué)的主體,首先讓學(xué)生參與到知識的生成過程中來,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的剖析,積累活動經(jīng)驗(yàn)和方法,教師可以適當(dāng)提問,創(chuàng)設(shè)情境,設(shè)計(jì)問題鏈,層層遞進(jìn),引發(fā)學(xué)生有方向的思考,體會其中所包含的數(shù)學(xué)思想,讓獲取知識的途徑變成雙向性、主動性,增強(qiáng)學(xué)生對研學(xué)的積極性、嚴(yán)謹(jǐn)性. 通過揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),讓學(xué)生養(yǎng)成求實(shí)、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習(xí)慣和鍥而不舍追求真理的精神.數(shù)學(xué)好玩,數(shù)學(xué)好學(xué),數(shù)學(xué)有用.要讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂,就要讓學(xué)生真切看到通過自己思考和發(fā)現(xiàn)所形成的知識,激發(fā)學(xué)生探究新知識的興趣,充分發(fā)揮學(xué)生思維的多樣性和創(chuàng)造性. 【教學(xué)方法建議】 情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________ 【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn) 1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素. 2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式. 3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直. 4.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式),體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 5.能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo). 6.探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離. 難點(diǎn) 體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用. 【教學(xué)材料準(zhǔn)備】 1.常規(guī)材料:直尺、多媒體課件、________________________________________________ 2.其他材料:_____________________________________________________________ 四、教學(xué)活動設(shè)計(jì) 教學(xué)導(dǎo)入 師:直線的傾斜角和斜率都是確定直線位置的幾何要素,因?yàn)椴⒉皇侨魏沃本€都有斜率,所以在解決一些與直線斜率相關(guān)的問題時,就不得不分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論,有時會有繁雜的討論,本節(jié)課我們可以通過直線的方向向量來避免這些. 教學(xué)精講 探究1 直線的方向向量 給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,在直線上任意取兩個不同的點(diǎn),顯然,向量也能夠描述直線的傾斜程度,如圖所示,我們稱是直線的一個方向向量. 【設(shè)活動深探究】 設(shè)計(jì)了讓學(xué)生找到能描述直線的傾斜程度的其他向量的活動,從特殊到一般讓學(xué)生探究直線的方向向量. 師:在平面直角坐標(biāo)系中,還能找到其他向量也能描述直線的傾斜程度嗎?如果能,總結(jié)一下這些向量之間的關(guān)系. 生:在直線上任意取兩個不同的點(diǎn),向量也可以描述直線的傾斜程度,在平面直角坐標(biāo)系中與向量平行的向量也可以描述直線的傾斜程度,這些向量是共線向量. 師:這些向量所在的直線與直線有什么關(guān)系? 生:這些向量所在的直線與直線平行或重合. 師:由此我們得到直線的方向向量. 【要點(diǎn)知識】 直線的方向向量 一般地,如果表示非零向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合,則稱向量為直線的一個方向向量,記作. 【觀察記憶能力】 通過觀察這些向量所在的直線與直線的位置關(guān)系,加深學(xué)生對方向向量的理解和掌握,提高學(xué)生的觀察記憶能力. 師:可見直線上的向量及與它平行的非零向量都稱為直線的方向向量.請同學(xué)們給出傾斜角為的直線的一個方向向量. 生:如圖所示,是所有傾斜角為(即與軸垂直)的直線的一個方向向量,是所有傾斜角為(即與軸垂直)的直線的一個方向向量,是所有傾斜角為的直線的一個方向向量. 師:所有直線都有傾斜角和方向向量嗎? 生:任意直線都有傾斜角和方向向量. 【概括理解能力】 通過對幾個傾斜角為特殊角的直線的方向向量的探究,進(jìn)一步加深對直線的方向向量的理解和掌握提升概括理解能力. 師:對直線的方向向量我們有如下理解. 【歸納總結(jié)】 對直線的方向向量的理解 1.直線的方向向量是一個非零向量. 2.任意直線都有方向向量. 3.直線的方向向量可以有無窮多個;若向量是直線的一個方向向量,則也是的一個方向向量. 4.若直線上有兩個不同的點(diǎn),則就是直線的一個方向向量. 5.顯然水平直線的方向向量可以用表示,豎直直線的方向向量可以用表示. 6.直線的任意兩個方向向量一定共線. 師:如圖所示,設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,且傾斜角為,設(shè)是直線的一個方向向量,且,你能寫出的坐標(biāo)嗎? 生:因?yàn)?所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,因此. 【猜想探究能力】 通過給出直線的方向向量得出向量的坐標(biāo),進(jìn)一步通過給出直線的傾斜角得到直線的方向向量,探究直線的傾斜角與直線的方向向量之間的關(guān)系,提高學(xué)生的探究能力. 師:如圖(1)(2)所示,如果直線的傾斜角為,斜率為,你能寫出直線的一個方向向量嗎? 生:當(dāng)為直線的傾斜角時,如果是直線的一個方向向量,而且,則根據(jù)三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)的坐標(biāo)為. 師:回答正確!當(dāng)然,此時對于任意的實(shí)數(shù)也是直線的一個方向向量.當(dāng)時,直線的斜率是存在的,而且,因此,此時如果令,則可知也一定是直線的一個方向向量. 【深度學(xué)習(xí)】 通過給出直線的斜率得到直線的方向向量,圍繞直線上的兩點(diǎn)、直線的傾斜角、直線的斜率這三個核心要素進(jìn)行,有利于學(xué)生在頭腦中構(gòu)建條理清楚的知識網(wǎng)絡(luò). 師:下面為求直線方向向量的基本方法. 【歸納總結(jié)】 求直線方向向量的基本方法 1.已知直線上的兩點(diǎn),則直線的一個方向向量為. 2.已知直線的傾斜角,則直線的一個方向向量為. 3.已知直線的斜率為,則直線的一個方向向量為.特別地,當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的一個方向向量為. 師:下面請看例1. 【典型例題】 求直線的一個方向向量 例1(1)已知直線經(jīng)過點(diǎn)和,求直線的一個方向向量. (2)已知直線的傾斜角為,求直線的一個方向向量. (3)已知直線與軸平行,求直線的一個方向向量. (4)已知三點(diǎn),判斷這三點(diǎn)是否共線.若共線,試求出這條直線的一個方向向量. 【簡單問題解決能力】 通過例1進(jìn)一步加深學(xué)生對直線的傾斜角、直線斜率以及直線的方向向量之間關(guān)系的理解和掌握,鞏固學(xué)生對求解直線方向向量方法的掌握,培養(yǎng)了學(xué)生簡單問題解決能力. 【學(xué)生獨(dú)立思考問題,并解答】 生解:(1)直線的一個方向向量為. (2)直線的一個方向向量為. (3)直線的一個方向向量為. (4)因?yàn)?所以,則三點(diǎn)共線. 此時直線的一個方向向量為. 師:如圖所示,如果為直線的一個方向向量,你能寫出的斜率和傾斜角嗎? 生:在圖中,當(dāng)是的一個方向向量時,若直線的斜率為,則也是直線的一個方向向量,因此與共線.從而,從而可求得斜率.然后再根據(jù)可知. 【以學(xué)定教】 通過直線的方向向量探究直線的斜率和直線的傾斜角,加深了學(xué)生對刻畫直線傾斜程度的量的理解和掌握 師:一般地,如果已知為直線的一個方向向量,你能由此寫出的斜率和傾斜角嗎? 生:一般地,如果已知為直線的一個方向向量,則: (1)當(dāng)時,顯然直線的斜率不存在,傾斜角為. (2)當(dāng)時,直線的斜率是存在的,而且此時與都是直線的一個方向向量,由直線的任意兩個方向向量共線可知,從而,因此可知傾斜角滿足. 【概括理解能力】 讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊方向向量到一般的方向向量的思考過程,通過觀察、類比、歸納得到結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的概括理解能力. 師:下面請看例2. 【典型例題】 例2已知直線通過點(diǎn)與,求直線的一個方向向量,并確定直線的斜率與傾斜角. 生解:由已知可得是直線的一個方向向量, 因此,直線的斜率, 直線的傾斜角滿足,從而可知. 師:由上可以看出,通過直線的方向向量能夠確定直線的斜率與傾斜角,而且一條直線的所有方向向量都共線,因此也可得到:如果是平面直角坐標(biāo)系中的三個不同的點(diǎn),則這三點(diǎn)共線的充要條件是與共線. 【整體學(xué)習(xí)】 通過例2提醒學(xué)生,直線上的兩點(diǎn)、直線的方向向量和直線的傾斜角、直線的斜率一樣都是確定直線位置的幾何要素. 師:下面請看例3. 【典型例題】 例3已知,判斷是否共線. 生解:因?yàn)? , 又因?yàn)?所以與不共線,從而不共線. 師:下面我們共同總結(jié)一下解析幾何中證明三點(diǎn)共線的常用方法. 【方法策略】 解析幾何中證明三點(diǎn)共線的常用方法 1.任意兩點(diǎn)確定的直線的傾斜角相等,則三點(diǎn)共線. 2.任意兩點(diǎn)確定的直線的斜率,要么都不存在,要么存在且相等,則三點(diǎn)共線. 3.利用向量共線,若或,則三點(diǎn)共線. 4.利用三角形三邊關(guān)系,若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,則三點(diǎn)共線. 5.利用三角形面積為零,若三角形面積,其中為半周長,為三角形的三邊長,則三點(diǎn)共線. 【深度學(xué)習(xí)】 通過例3進(jìn)一步加深學(xué)生對直線上的兩,點(diǎn)、直線的方向向量和直線的傾斜角、直線的斜率的認(rèn)識.體會利用向量的方法證明三點(diǎn)共線 探究2 直線的法向量 師:下面我們看一下什么是直線的一個法向量. 【要點(diǎn)知識】 直線的法向量 如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線垂直,則稱向量為直線的一個法向量.記作. 師:直線的方向向量和法向量是什么關(guān)系? 生:相互垂直. 師:當(dāng)與不全為0時,直線的方向向量為,那么直線的法向量是什么? 生:或者. 師:例如,如果是直線的一個方向向量,則就是直線的一個法向量;如果是直線的一個法向量,則就是直線的一個方向向量. 【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】 直線法向量的引入,為以后學(xué)習(xí)兩條直線的位置關(guān)系,點(diǎn)與直線的位置關(guān)系的研究做好了鋪墊,也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力. 【歸納總結(jié)】 關(guān)于向量需要注意的兩點(diǎn) 1.直線的法向量為非零向量. 2.直線的法向量不唯一 師:這節(jié)課就上到這里,通過本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？ 【課堂小結(jié)】 直線的方向向量和法向量 【設(shè)計(jì)意圖】 直線的法向量在解析幾何的研究中扮演了一個非常重要的角色,法向量的應(yīng)用打破了幾何的傳統(tǒng)解法它可以減少大量的輔助作圖以及對圖形的分析、想象,通過深度學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、活動學(xué)習(xí)、整體學(xué)習(xí)等學(xué)習(xí)方式的展開,促進(jìn)學(xué)生觀察記憶能力、概括理解能力、推測解釋能力、簡單問題和綜合問題解決能力等各方面能力的提高. 教學(xué)評價 直線方程的教學(xué)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了直線的傾斜角和斜率公式之后推導(dǎo)的,本節(jié)課積極創(chuàng)造機(jī)會讓不同程度的學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn),調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高知識的可接受程度,進(jìn)而完成知識的轉(zhuǎn)化,有效地提高了教學(xué)實(shí)效.本節(jié)課從具體實(shí)例出發(fā),通過感知、抽象其共同本質(zhì)屬性,以學(xué)生為本,以相關(guān)問題為學(xué)習(xí)的起點(diǎn),以問題為核心規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容,讓學(xué)生根據(jù)問題尋求解決方案,教師在此過程中是問題的提出者、課程的設(shè)計(jì)者以及結(jié)果的評估者,目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,提高學(xué)生在教學(xué)過程中的參與程度,激發(fā)其求知欲,活躍其思維. 【設(shè)計(jì)意圖】 引導(dǎo)學(xué)生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點(diǎn)的演練,讓學(xué)生在運(yùn)用課程教學(xué)過程中所學(xué)到的學(xué)科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計(jì)算等)解決問題,從而達(dá)到數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)目標(biāo)要求 1.已知直線傾斜角的范圍,則此直線的斜率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 點(diǎn)撥:根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系:,聯(lián)系三角函數(shù)的正切函數(shù)圖像可得. 解析:因?yàn)橹本€傾斜角的范圍是,又直線的斜率.故或. 故. 答案: 【分析計(jì)算能力】 解決直線的傾斜角與斜率的計(jì)算問題,明確二者的關(guān)系后要盡量充分地利用三角函數(shù)中正切函數(shù)圖像的性質(zhì),利用幾何法解題要比解析方法簡捷,提升分析計(jì)算能力. 2.已知直線與互相平行,則的值是_______. 點(diǎn)撥:本題考查兩條直線的平行與系數(shù)的關(guān)系,兩條直線平行,則;兩條直線垂直,則. 解析:直線與互相平行, ∴, 整理得,解得或5. 當(dāng)時,直線,兩條直線平行; 當(dāng)時,直線,兩直線平行. 因此,或5. 答案:3或5 【簡單問題解決能力】 通過學(xué)習(xí)及時進(jìn)行總結(jié),同時檢查學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果,主要是為了讓學(xué)生查漏補(bǔ)缺,鞏固提升,鍛煉簡單問題解決能力. 教學(xué)反思 在本節(jié)的教學(xué)中,主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)方式,以學(xué)生所熟悉的情境導(dǎo)入課堂,以此激發(fā)學(xué)生探究的欲望;同時,運(yùn)用多媒體平臺輔助教學(xué),讓學(xué)生更直觀地理解變化過程,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有趣味,更直觀凸顯知識的形成過程;進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、分析、歸納,化解問題,逐步培養(yǎng)各方面的數(shù)學(xué)能力,從而充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念. 本節(jié)課通過強(qiáng)調(diào)對公式的探索過程,提高學(xué)生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力.點(diǎn)到直線的距離的證明過程,含有大量的字母運(yùn)算而比較抽象,如果沒有整體步驟的分析,學(xué)生的思路會缺乏連貫性,所以本課重點(diǎn)分析了兩種思想.讓學(xué)生在明確步驟的前提下,再進(jìn)行有效的公式證明和自學(xué)閱讀;學(xué)生在練習(xí)中的“錯誤體驗(yàn)”將有助于加深記憶,所以在學(xué)生應(yīng)用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),教師在補(bǔ)充的例題、習(xí)題中給予了設(shè)置,以達(dá)到強(qiáng)化訓(xùn)練的目的. 【以學(xué)論教】 理解解析幾何的研究方法——坐標(biāo)法,掌握數(shù)形結(jié)合思想方法,從學(xué)生已有的知識引導(dǎo)學(xué)生層層分析推導(dǎo)公式,鼓勵學(xué)生克服心理的障礙和對字母計(jì)算的恐懼心理,逐步培養(yǎng)學(xué)生的推測解釋和分析計(jì)算等學(xué)科能力.必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向直線的傾斜角與斜率學(xué)習(xí)理解能力 觀察記憶 概括理解 說明論證 應(yīng)用實(shí)踐能力 分析計(jì)算 推測解釋 簡單問題解決 遷移創(chuàng)新能力 綜合問題解決 猜想探究 發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理【考查內(nèi)容】 1.掌握確定直線位置的幾何要素 2.掌握直線方程的五種形式 3.通過直線的方程研究兩條直線的位置關(guān)系,交點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)到直線的距離 【考查題型】 填空題,選擇題,解答題直線的方程數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模兩條直線的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模點(diǎn)到直線的距離數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模核心知識1.直線的傾斜角與斜率 2.直線的方程 3.兩條直線的位置關(guān)系 4.點(diǎn)到直線的距離直觀想象 數(shù)學(xué)抽象 邏輯推理 數(shù)學(xué)運(yùn)算 數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)