人教B版高中數(shù)學選修1 2-2-3《直線及其方程課時6》教學設(shè)計

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《直線及其方程》教學設(shè)計 課時6兩條直線的垂直 一、本節(jié)內(nèi)容分析 “直線及其方程”作為高中平面解析幾何的第二節(jié),既是對初中所學“一次函數(shù)”的延展,又是后續(xù)學習“圓及其方程”“曲線與方程”的基石,它起著承上啟下的作用.在用有序?qū)崝?shù)對表示點之后,直線作為平面中最簡單的圖形,它的坐標化既是自然延續(xù),又是圓與圓錐曲線坐標化的前提,這體現(xiàn)了教材編排的系統(tǒng)性,以及由易到難、由淺入深的編排特點.而坐標法作為連接“形”與“數(shù)”的橋梁,作為平面解析幾何的基本思想,集中地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,這種思想貫穿于平面解析幾何始末. 本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下: 二、學情整體分析 從認知水平和能力方面,高中二年級學生具有較強的觀察、分析、概括能力,有著較豐富的學習經(jīng)驗及活動經(jīng)驗,形成了自發(fā)地參與意識和合作意識,可以很好地理解直線的傾斜角、斜率、直線的方程、直線的平行與垂直、兩條直線的交點及距離公式等知識. 學情補充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教學活動準備 【任務(wù)專題設(shè)計】 1.直線的傾斜角與斜率 2.直線的方向向量與法向量 3.直線的點斜式方程與斜截式方程 4.直線的兩點式方程與一般式方程 5.兩條直線的相交、平行與重合 6.兩條直線的垂直 7.點到直線的距離公式 【教學目標設(shè)計】 1.通過“回顧與梳理”理解傾斜角等基本概念,掌握距離公式等主要知識. 2.通過知識的再現(xiàn)與延展理解知識間的內(nèi)在聯(lián)系,形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu). 3.體會數(shù)形結(jié)合思想,初步形成主動在“數(shù)”與“形”之間進行轉(zhuǎn)化的意識. 【教學策略設(shè)計】 高中數(shù)學的課堂,一定要讓學生成為課堂教學的主體,首先讓學生參與到知識的生成過程中來,引導(dǎo)學生進行深入的剖析,積累活動經(jīng)驗和方法,教師可以適當提問,創(chuàng)設(shè)情境,設(shè)計問題鏈,層層遞進,引發(fā)學生有方向的思考,體會其中所包含的數(shù)學思想,讓獲取知識的途徑變成雙向性、主動性,增強學生對研學的積極性、嚴謹性. 通過揭示數(shù)學知識的本質(zhì),讓學生養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習慣和鍥而不舍追求真理的精神.數(shù)學好玩,數(shù)學好學,數(shù)學有用.要讓學生體會發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂,就要讓學生真切看到通過自己思考和發(fā)現(xiàn)所形成的知識,激發(fā)學生探究新知識的興趣,充分發(fā)揮學生思維的多樣性和創(chuàng)造性. 【教學方法建議】 情境教學法、問題教學法,還有__________________________________________ 【教學重點難點】 重點 1.在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素. 2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直. 4.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系. 5.能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標. 6.探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離. 難點 體會數(shù)形結(jié)合及分類討論思想在概念形成及公式推導(dǎo)中的作用. 【教學材料準備】 1.常規(guī)材料:直尺、多媒體課件、________________________________________________ 2.其他材料:_____________________________________________________________ 四、教學活動設(shè)計 教學導(dǎo)入 師:我們知道,平面內(nèi)的兩條相交直線,如果相交所得的角是四個直角,則它們互相垂直,因此,兩條直線垂直是兩條直線相交的一種特殊情形,能否根據(jù)直線的方程來判斷兩條直線是否垂直呢?這就是下面我們要討論的問題. 教學精講 生:因為直線的方程給定之后,直線的法向量、斜率、傾斜角都能確定,所以至少可以從這些方面進行考慮. 師:用你想到的方法判斷直線和直線是否垂直. 生:在平面直角坐標系中畫出這兩條直線,直線的傾斜角是,直線的傾斜角是,所以直線和直線垂直. 師:用你想到的方法判斷直線與是否垂直. 生:由直線和的傾斜角不是特殊角,考慮用直線的法向量來判斷. 直線和的法向量分別為,因為0,即,所以. 師:反之,如果直線和垂直,是否它們法向量的數(shù)量積為0? 生:如果直線和垂直,那么它們的法向量一定垂直,可知數(shù)量積一定是0. 【整體設(shè)計分步落實】 引入兩條直線垂直的判定方法時,要由形到數(shù),避免沒有背景的直接推導(dǎo),先讓學生直觀感知兩條直線的垂直關(guān)系,接著引導(dǎo)學生去研究兩條直線垂直時,這兩條直線的傾斜程度有什么關(guān)系. 師:下面為兩條直線垂直的充要條件. 【歸納總結(jié)】 兩條直線垂直的充要條件 兩條直線垂直的充要條件是它們的法向量相互垂直. 師:如果設(shè)直線和直線的傾斜角分別為和,如圖所示,則和滿足什么關(guān)系?由傾斜角的關(guān)系能否得到兩條直線的斜率和的關(guān)系? 【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】 直線的傾斜角雖然直觀,但不要忽略直線的方向向量和法向量這兩種方法的研究.由于從直線的一般式方程可以快速地得到直線的法向量,這里也體現(xiàn)了法向量的好處,也可以培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力. 生:由于,從而, 即,故.因為,所以和垂直. 師:反之,如果直線和直線垂直,是否有它們斜率乘積一定為? 生:不一定,還會有一條直線斜率不存在,另一條直線斜率為0的情況,當兩條直線的斜率都存在的條件下,直線和直線垂直,它們斜率乘積一定為. 師:下面請看兩條直線垂直的判定. 【歸納總結(jié)】 兩條直線垂直的判定1 1.一般地,若已知平面直角坐標系中的直線,有,如圖(1). 與中的一條斜率不存在,另一條斜率為0,則與的位置關(guān)系是,如圖(2). 【深度學習】 類比兩直線平行的特殊情況,讓學生自主發(fā)現(xiàn)兩直線垂直的特殊情況,加深理解與記憶. 師:對于直線和直線,我們能否給出判斷兩條直線是否垂直的方法? 生:因為是直線的一個法向量,是直線的一個法向量,如圖所示,不難看出,與垂直的充要條件是與垂直,即,因此. 師:回答正確. 【概括理解能力】 通過直觀圖形,建立學生直觀想象核心素養(yǎng),培養(yǎng)學生的觀察、猜想、歸納的數(shù)學能力,通過歸納兩條直線垂直的判定,提升概括理解能力. 【歸納總結(jié)】 兩條直線垂直的判定2 對于直線和直線,則 師:由此可知,在平面直角坐標系中,直線與直線一定是垂直的.下面運用上面的判定解題. 【典型例題】 判斷兩條直線是否垂直 例1判斷下列各對直線是否垂直: (1); (2). 【學生思考討論,教師板書解題過程】 師解:(方法一)(1)將的方程化為斜截式為,因此的斜率為, 又因為的斜率為2,而且,從而可知與不垂直. (2)顯然,的傾斜角為的傾斜角為,從而可知與垂直. (方法二)(1)直線和的法向量分別為, 因為,即與不垂直,所以與不垂直. (2)直線和的法向量分別為,因為,即,所以. 【少教精教】 讓學生自己發(fā)現(xiàn)探索兩條直線垂直的規(guī)律,教師適當予以提示點撥,發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,體現(xiàn)學生的主體地位. 師:下面看例2. 【典型例題】 求直線的方程 例2分別求下列直線的方程: (1)過點且與直線垂直的直線; (2)過點且與直線垂直的直線. 【教師指導(dǎo),學生獨立解題】 生解:(1)因為直線的斜率為3且與垂直,所以的斜率為, 因此直線的點斜式方程為,整理得. (2)依題意可設(shè)的方程為. 由于過點,因此,解得. 因此直線的方程為. 師:每一問中所求得的直線只有一條,這實際上也能說明,通過平面上一點,有且只有一條直線與已知直線垂直. 【分析計算能力】 通過例題培養(yǎng)學生運用新知識解決問題的能力,鞏固結(jié)論,加強思維意識的訓(xùn)練,提升分析計算能力. 【方法策略】 垂直直線的設(shè)法 1.求與直線垂直的直線方程時,根據(jù)兩直線垂直的條件可設(shè)為,然后通過待定系數(shù)法,求出. 2.求與直線(不同時為零)垂直的直線時,由直線的法向量,可設(shè)方程為(不同時為零),然后用待定系數(shù)法,求出. 師:下面看一道關(guān)于判斷四邊形形狀的例題. 【典型例題】 兩條直線垂直的應(yīng)用 例3已知,順次連接四點,試判斷四邊形的形狀. 生解:由題意四點在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖,由斜率公式可得,. 所以,由圖可知與不重合,所以,由,知與不平行.又因為,所以,故四邊形為直角梯形. 【觀察記憶能力】 例3的設(shè)計幫助學生理解和掌握所學知識,提高學生的觀察記憶能力. 師:下面看一道關(guān)于求參數(shù)值的例題. 【典型例題】 兩條直線垂直的綜合應(yīng)用 例4已知直線與直線互相垂直,求實數(shù)的值. 生解:(方法一)若,兩條直線的斜率分別為,由條件得,無解. 若,兩條直線分別為和,此時兩條直線互相垂直. 因此,兩條直線垂直時,的值為0. (方法二)由條件可知,解得. 因此,兩條直線垂直時,的值為0. 【簡單問題解決能力】 通過例4,學生利用兩種不同的判定方法,求參數(shù)的值,提升簡單問題解決能力. 師:下面進行一組鞏固訓(xùn)練. 【鞏固練習】 兩條直線垂直的應(yīng)用 若點與點關(guān)于直線對稱,則直線的方程是( ) A.B.C.D. 生解:由題可知,直線是線段的垂直平分線,的中點為,斜率為6,則直線過點,斜率為,所求直線方程為,即,答案D. 【自主學習】 在學習本節(jié)課知識之后,學生自主進行鞏固訓(xùn)練.在訓(xùn)練過程中掌握兩條直線垂直的充要條件. 師:同學們回顧一下,本節(jié)課都學習了哪些知識呢? 【課堂小結(jié)】 兩條直線的垂直 【設(shè)計意圖】 兩條直線的平行和垂直都是由相應(yīng)的斜率之間的關(guān)系來確定的,并且研究討論的手段和方法也相類似,因此,在教學時采用對比方法,以便弄清垂直與平行之間的聯(lián)系與區(qū)別.教學中應(yīng)充分體現(xiàn)坐標法建立方程的一般思路,為后續(xù)學習圓的方程及圓錐曲線的方程奠定基礎(chǔ),發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng). 教學評價 直線方程的教學是在學生學習了直線的傾斜角和斜率公式之后推導(dǎo)的,本節(jié)課積極創(chuàng)造機會讓不同程度的學生發(fā)表自己的觀點,調(diào)動學生學習的積極性,提高知識的可接受程度,進而完成知識的轉(zhuǎn)化,有效地提高了教學實效.本節(jié)課從具體實例出發(fā),通過感知、抽象其共同本質(zhì)屬性,以學生為本,以相關(guān)問題為學習的起點,以問題為核心規(guī)劃學習內(nèi)容,讓學生根據(jù)問題尋求解決方案,教師在此過程中是問題的提出者、課程的設(shè)計者以及結(jié)果的評估者,目的是提高學生學習的主動性,提高學生在教學過程中的參與程度,激發(fā)其求知欲,活躍其思維. 【設(shè)計意圖】 引導(dǎo)學生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點的演練,讓學生在運用課程教學過程中所學到的學科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計算等)解決問題,從而達到數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)目標要求 1.已知直線傾斜角的范圍,則此直線的斜率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 點撥:根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系:,聯(lián)系三角函數(shù)的正切函數(shù)圖像可得. 解析:因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率.故或. 故. 答案: 【分析計算能力】 解決直線的傾斜角與斜率的計算問題,明確二者的關(guān)系后要盡量充分地利用三角函數(shù)中正切函數(shù)圖像的性質(zhì),利用幾何法解題要比解析方法簡捷,提升分析計算能力. 2.已知直線與互相平行,則的值是_______. 點撥:本題考查兩條直線的平行與系數(shù)的關(guān)系,兩條直線平行,則;兩條直線垂直,則. 解析:直線與互相平行, ∴, 整理得,解得或5. 當時,直線,兩條直線平行; 當時,直線,兩直線平行. 因此,或5. 答案:3或5 【簡單問題解決能力】 通過學習及時進行總結(jié),同時檢查學生本節(jié)課的學習效果,主要是為了讓學生查漏補缺,鞏固提升,鍛煉簡單問題解決能力. 教學反思 在本節(jié)的教學中,主要采用啟發(fā)引導(dǎo)式教學方式,以學生所熟悉的情境導(dǎo)入課堂,以此激發(fā)學生探究的欲望;同時,運用多媒體平臺輔助教學,讓學生更直觀地理解變化過程,使數(shù)學學習有趣味,更直觀凸顯知識的形成過程;進一步引導(dǎo)學生觀察、思考、分析、歸納,化解問題,逐步培養(yǎng)各方面的數(shù)學能力,從而充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學生為主體的教學理念. 本節(jié)課通過強調(diào)對公式的探索過程,提高學生利用代數(shù)方法處理幾何問題的能力.點到直線的距離的證明過程,含有大量的字母運算而比較抽象,如果沒有整體步驟的分析,學生的思路會缺乏連貫性,所以本課重點分析了兩種思想.讓學生在明確步驟的前提下,再進行有效的公式證明和自學閱讀;學生在練習中的“錯誤體驗”將有助于加深記憶,所以在學生應(yīng)用公式中容易忽略的環(huán)節(jié),教師在補充的例題、習題中給予了設(shè)置,以達到強化訓(xùn)練的目的. 【以學論教】 理解解析幾何的研究方法——坐標法,掌握數(shù)形結(jié)合思想方法,從學生已有的知識引導(dǎo)學生層層分析推導(dǎo)公式,鼓勵學生克服心理的障礙和對字母計算的恐懼心理,逐步培養(yǎng)學生的推測解釋和分析計算等學科能力.必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向直線的傾斜角與斜率學習理解能力 觀察記憶 概括理解 說明論證 應(yīng)用實踐能力 分析計算 推測解釋 簡單問題解決 遷移創(chuàng)新能力 綜合問題解決 猜想探究 發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理【考查內(nèi)容】 1.掌握確定直線位置的幾何要素 2.掌握直線方程的五種形式 3.通過直線的方程研究兩條直線的位置關(guān)系,交點坐標和點到直線的距離 【考查題型】 填空題,選擇題,解答題直線的方程數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模兩條直線的位置關(guān)系數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模點到直線的距離數(shù)學抽象直觀想象數(shù)學運算邏輯推理數(shù)學建模核心知識1.直線的傾斜角與斜率 2.直線的方程 3.兩條直線的位置關(guān)系 4.點到直線的距離直觀想象 數(shù)學抽象 邏輯推理 數(shù)學運算 數(shù)學建模核心素養(yǎng)