人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 曲線與方程精練

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.4 曲線與方程精練，共34頁。試卷主要包含了列方程，化簡，證明等內(nèi)容，歡迎下載使用。

知識(shí)點(diǎn)01 曲線的方程與方程的曲線的定義
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y）=0之間具有如下關(guān)系：
1.曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.
則稱曲線C為方程F（x，y）=0的曲線，方程F（x，y）=0為曲線C的方程.
【即學(xué)即練1】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知坐標(biāo)滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)都在曲線C上，下列命題正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程Fx,y=0
C．坐標(biāo)不滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)都不在曲線C上
D．曲線C是坐標(biāo)滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)的軌跡
【答案】B
【分析】根據(jù)曲線與方程的定義和關(guān)系進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，若坐標(biāo)滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)都在曲線C上，則方程Fx,y=0的曲線M可能只是曲線C的一部分，
此時(shí)曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程Fx,y=0，故A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
對(duì)于B，命題"不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足程Fx,y=0“與已知條件中的命題互為逆否命題.因?yàn)榛槟娣衩}的兩個(gè)命題真假相同，所以B選項(xiàng)中的命題正確.
對(duì)于C，由A選項(xiàng)的分析過程得，曲線C上位于曲線M之外部分的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足方程Fx,y=0，
但這些點(diǎn)在曲線C上，故C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
對(duì)于D，由A選項(xiàng)的分析過程可知，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.
故選：B.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·課堂例題）分析下列曲線上的點(diǎn)與相應(yīng)方程的關(guān)系：
(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)與方程xy=5之間的關(guān)系；
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)與方程x+y=0之間的關(guān)系．
【答案】(1)與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy=5．
(2)第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x+y=0．
【詳解】（1）與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)不一定滿足方程xy=5，如點(diǎn)-1,5，
但以方程xy=5的解為坐標(biāo)的點(diǎn)一定滿足與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5．
因此，與兩坐標(biāo)軸的距離之積等于5的點(diǎn)的軌跡方程不是xy=5．
（2）第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x+y=0；
反之，以方程x+y=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在第二、四象限兩軸夾角平分線上．
因此，第二、四象限兩軸夾角平分線上的點(diǎn)的軌跡方程是x+y=0．
知識(shí)點(diǎn)02兩曲線的交點(diǎn)
己知兩條曲線C1和C2的方程分別為F（x，y）=0，G（x，y）=0，求兩條曲線C1和C2的交點(diǎn)坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩個(gè)方程得方程組F(x,y)=0G(x,y)=0，求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到.
【即學(xué)即練3】（20-21高二·全國·課后作業(yè)）曲線x2+y2+2x=0與曲線y+x=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ．
【答案】2
【分析】聯(lián)立方程，方程組解的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【詳解】由x2+y2+2x=0y+x=0可得，x2+x=0，所以x=0y=0或x=-1y=-1，所以交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．
故答案為：2．
【即學(xué)即練4】（23-24高三上·青海西寧·期中）已知A-1,0，B1,0，C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AC|:|BC|=2，則點(diǎn)C的軌跡方程為 .
【答案】x2+y2-6x+1=0
【分析】設(shè)C(x,y)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到方程，整理即可得解．
【詳解】設(shè)C(x,y)，由|AC|:|BC|=2，則(x+1)2+y2=2(x-1)2+y2，
即(x+1)2+y2=2[(x-1)2+y2]，
即x2+y2-6x+1=0，
所以點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-6x+1=0．
故答案為：x2+y2-6x+1=0．
知識(shí)點(diǎn)03 點(diǎn)的軌跡方程
曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡,曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.
【即學(xué)即練5】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）等腰三角形ABC底邊兩端點(diǎn)分別為A(-3,0),B3,0，頂點(diǎn)C的軌跡是（ ）
A．一條直線B．一條直線去掉一點(diǎn)C．一個(gè)點(diǎn)D．兩個(gè)點(diǎn)
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分析即可.
【詳解】∵△ABC為等腰三角形且AB為底邊，∴CA=CB,∴點(diǎn)C在AB的中垂線上．
又∵C為AB的中點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形，∴點(diǎn)C的軌跡應(yīng)是一條直線去掉一點(diǎn)．
故選：B
【即學(xué)即練6】（21-22高二·全國·課后作業(yè)）判斷直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：(10,-1)和(-52,4).
【分析】聯(lián)立方程，運(yùn)用代入法進(jìn)行消元，通過方程是否有解進(jìn)行求解判斷即可.
【詳解】將直線方程與曲線方程聯(lián)立得：y=-10x2x+5y-15=0?2x2-15x-50=0，
解得x=10，或x=-52，
當(dāng)x=10時(shí)，y=-1；
當(dāng)x=-52時(shí)，y=4，
因此直線2x+5y-15=0與曲線y=-10x相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為：(10,-1)和(-52,4).
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（24-25高三上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E:x2+y23=8x2y2的圖象是四葉草曲線，設(shè)Px0,y0為E上任意一點(diǎn)，且滿足P∈{x0,y0|x0∈Z或y0∈Z}，則任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)為格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的概率為 ．
【答案】513
【分析】由題意明確曲線的性質(zhì)，確定符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.
【詳解】由x2+y23=8x2y2≤8x2+y222，得x2+y2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2=1時(shí)取等號(hào)，
可知|x0|≤2，故滿足x0∈Z且y0∈Z的點(diǎn)P僅有(-1,-1),(-1,1),(0,0),(1,-1),(1,1)，共5個(gè)．
令x0=0，則y0=0，由于E:x2+y23=8x2y2的圖象關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)、y=x對(duì)稱，
因此只需研究第一象限圖象上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的情況，
令x0=1，則1+y23=8y2，不妨設(shè)y>0，則有1+y2=2y23，
令y23=t,t>0，則有1+t3=2t，化簡有t-1t2+t-1=0，解得t=1或t=5-12，
則1+y2=2y23有兩個(gè)正根1，5-123．
故結(jié)合曲線對(duì)稱性可知在第一象限，橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)共有3個(gè)：1,1,1,5-123,5-123,1．
故整個(gè)曲線上橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)共有13個(gè)，
所以任取一點(diǎn)P，該點(diǎn)為格點(diǎn)的概率為513．
故答案為：513
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是明確四葉草曲線的對(duì)稱性，由此確定符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【題型1：曲線方程的概念】
例1．（23-24高二上·上?！て谀┮阎鴺?biāo)滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)都在曲線C上，則下列命題中正確的是（ ）
A．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程Fx,y=0
B．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程Fx,y=0
C．凡坐標(biāo)不適合方程Fx,y=0的點(diǎn)都不在曲線C上
D．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)有些適合方程Fx,y=0
【答案】B
【分析】由逆否命題的真假性的關(guān)系結(jié)合曲線與方程的定義逐一判斷即可.
【詳解】由于“坐標(biāo)滿足方程Fx,y=0的點(diǎn)都在曲線C上”與“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程Fx,y=0”互為逆否命題，
所以“不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)必不適合方程Fx,y=0”是正確的，故B對(duì)，D錯(cuò)；
對(duì)于點(diǎn)集A=x,y|Fx,y=x2+y2-1=0∪0,0而言，
0,0不滿足Fx,y=x2+y2-1=0，但它仍然屬于在曲線C上（仍然屬于點(diǎn)集合A），故A、C錯(cuò)誤.
故選：B.
變式1．（21-22高二上·貴州遵義·期末）設(shè)方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲線是（ ）
A．一個(gè)圓和一條直線B．一個(gè)圓和一條射線
C．一個(gè)圓D．一條直線
【答案】D
【分析】先化簡題給方程，即可得到其表示的曲線為一條直線.
【詳解】由x-12+y2+1>0，可得x2+y2-2x+2>0，
則由x+2y-1x2+y2-2x+2=0，可得x+2y-10=0，
則方程x+2y-1x2+y2-2x+2=0表示的曲線是一條直線.
故選：D
變式2．（18-19高二上·安徽蕪湖·期末）下列各組方程中，表示相同曲線的一組方程是（ ）
A．y=x與y2=xB．y=x與xy=1
C．y2-x2=0與y=xD．y=lgx2與y=2lgx
【答案】C
【分析】根據(jù)x,y的范圍以及曲線方程確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，y=x中y≥0，y2=x中y∈R，所以不是相同曲線.
B選項(xiàng)，y=x中y∈R，xy=1中y≠0，所以不是相同曲線.
C選項(xiàng)，y=x?y2=x2?y2-x2=0，是相同曲線，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，y=lgx2中x≠0，y=2lgx中x>0，，所以不是相同曲線.
故選：C
變式3．（2014高三·全國·專題練習(xí)）方程x-1=1-(y-1)2表示的曲線是（ ）
A．—個(gè)圓B．兩個(gè)圓
C．一個(gè)半圓D．兩個(gè)半圓
【答案】D
【分析】方程可化為(|x|-1)2+(y-1)2=1，去絕對(duì)值分x≤-1，x≥1兩種情況解決即可.
【詳解】方程可化為(|x|-1)2+(y-1)2=1，
因?yàn)閨x|-1≥0，
所以x≤-1或x≥1，
若x≤-1時(shí)，則方程為(x+1)2+(y-1)2=1；
若x≥1時(shí)，則方程為(x-1)2+(y-1)2=1，
故選：D
變式4．(多選)（22-23高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知曲線C:x2-y2-xy=1，則（ ）
A．曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱
C．x≤-255或x≥255D．x2-2xy+y2≥45
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，利用對(duì)稱性質(zhì)判斷即可，取特殊點(diǎn)驗(yàn)證即可B選項(xiàng)；
將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次方程，由方程有解即可判斷C選項(xiàng)；
換元法，令t=x-y，則x=y+t代入原方程中，利用方程有解判別式
解之即可得D選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在曲線C:x2-y2-xy=1上，
所以點(diǎn)P1(-x,-y)滿足(-x)2-(-y)2-(-x)(-y)=x2-y2-xy=1，
所以A正確；
若P(2,1)，因?yàn)辄c(diǎn)P'(-2,1)不滿足C的方程，
所以B錯(cuò)誤；
因?yàn)閤2-y2-xy=1，
所以y2+xy+1-x2=0，
所以x2-41-x2≥0，
所以x≤-255或x≥255，所以C正確；
設(shè)t=x-y，則x=y+t，
所以(y+t)2-y2-(y+t)y=1，
所以y2-ty+1-t2=0，
所以t2-41-t2≥0，
所以t2≥45，
所以x2-2xy+y2≥45，
所以D正確．
故選：ACD
變式5．（20-21高二上·上海徐匯·期末）已知曲線Γ：Fx，y=0對(duì)坐標(biāo)平面上任意一點(diǎn)Px，y，定義FP＝Fx，y．若兩點(diǎn)P，Q滿足FP?FQ＜0，稱點(diǎn)P，Q在曲線Γ兩側(cè)．記到點(diǎn)0，1與到x軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線C，曲線Γ：Fx，y=x2+y2-y-a=0，若曲線C上總存在兩點(diǎn)M，N在曲線Γ兩側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到點(diǎn)0，1與到x軸距離和為5的點(diǎn)的軌跡為曲線C，求出軌跡方程.分類討論：當(dāng)0≤y≤3時(shí)和當(dāng)-2≤y≤0時(shí)，利用FP?FQ＜0，求解a的范圍．
【詳解】設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)為x，y，則x2+(y-1)2+|y|=5，
化簡得曲線C的方程為x2=83-y，0≤y≤3和x2=12y+2，-2≤y≤0.
其軌跡為兩段拋物線弧
當(dāng)0≤y≤3時(shí)，F(xiàn)x，y=y2-9y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
當(dāng)-2≤y≤0時(shí)，F(xiàn)x，y=y2+11y+24-a∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有FM?FN＜0，則6-a24-a＜0?6＜a＜24．
故答案為：6＜a＜24．
變式6．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）方程xx2+y2-1=0表示的曲線是 .
【答案】直線x=0和單位圓x2+y2=1
【分析】由方程xx2+y2-1=0即可求解.
【詳解】由方程xx2+y2-1=0可得：x=0或x2+y2=1，
所以方程xx2+y2-1=0表示的曲線是直線x=0和單位圓x2+y2=1，
故答案為：直線x=0和單位圓x2+y2=1.
變式7．（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）判斷下列命題是否正確．
(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程是y=r2-x2；
(2)過點(diǎn)A2,0平行于y軸的直線l的方程為x=2．
【答案】(1)不正確
(2)不正確
【分析】（1）利用圓的方程定義判斷即可.
（2）利用直線方程的定義判斷即可.
【詳解】（1）不正確．
設(shè)x0,y0是方程y=r2-x2的解，則y0=r2-x02，即x02+y02=r2，
兩邊開平方取算術(shù)平方根，得x02+y02=r，即點(diǎn)x0,y0到原點(diǎn)的距離等于r，
點(diǎn)x0,y0是這個(gè)圓上的點(diǎn)，因此滿足以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)；
但是，以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的圓上的一點(diǎn)如點(diǎn)(r2,-32r)在圓上，
卻不是y=r2-x2的解，這就不滿足曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，
所以以原點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的方程不是y=r2-x2，而應(yīng)是y=±r2-x2．
（2）不正確．
直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程x=2的解；
但是坐標(biāo)滿足x=2的點(diǎn)，不一定在直線l上，如點(diǎn)(-2,0)不在直線l上，
因此x=2不是直線l的方程，直線l的方程應(yīng)為x=2．
【方法技巧與總結(jié)】
從集合的意義上來理解曲線和方程的概念
如果把直角坐標(biāo)平面內(nèi)曲線上的點(diǎn)所組成的集合記作A，方程F（x，y）=0的解所對(duì)應(yīng)的集合記作B，那么曲線和方程之間的兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A?B且B?A，即A=B.
從集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于掌握曲線和方程的概念.
【題型2：由方程研究曲線的性質(zhì)】
例2．已知曲線C的方程為x2+y2+xy=2022，則曲線C關(guān)于（ ）對(duì)稱
A．x軸B．y軸C．原點(diǎn)D．直線y=x
【答案】B
【分析】利用坐標(biāo)互換一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】曲線C的方程為x2+y2+xy=2022，
將x換為-x,y不變，原方程仍為x2+y2+xy=2022，所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱；
將y換為-y,x不變，原方程變?yōu)閤2+y2-xy=2022，所以曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱；
將x換為-x,y換為-y，原方程變?yōu)閤2+y2-xy=2022，所以曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
將x換為y,y換為x，原方程變?yōu)閤2+y2+yx=2022，
所以曲線C不關(guān)于直線y=x對(duì)稱．
故選:B．
變式1．已知曲線C方程為x2+y2+xy=2023，則曲線C關(guān)于（ ）
A．x軸對(duì)稱B．y軸對(duì)稱C．原點(diǎn)對(duì)稱D．y=x對(duì)稱
【答案】B
【分析】用軸對(duì)稱和點(diǎn)對(duì)稱的定義逐一判斷即可.
【詳解】用-y替換方程中的y，方程變?yōu)閤2+y2-xy=2023，
與原方程不同，故曲線C不關(guān)于x軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
用-x替換方程中的x，方程可化為為x2+y2+xy=2023，
與原方程相同，故曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確；
用-x和-y替換方程中的x和y，化簡后方程變?yōu)閤2+y2-xy=2023，
故曲線C不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
用y替換方程中的x，同時(shí)用x替換方程中的y，方程變?yōu)閤2+y2+yx=2023，
故C不關(guān)于直線y=x對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
變式2．關(guān)于方程x2+xy+2y2=4所表示的曲線，下列說法正確的是（ ）
A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于y=x對(duì)稱D．關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)稱變換的方法逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，用-y換方程中的y，得x2-xy+2y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于x軸不對(duì)稱，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，用-x換方程中的x，得x2-xy+2y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于y軸不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，用x換y，y換x，得2x2+xy+y2=4，方程發(fā)生變化，即曲線關(guān)于y=x軸不對(duì)稱，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將點(diǎn)-x,-y代入原方程仍為x2+xy+2y2=4，因此曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱D正確.
故選：D
變式3．兩個(gè)曲線方程C1：x+y=1，C2：x4+y4=1，我們可以推斷出它們的性質(zhì)，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．曲線C1關(guān)于y＝x對(duì)稱
B．曲線C2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．曲線C2與坐標(biāo)軸在第一象限圍成的圖形面積S1