高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離課時作業(yè)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.2.4 點到直線的距離課時作業(yè)，共54頁。

知識點01 兩點間距離公式
定義：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|＝（x2?x1）2+（y2?y1）2
【即學(xué)即練1】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）若A(?3,5),B(2,0)，則|AB|為 .
【答案】52
【分析】根據(jù)題意，利用平面上兩點間的距離公式，即可求解.
【詳解】由題意，根據(jù)平面上兩點間的距離公式，可得AB=(?3?2)2+(5?0)2=52，
故答案為：52.
【即學(xué)即練2】（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）已知點(x,y)到原點的距離等于1，則實數(shù)x,y滿足的條件是（ ）
A．x2?y2=1B．x2+y2=0
C．x2+y2=1D．x2?y2=0
【答案】C
【分析】由兩點之間的距離公式列式即得.
【詳解】依題意，由點P(x,y)到原點的距離等于1可得，|PO|=(x?0)2+(y?0)2=x2+y2=1，
故實數(shù)x,y滿足的條件是x2+y2=1.
故選：C.
知識點02點到直線的距離公式
1.點到直線的距離公式
點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離，d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
2.點到特殊直線的距離公式
點P0(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|，到平行于x軸的直線y=a的距離d＝|y0-a|,到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|,到平行于y軸的直線x=b的距離d＝|x0-b|.
【即學(xué)即練3】（23-24高二上·新疆·期末）點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離為（ ）
A．?2B．2C．?1D．1
【答案】D
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離d=|3×1+4×2?6|32+42=1.
故選：D
【即學(xué)即練4】(多選)（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）已知點M1,4到直線l:mx+y?1=0的距離為3，則實數(shù)m等于（ ）
A．0B．34C．3D．2
【答案】AB
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式計算即可.
【詳解】依題意m+4?1m2+1=3，即4m2?3m=0,解得m=0或m=34.
故選：AB.
知識點03 兩條平行線之間的距離
1.兩條平行線之間的距離
兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.
2.兩條平行線之間的距離公式
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
【即學(xué)即練5】（23-24高二上·北京房山·期末）兩條直線l1:x?2y?4=0與l2:x?2y+1=0之間的距離是（ ）
A．5B．1C．5D．355
【答案】C
【分析】依題意代入兩平行線之間的距離公式即可得出結(jié)果.
【詳解】由兩平行線之間的距離公式可得d=1+412+?22=5.
故選：C
【即學(xué)即練6】（22-23高二上·廣東肇慶·階段練習(xí)）兩平行直線2x?y?1=0與4x?2y+3=0之間的距離為 ．
【答案】52/125
【分析】由兩平行間的距離公式可求兩直線間的距離.
【詳解】由2x?y?1=0，可得4x?2y?2=0，
所以2x?y?1=0與4x?2y+3=0之間的距離為|?2?3|42+22=52.
故答案為：52.
難點：將軍飲馬問題
示例1：（24-25高二下·上?！卧獪y試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為A(?3,0)，若將軍從山腳下的點B(?1,1)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=1，則“將軍飲馬”的最短總路程為 ．
【答案】13
【分析】求出B(?1,1)關(guān)于直線x+y=1對稱的點C(0,2)，結(jié)合圖形，即可求解.
【詳解】設(shè)點B(?1,1)關(guān)于直線x+y=1對稱的點為C(x,y)，
則有?1+x2+1+y2=11?y?1?x?(?1)=?1，解得x=0y=2，所以C(0,2)，
則PA+PB=PA+PC，所以“將軍飲馬”的最短總路程為|AC|=32+22=13，

故答案為：13.
難點：類比距離問題
示例2：（2024高二下·吉林·競賽）已知函數(shù)fx=2x4?18x2+12x+68+x2?x+1，則（ ）
A．fx的最小值為8B．fx的最小值為9
C．fx=8有1個實根D．fx=9有1個實根
【答案】B
【分析】先設(shè)點的坐標(biāo)，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為PQ+PM，再結(jié)合圖形特征得出最小值即可.
【詳解】Px,x2是拋物線y=x2上一點，
P到直線y=x?1的距離為PQ=x2?x+1?12+12=22x2?x+1= 22x2?x+1，
P到點M?3,5的距離為PM=x+32+x2?52，
所以fx=2x4?18x2+12x+68+x2?x+1=2PM+PQ
當(dāng)M，P，Q共線時，PQ+PM取最小值，
最小值為M?3,5到y(tǒng)=x?1的距離?3?5?12=922.
因為y=222x2?x+1+x+32+x2?52=2PQ+PM，
且PQ+PM的最小值為922，
所以y的最小值為9，且在交點P?2,4或P1,1處取到，
故選：B.
【題型1：平面兩點之間的距離】
例1．（21-22高二上·河北衡水·階段練習(xí)）點M1(2,?5)與M2(5,y)之間的距離是5，則y=（ ）
A．?9B．?1C．?9或?1D．12
【答案】C
【分析】由兩點間距離公式計算．
【詳解】由題意(5?2)2+(y+5)2=5，即(y+5)2=16，解得y=?1或y=?9．
故選：C．
變式1．（2023·江西上饒·模擬預(yù)測）已知a+b?7=0，c+d?5=0，則(a+c)2+(b+d)2的最小值等于（ ）
A．3B．6C．42D．62
【答案】D
【分析】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，得到點A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，設(shè)線段AB的中點為M，則Ma+c2,b+d2，且點M在直線x+y?6=0上，將所求問題，轉(zhuǎn)化為點M到原點的距離的2倍，根據(jù)點到直線距離公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】令A(yù)(a,b)，B(c,d)，由已知可得點A，B分別在直線x+y?7=0，x+y?5=0上，
設(shè)線段AB的中點為M，則Ma+c2,b+d2，
M到原點的距離d=a+c22+b+d22=12×(a+c)2+(b+d)2，
依題意點M在直線x+y?6=0上，
所以點M到原點的最小距離即為原點到直線x+y?6=0的距離，為0+0?62=32，
因此12(a+c)2+(b+d)2的最小值為32，因此(a+c)2+(b+d)2的最小值等于62.
故選：D.
變式2．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知點A的坐標(biāo)?8,12，線段AB中點的坐標(biāo)為?12,2，則B點坐標(biāo)為 ，|AB|為 .
【答案】 7,?8 25
【分析】設(shè)B點的坐標(biāo)為x,y，根據(jù)中點坐標(biāo)公式列出關(guān)于x,y的方程組，解出方程組即可得B點的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)B點的坐標(biāo)為x,y，
∵點A的坐標(biāo)?8,12，線段AB中點的坐標(biāo)為?12,2，
∴?8+x2=?1212+y2=2，解得x=7y=?8，
即B點的坐標(biāo)為7,?8，所以|AB|=25
故答案為：7,?8；25.
變式3．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）已知△ABC的三個頂點坐標(biāo)是A(1,?1)，B(?1,3)，C(3,0)．則△ABC的形狀為 ；△ABC的面積為 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合勾股定理的逆定理、直角三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為|AB|=(?1?1)2+[3?(?1)]2=20=25，
|AC|=(3?1)2+[0?(?1)]2=5，|BC|=[3?(?1)]2+(0?3)2=25=5，
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是以A為直角頂點的直角三角形．
由于△ABC是以A為直角頂點的直角三角形，所以S△ABC=12|AB|?|AC|=5.
故答案為：直角三角形；5
變式4．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知A(a,0),B(0,10)，且|AB|=17，則a= ．
【答案】±321
【分析】根據(jù)題意，直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上兩點的距離公式，即可求解.
【詳解】因為A(a,0),B(0,10)且|AB|=17，所以|AB|=a2+0?102=17，解得a=±321
故答案為：±321
變式5．（21-22高二上·北京·階段練習(xí)）已知點A?3,0,Bcsα,sinα，且AB=2，寫出直線AB的一個方程
【答案】x?3y+3=0(答案不唯一)
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式，求出csα的值，然后寫出點B的坐標(biāo)，從而可求直線AB的一個方程.
【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式，得csα+32+sin2α=2，
即sin2α+cs2α+3+23csα=4。所以csα=0，
所以sinα=1或sinα=?1，
當(dāng)sinα=1時，A?3,0,B0,1，直線AB的方程為x?3y+3=0；
當(dāng)sinα=?1時，A?3,0,B0,?1，直線AB的方程為x+3y+3=0.
故答案為：x?3y+3=0.(答案不唯一)
變式6．（2021高二上·全國·專題練習(xí)）已知點A?2,?1,Ba,3，且AB=5，則a的值為 .
【答案】1或?5
【分析】利用兩點的距離公式計算即可得出答案.
【詳解】由兩點間距離公式得(?2?a)2+(?1?3)2=52，所以(a+2)2=9，所以a+2=±3，即a=1或a=?5.
故答案為：1或?5
變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）二元函數(shù)fx,y=(x+csy)2+(2x+3+siny)2的值域為 ．
【答案】14?655,+∞
【分析】把二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離為最小值即可得出值域.
【詳解】由題意可知二元函數(shù)fx,y的幾何意義為單位圓上一點A?csy,?siny到直線y=2x+3上一點B距離的平方，最小值為圓心到直線距離減半徑，圓心為O0,0,d=312+22=35
|AB|min2=35?12=14?655，則fx,y∈14?655,+∞．
故答案為：14?655,+∞.
變式8.（2021高二·黑龍江哈爾濱·學(xué)業(yè)考試）已知A(?2,0)，B(0,4)，線段AB的垂直平分線為直線l．
(1)求直線l的一般式方程；
(2)若點C在直線l上，且|AC|=10，求點C坐標(biāo)．
【答案】(1)x+2y?3=0
(2)1,1或?3,3
【分析】（1）由題意，求出線段AB的中點坐標(biāo)及直線l的斜率kl=?1kAB，然后利用點斜式寫出直線方程，化簡即可得答案；
（2）設(shè)點C坐標(biāo)為a,b，由題意，列出關(guān)于a,b的方程組求解即可得答案.
【詳解】（1）解：因為A?2,0，B0,4，所以線段AB的中點為?1,2，kAB=0?4?2?0=2，
又線段AB的垂直平分線為直線l，所以kl=?1kAB=?12，
所以直線l的方程為y?2=?12x+1，即x+2y?3=0，
所以直線l的一般式方程為x+2y?3=0；
（2）解：設(shè)點C坐標(biāo)為a,b，
由題意有a+2b?3=0a+22+b2=10，解得a=1b=1或a=?3b=3，
所以點C坐標(biāo)為1,1或?3,3.
【題型2：點到直線的距離】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離為（ ）
A．?2B．2C．?1D．1
【答案】D
【分析】利用點到直線的距離公式直接計算得解.
【詳解】點M(1,2)到直線3x+4y?6=0的距離d=|3×1+4×2?6|32+42=1.
故選：D
變式1．（23-24高二上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知直線l：x+my?2m?1=0，則點P2,?1到直線l距離的最大值為（ ）
A．5B．10C．5D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)直線方程，可得直線過定點A1,2，即可求出結(jié)果.
【詳解】直線l：x+my?2m?1=0，即x?1+m(y?2)=0，
由x?1=0y?2=0，得到x=1,y=2，所以直線過定點A1,2，
當(dāng)直線l垂直于直線AP時，距離最大，此時最大值為AP=(2?1)2+(?1?2)2=10，
故選：B.
變式2．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知A?3,?4，B6,3兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等，求a的值（ ）
A．13B．?97C．?13或?79D．13或?79
【答案】C
【分析】利用點到直線距離公式列出關(guān)于a的方程求解即可．
【詳解】因為點A(?3,?4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等，
所以|?3a?4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1，即|?3a?3|=|6a+4|，
化簡得27a2+30a+7=0，解得a=?13或a=?79.
故選：C.
變式3．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線x+y?1=0上與點P(?2,3)的距離等于2的點的坐標(biāo)可以是（ ）
A．(?4,5)B．(?1,2)C．(?3,4)D．(1,?5)
【答案】BC
【分析】設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0,y0)，然后根據(jù)題意列方程組可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)所求點的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0+y0?1=0，且(x0+2)2+(y0?3)2=2，
兩式聯(lián)立解得x0=?3y0=4或x0=?1y0=2，
所以所求點的坐標(biāo)為(?1,2)或(?3,4)
故選：BC
變式4．（多選）（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線l:y=ax?a+1，下列說法正確的是（ ）
A．直線l過定點?1,1
B．當(dāng)a=1時，l關(guān)于x軸的對稱直線為x+y=0
C．直線l一定經(jīng)過第四象限
D．點P3,?1到直線l的最大距離為22
【答案】BD
【分析】A.由l:y=ax?a+1=ax?1+1判斷；B.由a=1時，直線方程為y=x判斷；C.由a=1時，直線方程為y=x判斷；D.點P3,?1到定點的距離判斷.
【詳解】對于A，直線l:y=ax?a+1=ax?1+1，所以直線l過定點Q1,1，故A錯誤；
對于B.當(dāng)a=1時，直線方程為y=x，l關(guān)于x軸的對稱直線為x+y=0，故B正確；
對于C，當(dāng)a=1時，直線方程為y=x，直線l不經(jīng)過第四象限，故C錯誤；
對于D，如圖所示：
設(shè)PH⊥l，由圖象知：PQ≥PH，點P3,?1到直線l的最大距離為d=3?12+?1?12=22，故D正確；
故選：BD
變式5．（多選）（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知點P1,3與Q?3,1到直線l的距離相等，則l的方程可以是（ ）
A．2x+y=0B．x?2y?3=0
C．2x+3y?5=0D．3x?2y+7=0
【答案】ABD
【分析】根據(jù)點到直線的距離相等，可得l過PQ的中點，或l的斜率與PQ的斜率相等，進(jìn)而兩種情況進(jìn)行判斷.
【詳解】由題知，l過PQ的中點，或l的斜率與PQ的斜率相等，
又PQ的中點為?1,2，
則過點?1,2的直線為AD選項；
又PQ的斜率為3?11??3=12，則B選項符合條件.
故選：ABD
變式6．（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）若點P?2,?1到直線l：1+3λx+1+2λy=2+5λ的距離為d，則d的取值范圍是 ．
【答案】0,13
【分析】先確定直線恒過定點A1,1，再計算|PA|，從而可得結(jié)論．
【詳解】解：把直線l的方程化為(x+y?2)+λ3x+2y?5=0，
由方程組x+y?2=0,3x+2y?5=0,
解得x=1,y=1,
所以直線l恒過定點A1,1，
其中直線l不包括直線3x+2y?5=0．
又PA=(?2?1)2+(?1?1)2=13，
且當(dāng)PA與直線3x+2y?5=0垂直時，點P到直線3x+2y?5=0的距離為13，
所以點P到直線l的距離d滿足0≤d0，
整理，得2a+b+3a2+b2=5a?3b+3a2+b2=t，
看成有且僅有三條直線滿足，A2,1和B(5,?3）到直線l：ax+by+3=0（不過原點）的距離L相等．由AB=(5?2)2+(?3?1)2=5，
（1）當(dāng)t=AB2=52，此時，易得符合題意的直線l為線段AB的垂直平分線6x?8y?29=0以及直線AB平行的兩條直線8x+ 6y+3=0和8x+6y?47=0；
（2）當(dāng)t0的夾角平分線為y=x，則直線l的方程為 .
【答案】bx+ay+c=0
【分析】由題意知，直線l和ax+by+c=0關(guān)于直線y=x對稱，故把l的方程中的x 和y交換位置即得直線l的方程．
【詳解】由題意可得直線l與直線ax+by+c=0關(guān)于直線y=x對稱，
由于直線ax+by+c=0上的任意一點Mx,y關(guān)于直線y=x的對稱點為Ny,x，
因為已知直線ax+by+c=0，則l的方程是ay+bx+c=0，即bx+ay+c=0，
故答案為：bx+ay+c=0.
變式5．（22-23高二上·安徽六安·階段練習(xí)）已知直線l1的方程為x?2y+4=0.
（1）若直線l1和直線l2關(guān)于點0,0對稱，求直線l2的方程 ；
（2）若直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對稱，求直線l2的方程 .
【答案】 x?2y?4=0 2x?y?4=0.
【分析】根據(jù)題意，由點Ax,y關(guān)于點0,0對稱的點A′?x,?y在直線l1上，列出方程即可得到結(jié)果；由題意可得直線l1與直線y=x的交點，求出C0,2關(guān)于直線y=x對稱的點為C′s,r，即可得到直線方程.
【詳解】因為直線l1和直線l2關(guān)于點0,0對稱，
在直線l2上任取一點Ax,y，則Ax,y關(guān)于點0,0對稱的點A′?x,?y在直線l1上，
將點A′?x,?y代入直線l1可得?x+2y+4=0，
所以直線l2的方程為x?2y?4=0；
設(shè)直線l1與直線y=x的交點為Bp,q，
所以p=qp?2q+4=0，解得p=q=4，則B4,4，
在直線l1上取點C0,2，設(shè)C0,2關(guān)于直線y=x對稱的點為C′s,r，
則r?2s?0×1=?1①
因為C0,2與C′s,r的中點坐標(biāo)為0+s2,2+r2，
所以0+s2=2+r2②
由①②可得s=2r=0，所以C′2,0
因為直線l1和直線l2關(guān)于直線y=x對稱，
所以直線l2經(jīng)過點B4,4和點C′2,0，
所以直線l2的兩點式方程為y?04?0=x?24?2，
整理得直線l2的一般式方程為2x?y?4=0.
故答案為: x?2y?4=0;2x?y?4=0.
變式6．（23-24高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知△ABC的三個頂點是A1,1，B3,3，C2,8．
(1)過點B的直線l1與邊AC相交于點D，若△BCD的面積是△ABD面積的3倍，求直線l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分線所在直線l2的方程．
【答案】(1)x?7y+18=0
(2)2x?y?1=0
【分析】（1）設(shè)Dx0,y0，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)關(guān)系確定DC=3AD，即可列方程得D的坐標(biāo)，從而可得直線方程；
（2）利用對稱性結(jié)合直線方程確定B關(guān)于直線l對稱的點為B′的坐標(biāo)關(guān)系式，即可得所求.
【詳解】（1）設(shè)Dx0,y0則AD=x0?1,y0?1，DC=2?x0,8?y0
因為△BCD的面積是△ABD面積的3倍，所以DC=3AD，
則2?x0=3(x0?1)8?y0=3(y0?1)解得x0=54y0=114
故直線l1的方程為y?3=3?1143?54(x?3)，即x?7y+18=0
（2）顯然，l2的斜率存在且不為零，設(shè)l2的方程為y?1=kx?1，
則過點B且與l2垂直的直線l的方程為y?3=?1k(x?3)
設(shè)點B關(guān)于直線l對稱的點為B′x1,3?1k(x1?3)，
因為直線AC的方程為7x?y?6=0，
所以7x1?3+1kx1?3?6=03+3?1kx1?32?1=k3+x12?1
整理得2k3?3k2?2k=0
因為k≠0，所以2k2?3k?2=0，解得k=2或k=?12
又kAC=7>0，kAB=1>0，所以k>0，
故直線l2的方程為y?1=2x?1，即2x?y?1=0
變式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直線l:2x+3y?5=0，求滿足下列條件的直線的方程．
(1)與直線l關(guān)于x軸對稱；
(2)過點3,1，且與l平行．
【答案】(1)2x?3y?5=0；
(2)2x+3y?9=0.
【分析】（1）由對稱方法求出直線方程作答.
（2）利用平行關(guān)系設(shè)出直線方程，再求出待定系數(shù)作答.
【詳解】（1）設(shè)與直線l關(guān)于x軸對稱的直線l1上任意點坐標(biāo)為(x,y)，則點(x,?y)在直線l上，即有2x+3(?y)?5=0，
所以直線l1的方程為2x?3y?5=0.
（2）設(shè)與直線l平行的直線l2的方程為2x+3y+m=0(m≠?5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=?9，
所以直線l2的方程為2x+3y?9=0.

【方法技巧與總結(jié)】
1.相交時：此問題可轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于直線”的對稱問題
2.平行時：對稱直線與已知直線平行
【題型7：反射光線問題】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光線從點A?2,1射出，經(jīng)直線2x?y+10=0反射，且反射光線所在直線過點B(?8,?3)，則反射光線所在直線的方程是（ ）
A．x?3y?1=0B．3x?y+21=0
C．x+3y+17=0D．3x+y+15=0
【答案】B
【分析】求出A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對稱點為C的坐標(biāo)，由B,C都在反射光線所在直線上得直線方程．
【詳解】設(shè)A(?2,1)關(guān)于直線2x?y+10=0的對稱點為C(x,y)，
則(x?2)?y+12+10=0y?1x+2=?12，解得x=?6y=3，即C(?6,3)，
所以反射光線所在直線方程為y?3=?3?3?8+6?(x+6)，即3x?y+21=0．
故選：B．
變式1．（22-23高二上·浙江·階段練習(xí)）一條光線從點P?1,5射出，經(jīng)直線x?3y+1=0反射后經(jīng)過點2,3，則反射光線所在直線的方程為（ ）
A．2x?y?1=0B．x?2=0
C．3x?y?3=0D．4x?y?5=0
【答案】B
【分析】求出點P?1,5關(guān)于直線x?3y+1=0的對稱點，再利用反射光線過點，即可求解.
【詳解】設(shè)點P?1,5關(guān)于直線x?3y+1=0的對稱點為P1a,b，
則b?5a+1×13=?1a?12?3×b+52+1=0，化簡得b=?3a+2a?3b?14=0，解得a=2b=?4，
故反射光線過點2,?4,2,3，
則反射光線所在直線的方程為x?2=0.
故選：B.
變式2．（23-24高三上·河南三門峽·階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點P是邊AB上異于A，B的一點，光線從點P出發(fā)經(jīng)BC，CA反射后又回到點P，若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則△PQR的周長等于（ ）
A．853B．2373
C．415D．533
【答案】A
【分析】以A為坐標(biāo)原點，AB,AC所在直線為x軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，通過對稱光線的對稱關(guān)系找到點P關(guān)于BC，AC的對稱點P1，P2，則△PQR即為P1P2的長.
【詳解】解析：以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直線BC的方程為x+y?4=0.
設(shè)P(t,0)(00)與直線l2:x+3y?3=0間的距離為10，則m=（ ）
A．17B．172C．14D．7
【答案】D
【分析】根據(jù)平行直線間的距離公式計算即可.
【詳解】由題意，m+31+9=10，解得m=7（m=?13舍去）.
故選：D.
3．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）若原點到直線ax+by+c=0的距離為1，則a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系式為（ ）
A．c2=a2+b2B．a(chǎn)2=b2+c2
C．b2=a2+c2D．c=a+b
【答案】A
【分析】根據(jù)題意利用點到直線的距離公式分析求解.
【詳解】原點O0,0到直線ax+by+c=0的距離為1，
則a×0+b×0+ca2+b2=1，整理得c2=a2+b2.
故選：A.
4．（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知點A2,1，點B在直線x?y+3=0上，則AB的最小值為（ ）
A．5B．26C．22D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)點到直線的距離即可求解.
【詳解】由于A2,1不在直線l:x?y+3=0上，所以當(dāng)AB⊥l時，此時AB最小，
故ABmin=d=2?1+32=22,
故選:C
5．（23-24高二上·四川遂寧·期中）已知直線l：x?y=0，則點A?1,4關(guān)于l對稱的點的坐標(biāo)為（ ）
A．4,1B．4,?1C．?1,?4D．1,4
【答案】B
【分析】根據(jù)垂直斜率關(guān)系，以及中點在直線上即可列方程求解.
【詳解】設(shè)點A?1,4關(guān)于l對稱的點為A′a,b，則b?4a+1=?1?1+a2?4+b2=0，解得a=4,b=?1，
故選：B
6．（23-24高二上·廣西玉林·期中）已知A?2,4，B?4,6兩點到直線l:ax?y+1=0的距離相等，則a的值為（ ）
A．?1或?43B．3或4C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式建立方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，
?2a?4+1a2+1=?4a?6+1a2+1，整理得2a+3=4a+5，
即2a+3=±(4a+5)，解得a=?1或a=?43.
故選：A.
7．（23-24高二下·全國·課堂例題）直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，則實數(shù)k的值為（ ）
A．k≠1或k≠9B．k≠1或k≠?9
C．k≠1且k≠9D．k≠1且k≠?9
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解即得.
【詳解】由直線3x?(k+2)y+k+5=0與直線kx+(2k?3)y+2=0相交，得3(2k?3)?k[?(k+2)]≠0，
即(k+9)(k?1)≠0，解得k≠1且k≠?9，
所以實數(shù)k的值為k≠1且k≠?9.
故選：D
8．（23-24高二上·廣東湛江·期中）某地A,B兩廠在平面直角坐標(biāo)系上的坐標(biāo)分別為A0,0,B?2,0，一條河所在直線的方程為x+2y?5=0.若在河上建一座供水站P，則P到A,B兩點距離之和的最小值為（ ）
A．42B．32C．43D．48
【答案】A
【分析】根據(jù)兩點間距離公式和點的對稱性建立方程組，求解即可.
【詳解】
如圖，設(shè)A關(guān)于直線x+2y?5=0對稱的點為A′(a,b)，
則a2+2?b2?5=0,ba??12=?1,得a=2,b=4,即A′2,4，
易知AP=A′P，
當(dāng)A′,P,B三點共線時，
PA+PB=PA′+PB取得最小值，
最小值為A′B= (2+2)2+(4?0)2=42.
故選：A
二、多選題
9．（23-24高二下·廣西·開學(xué)考試）若直線l1：y=34x+2，l2：3x?4y+8=0，l3：y=34x?1，l4：y=?34x+1，則（ ）
A．l1∥l2B．l1與l3之間的距離為125
C．l2∥l3D．l1與l4的傾斜角互補
【答案】BCD
【分析】根據(jù)直線方程判斷直線的平行關(guān)系，可判定AC的真假；根據(jù)平行線的距離公式，判斷B的真假；根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，判斷D的真假.
【詳解】由3x?4y+8=0，得y=34x+2，所以l1與l2重合，l2∥l3，A錯誤，C正確．
l1與l3之間的距離為|2?(?1)|12+342=125，B正確．
因為l1與l4的斜率互為相反數(shù)，所以l1與l4的傾斜角互補，D正確．
故選：BCD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直線l1：2x?y=0與l2：x+y?3=0交于點P，則下列說法正確的是（ ）
A．點P到原點的距離為5
B．點P到直線x?y?1=0的距離為1
C．不論實數(shù)m取何值，直線l3：m+2x?2y?1=0都經(jīng)過點P
D．1,?1是直線l2的一個方向向量的坐標(biāo)
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，求出點P的坐標(biāo)，再逐項計算、判斷即得.
【詳解】由2x?y=0x+y?3=0，解得x=1,y=2，則點P(1,2)，
對于A，P(1,2)到原點距離12+22=5，A正確；
對于B，P(1,2)到直線x?y?1=0的距離|1?2?1|12+(?1)2=2，B錯誤；
對于C，(m+2)×1?2×2?1=m?3，當(dāng)m≠3時，直線l3不過點P，C錯誤；
對于D，直線l2的斜率k=?1，因此1,?1是直線l2的一個方向向量的坐標(biāo)，D正確.
故選：AD
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）點A2，7，B?2，3到直線l:ax?2y+a?1=0的距離相等，則a的值可能為（ ）
A．－2B．2C．9D．11
【答案】BD
【分析】分點A,B在直線l的同側(cè)或兩側(cè)進(jìn)行討論即可.
【詳解】①若點A,B在l的同側(cè)，則直線AB//l，
即a2=7?32??2，解得a=2，
②若A,B在l的兩側(cè)，則l經(jīng)過線段AB的中點0,5，
即a×0?2×5+a?1=0?a=11，
故選：BD.
三、填空題
12．（24-25高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點Px,y在直線x+2y?5=0上，當(dāng)OP最小時，P點的坐標(biāo)為 .
【答案】1,2
【分析】求出過原點與已知直線垂直的直線方程，聯(lián)立已知方程求解可得.
【詳解】易知，當(dāng)OP垂直于直線x+2y?5=0時，OP取得最小值，
此時kOP=2，OP所在直線方程為y=2x，
聯(lián)立x+2y?5=0y=2x解得x=1,y=2，即P1,2.
故答案為：1,2
13．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點Ax1,y1，Bx2,y2，定義dAB=x1?x22+y1?y22為“A，B兩點間的距離”，定義AB=x1?x2+y1?y2為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知O(0,0)為坐標(biāo)原點，P(x,y)(x≥0,y≤0)為平面直角坐標(biāo)系中的動點，且OP=2，則dOP的最小值為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)OP=2得出x?y=2，利用點到直線的距離可得答案.
【詳解】設(shè)Px,y，則由OP=x+y=2，
因為x≥0,y≤0，所以x?y=2，
dOP的最小值為點O到線段的距離，
dOP的最小值為|?2|2=2.
故答案為：2
14．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線l與直線2x?3y+4=0關(guān)于直線x=1對稱，則直線l的方程為 ．
【答案】2x+3y?8=0
【分析】利用直線對稱的性質(zhì)求得直線l的兩點，從而利用點斜式即可得解.
【詳解】直線2x?3y+4=0取兩點1,2,?2,0，
則它們關(guān)于x=1對稱的點為1,2,4,0在直線l上，
故直線l的斜率為0?24?1=?23，
則直線l的方程為y?0=?23(x?4)，即2x+3y?8=0.
故答案為：2x+3y?8=0.
15．（23-24高二上·甘肅白銀·期末）已知實數(shù)x,y滿足xsinα+ycsα=3，則x2+y2的最小值為 .
【答案】9
【分析】利用兩點距離公式的幾何意義與點線距離公式即可得解.
【詳解】因為x2+y2表示點x,y到點0,0的距離的平方，
而x2+y2的最小值為點0,0到直線xsinα+ycsα=3的距離，即?3cs2α+sin2α=3，
所以x2+y2的最小值為9.
故答案為：9.
16．（2023高二上·全國·專題練習(xí)）已知x,y∈R，S=x+12+y2+x?12+y2，則S的最小值是 .
【答案】2
【分析】S=x+12+y2+x?12+y2表示點P(x,y)到點A(?1,0)與點B(1，0)的距離之和，利用數(shù)形結(jié)合法求解.
【詳解】S=x+12+y2+x?12+y2表示點P(x,y)到點A(?1,0)與點B(1，0)的距離之和，
即S=PA+PB，如圖所示：
由圖象知：S=PA+PB≥AB=2，
當(dāng)點P在線段AB上時，等號成立.
所以S取得最小值為2.
故答案為：2.
四、解答題
17．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知直線l1：x+my+1=0和l2：2x+y?1=0．
(1)若l1與l2互相垂直，求實數(shù)m的值；
(2)若l1與l2互相平行，求l1與l2間的距離．
【答案】(1)m=?2
(2)355
【分析】（1）直接利用直線垂直的充要條件求出m的值；
（2）利用直線平行的充要條件求出m的值，進(jìn)一步求出兩平行線間的距離．
【詳解】（1）直線l1:x+my+1=0和l2:2x+y?1=0．
當(dāng)直線l1與l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=?2；故m=?2；
（2）當(dāng)直線l1與l2互相平行，則m=12，故直線l1的方程為2x+y+2=0；
所以直線l1與l2間的距離d=|2?(?1)|1+22=355．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四邊形ABCD中，A1,1,C5,5，邊AB,AD所在直線的方程分別為l1:x?3y+2=0和l2:3x?y?2=0．
(1)求BC邊所在直線的方程和點A到直線BC的距離；
(2)求線段AC垂直平分線所在的直線方程；
(3)求過點B且在x軸和y軸截距相等的直線方程．
【答案】(1)3x?y?10=0,4105；
(2)x+y?6=0；
(3)x?2y=0和x+y?6=0．
【分析】
（1）直線BC和直線AD平行，據(jù)此求出BC斜率，再根據(jù)BC過C，根據(jù)直線點斜式方程即可求解，再根據(jù)點到直線距離公式可求A到直線BC的距離；
（2）求出AC的斜率并求出線段AC中點坐標(biāo)，根據(jù)點斜式方程即可求解；
（3）根據(jù)題意利用點斜式方程，表示出直線的橫截距和縱截距，列方程即可求解．
【詳解】（1）由BC//AD,AD的方程為l2:3x?y?2=0，
可得直線BC的斜率為3，又經(jīng)過點C5,5，
則直線BC的方程為y?5=3x?5，即3x?y?10=0；
點A到直線BC的距離為3?1?109+1=4105；
（2）由A1,1,C5,5，可得AC的中點坐標(biāo)為3,3，
又直線AC的斜率為5?15?1=1，則線段AC垂直平分線斜率為?1，
則其所在的直線方程為y?3=?x?3，即為x+y?6=0；
（3）由x?3y+2=03x?y?10=0，解得B4,2，
由題意可得所求直線的斜率k存在且不為0，
設(shè)所求直線的方程為y?2=kx?4，
今x=0，則y=2?4k，
今y=0，則x=4?2k，
由題意可得2?4k=4?2k，
解得k=?1和k=12，
則所求直線方程為x?2y=0和x+y?6=0．
19．（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知兩條直線l1:(t?1)x+2y?t=0和l2:x+ty+t?4=0.
(1)討論直線l1與l2的位置關(guān)系；
(2)當(dāng)直線l1與l2平行時，求它們之間的距離；當(dāng)直線l1與l2相交時，求它們之間夾角的最大值，并指出相應(yīng)t的取值.
【答案】(1)答案見解析；
(2)平行時距離為924，相交時最大夾角為90°．
【分析】（1）由兩相交求得t的范圍，再討論平行與重合的情形即可；
（2）由平行線間距離公式求距離，考慮特殊情形即兩直線能否垂直，垂直時夾角最大為90°．
【詳解】（1）t(t?1)?2≠0，t≠2且t≠?1時，兩直線相交，
t=2時，兩直線方程分別為x+2y?2=0和x+2y?2=0，兩直線重合，
t=?1時，兩直線方程分別為?2x+2y+1=0和x?y?5=0，兩直線平行．
綜上， t≠2且t≠?1時，兩直線相交，t=2時，兩直線重合，t=?1時，兩直線平行．
（2）由（1）兩直線平行時，兩直線方程分別為?2x+2y+1=0和x?y?5=0即為2x?2y?1=0和2x?2y?10=0，距離為d=?10?(?1)22+(?2)2=924，
兩直線相交時，t≠2且t≠?1，
t≠0時，l1的斜率為k1=?t?12，l2的斜率為k2=?1t，
由?t?12?(?1t)=?1得t=13，即t=13時兩直線垂直，夾角最大為90°．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解點到直線距離的概念;
2.掌握求直線上一點到直線的距離的方法，并能運用到實際問題中:
3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高邏輯推理能力。
1.重點：(1)點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路;(2)點到直線的距離公式的應(yīng)用
2.難點：用向量的方法推導(dǎo)點到直線的距離公式