高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測題

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第一冊2.6.2 雙曲線的幾何性質(zhì)當(dāng)堂達(dá)標(biāo)檢測題，共69頁。

知識點(diǎn)01 雙曲線的幾何性質(zhì)
【即學(xué)即練1】（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）等軸雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±3xC．y=±xD．y=±5x
【答案】C
【分析】寫出等軸雙曲線方程，根據(jù)方程即可求出其漸近線方程.
【詳解】由題意，若等軸雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
則a=b，則其漸近線方程為y=±bax=±x；
若等軸雙曲線方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
則a=b，則其漸近線方程為y=±abx=±x，
綜上，等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x.
故選：C
【即學(xué)即練2】（22-23高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2b2=1b>0的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在雙曲線C上，且直線PA與直線PB的斜率之積為1，求雙曲線C的焦距.
【答案】42
【分析】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，利用直線PA與直線PB的斜率之積為1，可以列關(guān)于x0，y0的等式，再利用點(diǎn)P在雙曲線上又可以得到于x0，y0的關(guān)系式，兩式結(jié)合可以得到b，從而可以求出焦距.
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Px0,y0，因?yàn)閗PA?kPB=1，所以y0x0+2?y0x0-2=y02x02-4=1.
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，所以x024-y02b2=1，y02x02-4=b24，所以b24=1，即b＝2.
所以雙曲線C的焦距為24+b2=42.
知識點(diǎn)02等軸雙曲線
定義：實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線，它的漸近線是y＝±x，離心率為e＝eq \r(2).
注意：對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)的幾點(diǎn)認(rèn)識
1.雙曲線的焦點(diǎn)決定雙曲線的位置；
2.雙曲線的離心率和漸近線刻畫了雙曲線的開口大小，離心率越大，雙曲線的開口越大，反之亦然．
3.巧設(shè)雙曲線方程：與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【即學(xué)即練3】（2022高二·全國·專題練習(xí)）等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為-6,0，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．x2-y2=-18B．x2-y2=18
C．x2-y2=-8D．x2-y2=8
【答案】B
【分析】由題意設(shè)等軸雙曲線為x2a2-y2a2=1(a>0)，再由c=6可求出a2，從而可求出雙曲線的方程.
【詳解】由題意設(shè)等軸雙曲線為x2a2-y2a2=1(a>0)，
因?yàn)榈容S雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為-6,0，
所以a2+a2=c2=36，得a2=18，
所以等軸雙曲線為x218-y218=1，即x2-y2=18，
故選：
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·安徽·階段練習(xí)）已知等軸雙曲線C的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)A42,2，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x236-y236=1B．y236-x236=1C．x228-y228=1D．y228-x228=1
【答案】C
【分析】設(shè)出等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將A42,2代入即可求解.
【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的方程為x2m-y2m=1，
將點(diǎn)A42,2代入得32m-4m=1，解得m=28.
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x228-y228=1.
故選:C.
知識點(diǎn)03 雙曲線與漸近線的關(guān)系
1、若雙曲線方程為漸近線方程：
2、若雙曲線方程為（a＞0，b＞0）漸近線方程：
3、若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，
4、若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）
【即學(xué)即練5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【答案】C
【分析】根據(jù)等軸雙曲線的定義，可設(shè)a=b=1，以雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的射線為x軸建立直角坐標(biāo)系，寫出雙曲線的方程，由此得到漸近線方程，從而求得兩漸近線的夾角.
【詳解】由等軸雙曲線的定義可知雙曲線的實(shí)軸與虛軸長度相等，∴實(shí)半軸與虛半軸的長度相等，設(shè)不妨設(shè)a=b=1，以雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的射線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線的方程為x2-y2=1，兩條漸近線方程為y=±x，這兩條漸近線的夾角為π2．
故選：C．
【即學(xué)即練6】（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線16x2-9y2=144，求該雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率與漸近線方程
【答案】頂點(diǎn)坐標(biāo)為±3,0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±5,0，離心率為53，漸近線為y=±43x
【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出a、b、c，再解答即可.
【詳解】雙曲線16x2-9y2=144，即x29-y216=1，所以a=3,b=4，所以c=a2+b2=5，
故雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為±3,0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為±5,0，離心率e=ca=53，漸近線為y=±43x；
難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用
示例1：（多選）（24-25高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）設(shè)F為雙曲線C:x22-y22=1的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓心為0,m，半徑為2的圓交C的右支于A，B兩點(diǎn)，則（ ）.
A．C的離心率為2B．OA2+OB2=6
C．OA+OB≤4D．FA2+FB2≥16-83
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率公式可判斷A；設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立雙曲線與圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可判斷B；由基本不等式鏈a+b2≤a2+b22，結(jié)合OA2+OB2=8可判斷C；由題意得|FA|2+|FB|2=16-4x1+x2，結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】對于A，因?yàn)閍=b=2，則c=2，
所以C的離心率為e=ca=2，故A正確；
對于B，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立x2-y2=2x2+y-m2=4，消去x可得2y2-2my+m2-2=0，
則Δ=-2m2-8m2-2>0，解得-20的焦距為43，則C的漸近線方程是（ ）
A．y=±77xB．y=±33x
C．y=±xD．y=±3x
【答案】C
【分析】根據(jù)焦距可求a，從而可求漸近線的方程.
【詳解】因?yàn)榻咕酁?3，故a2+6=4322=12，故a2=6，故ba=1
故漸近線方程為y=±x，
故選：C.
變式2．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）雙曲線x24-y216=1的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）．
A．5B．4C．455D．23
【答案】C
【分析】求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．
【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點(diǎn)A1-2,0，A22,0，
漸近線方程為y=±bax=±2x，
由對稱性，不妨求A1到直線y=2x的距離，d=422+-12=455．
故選：C．
變式3．（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）共軛雙曲線x24-y23=1與y23-x24=1，有（ ）
A．相同的離心率B．公共焦點(diǎn)
C．公共頂點(diǎn)D．公共漸近線
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率、交點(diǎn)、頂點(diǎn)、漸近線等知識確定正確答案.
【詳解】雙曲線x24-y23=1的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線y23-x24=1的焦點(diǎn)在y軸上，
所以BC選項(xiàng)錯誤.
雙曲線x24-y23=1對應(yīng)a1=2,b1=3,c1=3+7=7，
對應(yīng)離心率為72，漸近線方程為y=±32x.
雙曲線y23-x24=1對應(yīng)a2=3,b2=2,c2=7，
對應(yīng)離心率為73=213，漸近線方程為y=±32x，
所以A選項(xiàng)錯誤，D選項(xiàng)正確.
故選：D
變式4．（23-24高二下·河北石家莊·期末）已知直線y=2x+m與雙曲線Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)的一條漸近線平行，則Γ的實(shí)軸長為（ ）
A．22B．32C．62D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線和直線斜率可得2m+3m=2，求得m=32，進(jìn)而可得實(shí)軸長.
【詳解】由雙曲線Γ:x2m-y22m+3=1(m>0)可知：a=m,b=2m+3，且焦點(diǎn)在x軸上，
則雙曲線Γ的漸近線為y=±2m+3mx，
且直線y=2x+m的斜率k=2，
若直線y=2x+m與雙曲線Γ的一條漸近線平行，
則2m+3m=2，解得m=32，即a=m=62，
所以Γ的實(shí)軸長為2a=6.
故選：D.
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知a,b>0,a≠b，則關(guān)于雙曲線C1:x2a2-y2b2=1與雙曲線C2:y2a2-x2b2=1，下列說法中正確的是（ ）.
A．有相同的焦距B．有相同的焦點(diǎn)
C．有相同的離心率D．有相同的漸近線
【答案】AC
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由雙曲線C1:x2a2-y2b2=1，可得c=a2+b2，則焦距為2c=2a2+b2，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-a2+b2,0),F2(a2+b2,0)，漸近線方程為y=±bax，離心率為e1=ca；
又由雙曲線C2:y2a2-x2b2=1，可得c=a2+b2，則焦距為2c=2a2+b2，
焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(0,-a2+b2),F2(0,a2+b2)，漸近線方程為y=±abx，離心率為e2=ca，
所以雙曲線C1和C2有相同的焦距，離心率相同，焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程不同.
故選：AC.
變式6．（多選）（23-24高二上·河南漯河·階段練習(xí)）已知橢圓C1:x216+y29=1與雙曲線C2：x216-k-y2k-9=1（90)的漸近線方程為y=±m(xù)x，
故m3=m，解得m=3，
故C:x213-y2=1，焦距為213+1=433.
故答案為：433
變式8．（23-24高二下·新疆克孜勒蘇·期末）若方程x2+my2-m=0表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為 .
【答案】2-m
【分析】化為y2-x2-m=1，根據(jù)雙曲線方程的特征得到雙曲線的虛軸長.
【詳解】若方程x2+my2-m=0表示雙曲線，顯然m≠0，
則由x2+my2-m=0可得y2-x2-m=1，所以-m>0，
該雙曲線的虛軸長為2-m，
故答案為：2-m.
【方法技巧與總結(jié)】
由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟：
1.把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決本題的關(guān)鍵；
2.由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定a，b的值；
3.由c2＝a2＋b2求出c值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)。
注意：求性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置
【題型2：利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程】
例2．（2020·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知雙曲線的漸近線方程為y=±22x，實(shí)軸長為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）.
A．x24-y22=1B．x24-y28=1或y24-x28=1
C．x24-y28=1D．x24-y22=1或y24-x28=1
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，結(jié)合雙曲線漸近線方程和實(shí)軸長的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，
因?yàn)閷?shí)軸長為4，所以得2a=4?a=2，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：y=±22x，所以有ba=22，
因此b=2，所以雙曲線的方程為：x24-y22=1；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在縱軸時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)，
因?yàn)閷?shí)軸長為4，所以得2a=4?a=2，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為：y=±22x，所以有ab=22，
因此b=22，所以雙曲線的方程為：y24-x28=1.
綜上所述，雙曲線的方程為x24-y22=1或y24-x28=1.
故選：D
變式1．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）過點(diǎn)4,-3且與雙曲線x24-y23=1有相同漸近線的雙曲線方程是（ ）
A．y212-x29=1B．x212-y29=1C．y29-x212=1D．x29-y212=1
【答案】B
【分析】根據(jù)漸近線相同可設(shè)所求為x24-y23=tt≠0，將點(diǎn)4,-3代入求得t即可得解.
【詳解】因?yàn)樗箅p曲線與雙曲線x24-y23=1有相同的漸近線，所以設(shè)其方程為x24-y23=tt≠0，
又點(diǎn)4,-3在雙曲線上，所以424-(-3)23=t，解得t=3，
則雙曲線方程為x212-y29=1.
故選：B．
變式2．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為y=±2x，虛軸長為4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】x2-y24=1
【分析】由若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由虛軸長為4，可知b=2，再由漸近線方程為y=±2x，可知ba=2,a=1，代入即可求解.
【詳解】由若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
由虛軸長為4，可知b=2，再由漸近線方程為y=±2x，可知ba=2,a=1，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2-y24=1.
故答案為：x2-y24=1.
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C的對稱軸為坐標(biāo)軸，其中一條漸近線方程為3x+y=0，直線l:y=x-2截該雙曲線的弦長為6，則該雙曲線的方程為 .
【答案】x2-y23=1
【分析】由漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再直曲聯(lián)立得到韋達(dá)定理，最后由弦長公式求出AB，解出即可；
【詳解】由于C的一條漸近線為3x+y=0，可設(shè)雙曲線C的方程為3x2-y2=tt≠0，
將y=x-2代入雙曲線C得2x2+4x-4-t=0，
若直線與雙曲線交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,y2，
則x1+x2=-2,x1x2=-4-t2，
則AB=1+12x1+x22-4x1x2=2×-22-4×-4-t2=6，解得t=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，t=3滿足題意；
故該雙曲線的方程為3x2-y2=3，即x2-y23=1.
故答案為：x2-y23=1.
變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓x216+y29=1的上、下頂點(diǎn)重合，且其中一條漸近線的方程為y=22x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】y23-x26=1
【分析】根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)得雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合漸近線方程求出參數(shù)即可.
【詳解】橢圓的上、下頂點(diǎn)坐標(biāo)為0,3,0,-3，
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1a>0,b>0，其半焦距為cc>0，
由題得雙曲線焦點(diǎn)為0,3,0,-3，即c=3.
因?yàn)槠渲幸粭l漸近線方程為y=22x，
所以ab=22，即b=2a，結(jié)合c2=a2+b2，解得a2=3,b2=6，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y23-x26=1．
故答案為:y23-x26=1.
變式5．（23-24高二上·廣東江門·期末）寫出一個(gè)與雙曲線x2-y22=1有相同漸近線，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程為 .
【答案】y22-x2=1（答案不唯一）
【分析】設(shè)所求雙曲線的方程為x2-y22=λλ≠0，再根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上，可得λ0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F1作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，若OP=PF2=24F1F2，則雙曲線的離心率為（ ）
A．2B．423C．233D．253
【答案】C
【分析】因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，所以這是一個(gè)中點(diǎn)弦問題，采用點(diǎn)差法運(yùn)算即可.
【詳解】如圖: F1(-c,0),F2(c,0)，
由|OP|=PF2=24F1F2=22c,OF2=c,
可得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 c2,c2，
則直線 OP 斜率為 kOP=1， 直線 AB 斜率為 kAB=kPF1=c2c2+c=13，
另一方面， 設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2, 則x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1
兩式相減得 x12-x22a2=y12-y22b2， 整理得 b2a2=y1-y2y1+y2x1-x2x1+x2,
即 kAB·kOP=b2a2， 故b2a2=13?e=ca=1+b2a2=233.

故選：C
變式4．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，焦距為2c(c>0).若雙曲線C右支上存在點(diǎn)P，使得PF2=4a，且S△PF1F2=12a2，則雙曲線C的離心率e=（ ）.
A．5B．53C．6+1D．13
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到△PF1F2為直角三角形，進(jìn)而由勾股定理可以求解.
【詳解】由雙曲線的定義可知得 |PF1|-|PF2|=2a
因?yàn)閨PF2|=4a，∴|PF1|=6a，
設(shè)∠F1PF2=θ，則S△PF1F2=12×|PF1|×|PF2|×sinθ=12×6a×4a×sinθ=12a2sinθ=12a2，
∴sinθ=1,θ∈(0,π)，
∴θ=π2，
∴△PF1F2為直角三角形
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴36a2+16a2=4c2，即52a2=4c2，
∴e2=c2a2=524=13，
∴e=13
故選：D
變式5．（24-25高三上·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一條漸近線的方程為x+2y=0，則C的離心率的值為 .
【答案】52
【分析】由已知可得ba=12，進(jìn)而可求雙曲線的離心率.
【詳解】因?yàn)殡p曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的一條漸近線的方程為x+2y=0，
所以ba=12，所以雙曲線的離心率為e=1+(ba)2=52.
故答案為：52.
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2且在x軸上，且雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PO|2=PF1?PF2，若PF2⊥x軸，則該雙曲線的離心率為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)給定條件，求出|PF2|，再利用雙曲線定義，結(jié)合已知求解即得.
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，F(xiàn)2(c,0)，由PF2⊥x軸，得直線PF2:x=c，
于是c2a2-y2b2=1，解得|PF2|=|y|=b2a，|PF1|=b2a+2a，|PO|2=(b2a)2+c2，
而|PO|2=PF1?PF2，因此(b2a)2+c2=(b2a+2a)?b2a，整理得c2=2b2，
而c2=a2+b2，則a2=b2，
所以該雙曲線離心率e=ca=1+b2a2=2.
故答案為：2

變式7．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于M，N兩點(diǎn).若MF=3FN,OM=3OP,OP?PF=0，則雙曲線的離心率為 .

【答案】62
【分析】先設(shè)坐標(biāo)再應(yīng)用坐標(biāo)的線性運(yùn)算，最后結(jié)合數(shù)量積公式計(jì)算得出齊次式求出離心率.
【詳解】設(shè)Mx1,bax1，Nx2,-bax2，
因?yàn)镕c,0，所以MF=c-x1,-bax1，F(xiàn)N=x2-c,-bax2.
又MF=3FN，所以c-x1=3x2-3c-bax1=-3bax2，則x1=2c，x2=2c3.
因?yàn)镺P?PF=0，所以O(shè)P=a.
又OM=3OP，所以O(shè)M=3a，所以4c2+4b2c2a2=9a2，
則c4a4=94，則e=62.
故答案為:62.
變式8．（23-24高二上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】2或233
【分析】本題根據(jù)漸近線的夾角求出漸近線的斜率，再根據(jù)漸近線的斜率與雙曲線方程中參數(shù)以及離心率的關(guān)系即可求得結(jié)果.
【詳解】雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，且漸近線關(guān)于x、y軸對稱，
若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>0，
則ba=33，或ba=3，
此時(shí)e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+332=233，
或e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=1+32=2，
若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，同理可得離心率為2或233.
綜上，離心率為2或233.
故答案為：2或233.
【方法技巧與總結(jié)】
雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：
求出a，c，代入公式e=ca；
②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合c2=a2+b2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)
【題型4：離心率取值范圍問題】
例4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期末）若雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的漸近線與圓x-22+y2=3沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．233,+∞B．2,+∞C．1,2D．1,233
【答案】B
【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進(jìn)而利用圓心到漸近線的距離大于半徑求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而利用c2=a2+b2求得a和c的關(guān)系，則雙曲線的離心率可求．
【詳解】∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，且與圓x-22+y2=3沒有公共點(diǎn)，
圓心到漸近線的距離大于半徑，即2ba2+b2>3，∴b2>3a2，∴b2=c2-a2>3a2，∴e=ca>2．
故選：B．
變式1．（23-24高二上·浙江·期中）設(shè)橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0與雙曲線C2：x2a2-y2b2=1的離心率分別為e1，e2，且雙曲線C2的漸近線的斜率小于155，則e2e1的取值范圍是（ ）
A．1,4B．4,+∞C．1,2D．2,+∞
【答案】C
【分析】由雙曲線的漸近線的斜率小于155，即可得出00的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，且滿足F1F2=2OP，tan∠PF2F1≥4，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．1,179B．179,+∞
C．173,+∞D(zhuǎn)．1,173
【答案】D
【分析】由F1F2=2OP，得F1P⊥F2P，然后利用雙曲線的定義和勾股定理可求得PF1,PF2（用a,c表示），再由tan∠PF2F1≥4得出a,c的不等關(guān)系．
【詳解】∵F1F2=2OP，∴F1P⊥F2P，
記PF1=x，PF2=y，則x2+y2=(2c)2=4c2，
又x-y=2a①，
∴2xy=4c2-4a2，∴(x+y)2=4c2+4c2-4a2=8c2-4a2，x+y=22c2-a2②，
由①②得x=2c2-a2+ay=2c2-a2-a，又tan∠PF2F1=xy≥4，
∴2c2-a2+a≥4(2c2-a2-a)，解得c2a2≤179，
即10,b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且PF1?PF2=-12c2.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．1,2B．1,2C．2,+∞D(zhuǎn)．2,+∞
【答案】C
【分析】由題意，可得夾角的取值范圍，整理相關(guān)等式，進(jìn)而可得離心率的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式定義，可得答案.
【詳解】設(shè)PF1=m，PF2=n，∠F1PF2=θ，由PF1?PF2=-12c2，則mncsθ=-12c20,b>0的漸近線為ax±by=0，
∵圓與雙曲線的漸近線有公共點(diǎn)，
∴圓心C(2,0)到漸近線的距離d=2aa2+b2≤1，
∴3a2≤b2，∴c2=a2+b2≥4a2，即c2a2≥4，
∴e=ca≥2．
故答案為：2,+∞．
變式6．（23-24高二上·貴州銅仁·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左，右焦點(diǎn)分別為F1、F2，焦距為2c．若以線段F1F2為直徑的圓與直線ax-by+2ac=0有交點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍為
【答案】2,+∞
【分析】首先求圓的方程，利用圓心到直線的距離d≤r，推得a與c的關(guān)系，再結(jié)合離心率公式，即可求解
【詳解】以線段F1F2為直徑的圓的方程是x2+y2=c2，與直線ax-by+2ac=0有交點(diǎn)，
則圓心到直線的距離d=2aca2+-b2=2a≤c，
所以雙曲線的離心率e=ca≥2．
故答案為：2,+∞．
變式7．（23-24高二上·江蘇常州·期中）F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若PF22PF1最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是 .
【答案】1,3
【分析】由雙曲線定義PF22PF1=PF1+2a2PF1，變形后由基本不等式得最小值，從而得PF1=2a，再利用雙曲線中的范圍有PF1≥c-a，由此結(jié)合可得離心率的范圍．
【詳解】F1,F2是左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，
所以PF2-PF1=2a，代入PF22PF1，
得PF22PF1=PF1+2a2PF1=PF1+4a+4a2PF1≥2PF1×4a2PF1+4a=8a，
當(dāng)且僅當(dāng)PF1=2a時(shí)取等號，即PF1=2a，
又點(diǎn)P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)，所以PF1≥c-a，
即：2a≥c-a?e≤3,10，b>0)的左右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記△AF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r1，△BF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r2，r1r2≤16a2，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
【答案】(1,5]
【分析】設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，推導(dǎo)出△O1GF2∽△O1F2O2，可得出r1r2=c-a2，可得出關(guān)于c、a的不等式，即可求得該雙曲線離心率的取值范圍.
【詳解】設(shè)△AF1F2、△BF1F2的內(nèi)切圓圓心分別為O1、O2，
設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，

過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，
由切線長定理可得AM=AN，F(xiàn)1M=F1G，F(xiàn)2G=F2N，
所以，AF2+F1F2-AF1=AN+F2N+F1G+F2G-AM+F1M
=F2N+F2G=2F2G=2c-2a，
則F2G=c-a，所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為c-c-a=a.
故點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)也為a，同理可知點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)為a，故O1O2⊥x軸，
故圓O1和圓O2均與x軸相切于Ga,0，圓O1和圓O2兩圓外切.
在△O1O2F2中，∠O1F2O2=∠O1F2G+∠O2F2G=12∠AF2F1+∠BF2F1=90°，
即O1O2⊥F2G，
∴∠GO1F2=∠F2O1O2，∠O1GF2=∠O1F2O2=90°，所以，△O1GF2∽△O1F2O2，
所以，O1GO1F2=O1F2O1O2，則O1F22=O1G?O1O2，
所以F2G2=O1F22-O1G2=O1G?O1O2-O1G2=O1G?O2G，
即c-a2=r1?r2，
由題意可得：c-a2≤16a2，可得c-a≤4a，即a0-2k1-k2>0-21-k2>0，解得10)的離心率為5，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(ba,cb)，則直線OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．不確定
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出b,c，進(jìn)而求出直線OE的斜率，再與漸近線的斜率比較即可得解.
【詳解】由雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率為5，得a2+b2a=5，則ba=2，cb=52，
因此點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,52)，雙曲線C的漸近線斜率為±2，而直線OE的斜率kOE=54∈(-2,2)，
所以直線OE與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故選：C
變式2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線C:x29-y216=1，過點(diǎn)P3,3作直線l，使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線l共有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】D
【分析】結(jié)合雙曲線的性質(zhì)與點(diǎn)P位置，畫出對應(yīng)圖形即可得.
【詳解】易知雙曲線的焦點(diǎn)F1-5,0,F25,0，頂點(diǎn)A3,0，漸近線為y=±43x，
由P3,3可得該點(diǎn)在雙曲線右頂點(diǎn)上方，
易得過P點(diǎn)與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線中，
有兩條和雙曲線的漸近線分別平行的直線（圖1），
有兩條雙曲線右支的切線（圖2），共4條.
故選：D.
變式3．（23-24高二上·上海·期末）設(shè)雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)2,2，且與y24-x2=1具有相同的漸近線，則經(jīng)過點(diǎn)3,0且與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（ ）條.
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先求出雙曲線C的方程，再分兩類討論直線即可.
【詳解】由題可設(shè)雙曲線C的方程為y24-x2=λ（λ≠0），
將點(diǎn)(2,2)代入上式得：λ=-3，
故雙曲線C的方程為x23-y212=1，顯然其右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為3,0，漸近線方程為y=±2x，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為x=3，符合題意，
當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，即直線方程為y=±2x-3時(shí)，此時(shí)也符合題意，
綜上，這樣的直線共有3條.
故選：D.
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）過點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24-y29=1只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，與漸近線平行以及該點(diǎn)處的切線均只與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)即可求解.
【詳解】當(dāng)x=4時(shí)，164-y29=1，所以y=±33，故點(diǎn)4,33在雙曲線上，
因此過點(diǎn)4,33且與雙曲線的兩條漸近線平行的直線，只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)y=kx-4+33（k≠±32,且k≠0）
將其代入雙曲線方程可得x24-kx-4+3329=1，化簡得14-k29x2+8k2-63k9x-16k2-243k+369=0，
令Δ=8k2-63k92+414-k2916k2-243k+369=0，化簡得k-32=0，
解得k=3，
故過點(diǎn)4,33處的切線也只與雙曲線有唯一的交點(diǎn)，
或者由x24-y29=1得y=±32x2-4，
當(dāng)y>0時(shí)，y=32x2-4，故y'=32×122x1x2-4，故4,33處的切線斜率為y'x=4=32×12×2×4×123=3，
故過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)4,33的直線方程為y=3x-4+33，即y=3x-1，
聯(lián)立x24-y29=1與y=3x-1可得x24-3x-129=1，解得x=4，
因此在點(diǎn)4,33處的切線也只與雙曲線有唯一的交點(diǎn)，
綜上可知：過點(diǎn)4,33的直線有3條與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，
故選：C
變式5．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知雙曲線x2-y23=1，與直線y=kx-k+2只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意的直線個(gè)數(shù)為 ．
【答案】3
【分析】聯(lián)立方程解之可判斷只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的直線條數(shù).
【詳解】解：聯(lián)立x2-y23=1y=kx-k+2，
消去y得(3-k2)x2+(2k2-4k)x-k2+4k-7=0，
當(dāng)3-k2=0，即k=±3時(shí)，
直線y=3x-3+2和直線y=-3x+3+2分別與雙曲線的漸近線平行，
故只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)3-k2≠0時(shí)，由Δ=(2k2-4k)2-4(3-k2)(-k2+4k-7)=0，
可得k=74，此時(shí)直線y=74x+14與雙曲線相切，故只有一個(gè)公共點(diǎn).
故答案為：3
變式6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)P7,5且與雙曲線x27-y225=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 條，它們的方程分別是 ．
【答案】 2 x=7和y=-577x+10
【分析】若直線的斜率不存在，可得直線方程為x=7滿足條件；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y-5=kx-7，代入到雙曲線方程，分二次項(xiàng)系數(shù)為0和判別式等于0討論，即可得到答案．
【詳解】解：若直線的斜率不存在，則直線方程為x=7，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)7,0，滿足條件；
若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y-5=kx-7，
聯(lián)立方程組y=kx+5-7kx27-y225=1，
整理得到25-7k2x2-7×2kx5-7k-75-7k2-7×25=0，
當(dāng)k=577時(shí)，方程無解，不滿足條件；
當(dāng)k=-577時(shí)，方程2×57x×10=875有一解，滿足條件；
當(dāng)k≠±577時(shí)，令Δ=14k5-7k2-425-7k2?-75-7k2-175=0，
解得k=577，此時(shí)恰好為漸近線的斜率，不滿足條件，
所以滿足條件的直線有兩條，直線方程分別為x=7和y=-577x+10．
故答案為：2；x=7和y=-577x+10.
變式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為12，點(diǎn)P1,32在E上．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)W在曲線x2+4y232=x2-4y23上，探究直線AB與雙曲線C1:x2-4y23=1的位置關(guān)系．
【答案】(1)x24+y23=1
(2)相切
【分析】（1）根據(jù)題意列式可求a,b，進(jìn)而可得橢圓方程；
（2）設(shè)l:y=kx+m，Wx0,y0與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，結(jié)合題意可得4m2=4k2-3，再聯(lián)立直線l與雙曲線方程分析判斷位置關(guān)系，注意討論直線l的斜率是否存在.
【詳解】（1）由于橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為32，故ca=32，
又a2=b2+c2，得3a2=4b2，設(shè)所求橢圓方程為3x24b2+y2b2=1，
把點(diǎn)P1,32代入，得b2=3,a2=4，
橢圓方程為x24+y23=1．
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，若直線l斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，
因?yàn)閥=kx+m,x24+y23=1,得3+4k2x2+8kmx+4m2-12=0，
所以x1+x2=-8km3+4k2，
所以x1+x22=-4km3+4k2，y1+y22=kx1+x2+2m2=3m3+4k2，
設(shè)Wx0,y0，所以x0=-4km3+4k2，y0=3m3+4k2，所以x02=16k2m23+4k22，y02=9m23+4k22，
所以x02+4y023=m212+16k23+4k22=4m23+4k2，
同理x02-4y023=m216k2-123+4k22=4m24k2-33+4k22，
因?yàn)閃在曲線x2+4y232=x2-4y23上，
所以4m23+4k22=4m24k2-33+4k22，解得4m2=4k2-3，
又因?yàn)閥=kx+m,x2-4y23=1,得3-4k2x2-8kmx-4m2-3=0，
所以Δ=123+4m2-4k2=0，直線AB與C1相切，
若直線l斜率不存在，由對稱性知W在x軸上，W在曲線x2+4y232=x2-4y23，
所以W±1,0，此時(shí)也有直線AB與C1相切，
綜上知直線AB與C1相切．
變式8.（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線x2-y22=1在點(diǎn)2,2處的切線方程；
（2）已知P1,1是雙曲線外一點(diǎn)，過P引雙曲線x2-y22=1的兩條切線PA,PB，A，B為切點(diǎn)，求直線AB的方程．
【答案】（1）2x-y-2=0；（2）2x-y-2=0.
【分析】
（1）由雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分別表示出直線PA,PB的方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
（1）由雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0上一點(diǎn)Px0,y0處的切線方程為xx0a2-yy0b2=1，
所以雙曲線x2-y22=1在點(diǎn)2,2處的切線方程為2x-22y=1，
化簡可得2x-y-2=0.
（2）設(shè)切點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2，則PA:xx1-yy12=1，PB:xx2-yy22=1，
又點(diǎn)P1,1在直線上，代入可得x1-y12=1，x2-y22=1，
所以點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,y2均在直線x-y2=1上，
所以直線AB的方程為x-y2=1，即2x-y-2=0.
【方法技巧與總結(jié)】
將直線的方程y=kx+m與雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,a>0,b>0聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.
若即，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)；
若即，
①Δ＞0直線和雙曲線相交直線和雙曲線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
②Δ＝0直線和雙曲線相切直線和雙曲線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；
③Δ＜0直線和雙曲線相離直線和雙曲線相離，無公共點(diǎn)
【題型6：雙曲線弦長問題】
例6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：2x2-y2=2，過點(diǎn)P1,2的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長MN= .
【答案】42
【分析】設(shè)直線MN為y-2=k(x-1)，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長公式求解即可.
【詳解】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過P(1,2)的直線MN為y-2=k(x-1)，
聯(lián)立y-2=k(x-1)2x2-y2=2，得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k4-4k+6)=0，
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1+x2=-2k(k-2)2-k2=2xP，
所以-2k(k-2)2-k2=2，解得k=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
則x1+x2=2，x1x2=-3.
弦長MN=1+k2?(x1+x2)2-4x1x2=2?4+12=42.
故答案為：42.
變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知離心率為5的雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為右支上的一點(diǎn)，若PF2=2a，則S△PF1F2=（ ）
A．8a2B．4a2C．42a2D．43a2
【答案】B
【分析】由離心率得F1F2=2c=25a，利用雙曲線定義可得PF1=4a，由勾股定理逆定理可知△PF1F2為直角三角形進(jìn)而得面積.
【詳解】由題意可知e=ca=5，所以F1F2=2c=25a，
由雙曲線定義可得PF1-PF2=2a，則PF1=4a，
則PF12+PF22=F1F22，
所以△PF1F2為直角三角形，
所以S△PF1F2=12PF1?PF2=4a2．
故選：B.
變式2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F，過F作PF垂直于一條漸近線，垂足為P，若點(diǎn)P,Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則S△PQF= ．
【答案】25
【分析】由雙曲線方程得出F3,0,a=2,b=5,c=3，漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求得PF，再計(jì)算S△PQF即可．
【詳解】由題可得F3,0,a=2,b=5,c=3，漸近線方程為y=±52x，
不妨取y=52x，即5x-2y=0，
所以PF=355+4=5=b,PQ=2PO=2a=4，
所以S△PQF=12×4×5=25，
故答案為：25．
變式3.（23-24高二上·湖北孝感·階段練習(xí)）已知雙曲線M與雙曲線N：x26-y23=1有共同的漸近線．
(1)若M經(jīng)過拋物線y=-x2+8x-14的頂點(diǎn)，求雙曲線M的方程；
(2)若雙曲線M的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為M上的一點(diǎn)，且PF1=PF2+10，求雙曲線M的方程．
【答案】(1)x28-y24=1
(2)x225-y2252=1或y225-x250=1
【分析】（1）首先利用共漸近線方程，設(shè)出曲線M，再代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；
（2）根據(jù)雙曲線的定義求2a，再分焦點(diǎn)的位置，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）依題意可設(shè)M的方程為x26-y23=λλ≠0．
拋物線y=-x2+8x-14=-x-42+2，頂點(diǎn)為4,2，
將4,2代入M的方程，得λ=43，則M的方程為x28-y24=1．
（2）由題意易知PF1-PF2=10=2a，a=5．
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，λ>0，可設(shè)雙曲線M的方程為x26λ-y23λ=1，則6λ=25，3λ=252，
則雙曲線M的方程為x225-y2252=1．
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，λ0，即直線y=x-3與雙曲線C相交，滿足條件.
所以直線AB的方程為y=x-3.
（2）由（1）知，直線AB的方程為y=x-3，
聯(lián)立方程組y=x-3x24-y2=1，整理得3x2-24x+40=0，
則Δ>0，且x1+x2=8,x1x2=403，
所以A,B兩點(diǎn)間的距離為：AB=1+12x2-x1=2x1+x22-4x1x2=2?64-4×403=833.
變式6．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=±22x.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=42，求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】(1)x22-y2=1
(2)m=±3.
【分析】（1）由雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=±22x，得c=3，ba=22，由此能求出雙曲線方程；
（2）聯(lián)立方程組x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，利用韋達(dá)定理、弦長公式、根的判別式能求出結(jié)果.
【詳解】（1）雙曲線C與橢圓x24+y2=1有公共焦點(diǎn)，其漸近線方程為y=±22x，
設(shè)雙曲線的方程x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知得c=3，ba=22，所以a=2，b=1.
所以雙曲線方程為x22-y2=1.
（2）直線y=x+m與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB=42，
聯(lián)立方程組x22-y2=1y=x+m，得x2+4mx+2m2+2=0，
當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
x1+x1=-4m，x1?x1=2m2+2.
所以AB=2x1-x2=2x1+x22-4x1x2=2×(-4m)2-42m2+2
令2×(-4m)2-42m2+2=42，解得m=±3.
經(jīng)檢驗(yàn)Δ>0符合題意，所以m=±3.
變式7．（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(3,2)在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若直線l與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn)，且OM?ON=0，求|MN|的最小值．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)22
【分析】（1）依題意可得ba=23a2-4b2=1，解得a2、b2，即可得解；
（2）解法一：設(shè)Mx1,y1, Nx2,y2，直線l的方程為x=ty+mt≠±22，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由OM?ON=0整理得到m2=2t2+1，即可表示出MN2，從而求出其最小值；
解法二：設(shè)OM:y=kx，ON:y=-1kx，聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可求出xM2、yM2，即可得到OM2，同理得到ON2，從而得到1|OM|2+1|ON|2=12，再由基本不等式計(jì)算可得.
【詳解】（1）由雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x，且雙曲線過P(3,2)，
所以ba=23a2-4b2=1，解得a2=1b2=2，
故雙曲線C的方程為x2-y22=1.
（2）解法一：設(shè)Mx1,y1, Nx2,y2，直線l的方程為x=ty+mt≠±22，
聯(lián)立x=ty+mx2-y22=1，得2t2-1y2+4tmy+2m2-1=0，
則y1+y2=-4tm2t2-1y1y2=2m2-12t2-1，且Δ=m2+2t2-1>0，
由OM?ON=0，即x1x2+y1y2=0，即ty1+mty2+m+y1y2=0，
即t2+1y1y2+tmy1+y2+m2=0，
即t2+12m2-12t2-1-4t2m22t2-1+m2=0，整理得m2=2t2+1，
所以MN2=x1-x22+y1-y22
=ty1-ty22+y1-y22
=t2+1y1-y22
=t2+1y1+y22-4y1y2
=t2+1-4tm2t2-12-8m2-12t2-1
=81+t2m2+2t2-12t2-12
=81+9t22t2-12≥8，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號成立，
故MN的最小值為22.
方法二：由題意知直線OM,ON的斜率存在且不等于0，
設(shè)OM:y=kx，ON:y=-1kx，
由-20,b>0)的左焦點(diǎn)F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，滿足F1B=3F1A，設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則直線OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）斜率的最小值是（ ）
A．26B．3C．43D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得tanθ=e2-42，然后利用點(diǎn)差法可得kABkOM=b2a2，進(jìn)而可得kOM=2e2-1e2-4，然后利用基本不等式即得.
【詳解】首先證明：雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的任意點(diǎn)Px0,y0到左焦點(diǎn)F1-c,0與左準(zhǔn)線x=-a2c的距離之比為常數(shù)e（離心率）.
依題意x02a2-y02b2=1，則點(diǎn)Px0,y0到直線x=-a2c的距離d=a2c+x0，
所以PF1=x0+c2+y02，則PF1d=x0+c2+y02a2c+x0 =x02+2cx0+c2+b2x02a2-1a2c+x0=a+cax0aca+cax0=ca=e.
由題可知A在左支上B在右支上，如圖，設(shè)∠AF1O=θ，A,B在左準(zhǔn)線上的射影為A1,B1，因?yàn)镕1B=3F1A，
則csθ=BB1+AA1AB=BF1+AF1eBF1-AF1=2e且e>2，所以tanθ=e2-42，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，則x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，y1-y2x1-x2?y1+y2x1+x2=y1-y2x1-x2?y0x0=b2a2，即kABkOM=b2a2，
所以kABkOM=kOMtanθ=kOM?e2-42=b2a2=e2-1，
所以kOM=2e2-1e2-4=2e2-4+3e2-4≥43，當(dāng)且僅當(dāng)e2-4=3e2-4即e=7時(shí)，等號成立，
故選：C.
變式1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線l:y=x+2與雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M1,3是弦AB的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（ ）
A．2B．2C．3D．3
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法可求a,b的關(guān)系，從而可求雙曲線的離心率.
【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則x12a2-y12b2=1，且x22a2-y22b2=1，
所以x12-x22a2-y12-y22b2=0，整理得到：x1-x2x1+x2a2=y1-y2y1+y2b2，
因?yàn)镸1,3是弦AB的中點(diǎn)，
所以x1+x2=2,y1+y2=6,y1-y2x1-x2=1，所以2a2=6b2即b2a2=3
所以e=1+b2a2=2，
故選：A.
變式2．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知直線l過雙曲線C：x2-y24=1的左焦點(diǎn)F，且與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，若△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，則直線l的斜率為（ ）
A．±102B．±132C．±133D．±63
【答案】D
【分析】利用點(diǎn)差法求得直線AB,OP斜率的關(guān)系式，然后利用二倍角公式列方程來求得正確答案.
【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，x12-y124=1x22-y224=1，
兩式相減并化簡得y1+y2x1+x2?y1-y2x1-x2=4，即kOP?kAB=4,kOP=4kAB，
當(dāng)kAB>0時(shí)，設(shè)直線AB的傾斜角為α，
△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，所以∠POx=2α，
所以kOP=tan2α=2tanα1-tan2α，
則4kAB=2kAB1-kAB2,kAB2=23,kAB=63.
根據(jù)對稱性可知，當(dāng)kAB0,b>0上的三點(diǎn)，直線AB,AC,BC的斜率分別是k1,k2,k3，點(diǎn)D,E,F分別是線段AB,AC,BC的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD,OE,OF的斜率分別是k1',k2',k3'，若1k1'+1k2'+1k3'=5，則k1+k2+k3= ．
【答案】15
【分析】由點(diǎn)差法得到k1k1'=b2a2=3，同理得到k2k2'=3,k3k3'=3，從而得到k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15.
【詳解】因?yàn)殡p曲線Γ的離心率為2，所以ba=3，
不妨設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0，
因?yàn)辄c(diǎn)A,B在Γ上，所以x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1，兩式相減，
得x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2，
因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0，
所以y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2，即y0y1-y2x0x1-x2=b2a2，
所以k1k1'=y1-y2x1-x2?y0-0x0-0=b2a2=3，同理k2k2'=3,k3k3'=3，
因?yàn)?k1'+1k2'+1k3'=5，所以k1+k2+k3=3k1'+3k2'+3k3'=15．
故答案為：15
變式6.（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知雙曲線Γ：x24-y2=1的左右頂點(diǎn)分別為A1、A2．
(1)求以A1、A2為焦點(diǎn)，離心率為12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l過點(diǎn)C1,1與雙曲線Γ交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)C恰為弦AB的中點(diǎn)，求出直線l的方程；
【答案】(1)x216+y212=1.
(2)x-4y+3=0.
【分析】（1）根據(jù)題意可求得橢圓焦點(diǎn)A1-2,0，A22,0，再結(jié)合離心率為12，求出a2,b2得解；
（2）利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率進(jìn)而求出直線方程；
【詳解】（1）由題意可得，A1-2,0，A22,0，則c=2，
又e=ca=12，∴a=4,b2=a2-c2=12，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y212=1.
（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，點(diǎn)C恰為弦AB的中點(diǎn)，則x1+x2=2，y1+y2=2，
又因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在雙曲線上，
可得x124-y12=1x224-y22=1，兩式相減得x12-x224-(y12-y22)=0，
化簡整理得x1+x24(y1+y2)=y1-y2x1-x2=14，即kAB=14，
所以直線l的方程為y-1=14(x-1)，即x-4y+3=0，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.
變式7.（23-24高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程是y=±2x，實(shí)軸長為2.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M3,2，求直線l的斜率.
【答案】(1)x2-y24=1
(2)6
【分析】（1）利用漸近線方程、實(shí)軸長求出a,b可得答案；
（2）設(shè)直線l的方程為y-2=kx-3，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程是y=±2x，實(shí)軸長為2，
所以a=1,ba=2，b=2，
所以雙曲線C的方程為x2-y24=1；
（2）雙曲線的漸近線方程為y=±2x，由雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性可知，
若線段AB的中點(diǎn)為M3,2，則直線l的斜率存在，
設(shè)為k，且k≠±2，k≠0，
可得直線l的方程為y-2=kx-3，
與雙曲線方程聯(lián)立y-2=kx-3x2-y24=1，
可得4-k2x2+6k2-4kx-9k2+12k-8=0，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則x1+x2=-6k2-4k4-k2=6，
解得k=6，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
變式8.（2024高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)P4,1的直線l與雙曲線x24-y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．
【答案】x-y-3=0
【分析】由“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程求解即可.
【詳解】解：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則x124-y12=1，x224-y22=1，
兩式相減得14x1+x2x1-x2-y1+y2?y1-y2=0．
∵P為線段AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=8，y1+y2=2．
∴y1-y2x1-x2=1，即所求直線l的斜率為1，
∴直線l的方程為y-1=x-4，即x-y-3=0．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
【方法技巧與總結(jié)】
雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：
設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有
證明：設(shè)，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，
所以： ， 所以
【題型8：解答題】
例8．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知雙曲線一條漸近線方程為5x-2y=0，且點(diǎn)-22,5在雙曲線上.
(1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，
(2)若雙曲線的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求PA1?PF2的最小值.
【答案】(1)x24-y25=1;
(2)-4.
【分析】（1）利用漸近線方程巧設(shè)雙曲線方程，再由待定系數(shù)法即可求解；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）由雙曲線一條漸近線方程為5x-2y=0，可以該雙曲線方程為5x2-4y2=λ,λ≠0，
由點(diǎn)-22,5在雙曲線上，可得5×8-4×5=λ，即λ=20，
所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y25=1.
（2）由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y25=1可知：左頂點(diǎn)A1的坐標(biāo)為-2,0，右焦點(diǎn)為F2的坐標(biāo)3,0，
可設(shè)雙曲線右支上任意一點(diǎn)Pm,n，且m≥2，則PA1=-2-m,-n,PF2=3-m,-n，
所以PA1?PF2=-2-m,-n?3-m,-n=m2-m-6+n2，
又因?yàn)镻m,n滿足雙曲線方程，則m24-n25=1，
所以PA1?PF2=m2-m-6+n2=m2-m-6+5m24-5=9m24-m-11，
由于二次函數(shù)y=9m24-m-11的對稱軸是m=29，
所以當(dāng)m≥2，y=9m24-m-11單調(diào)遞增，
即當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)y=9m24-m-11有最小值-4，
所以PA1?PF2的最小值是-4.
變式1．（22-23高二上·全國·期中）已知雙曲線C1過點(diǎn)(-4,32)且與雙曲線C2:x22-y23=1有共同的漸近線，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是C1的左、右焦點(diǎn)．
(1)求C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P是C1上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求PF1?PF2的取值范圍．
【答案】(1)x24-y26=1
(2)(-6,+∞)
【分析】（1）由共漸近線方程設(shè)法將點(diǎn)代入直接求解；
（2）向量坐標(biāo)化，由點(diǎn)在雙曲線上化簡整理為二次函數(shù)求得范圍.
【詳解】（1）由題意可設(shè)C1的方程為x22-y23=λ(λ≠0)，
將(-4,32)代入可得，162-183=λ，解得λ=2，
∴ C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y26=1．
（2）設(shè)P(x,y)，則y2=6x24-1，
∵點(diǎn)P在第一象限，∴x>2，且F1(-10,0)，F(xiàn)2(10,0)，
∴ PF1?PF2=(-10-x,-y)?(10-x,-y)=x2-10+y2=52x2-16∈(-6,+∞)，
∴ PF1?PF2的取值范圍是(-6,+∞)．
變式2．（23-24高二上·四川雅安·階段練習(xí)）已知曲線C的方程為x-102+y2-x+102+y2=2．
(1)說明C為何種圓雉曲線，并求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知直線y=x-4與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的一條漸近線交于D點(diǎn)，且D在第四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA?OD+OB?OD．
【答案】(1)C是以10,0，-10,0為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，x2-y29=1
(2)26
【分析】（1）結(jié)合雙曲線的定義即可求解；（2）應(yīng)用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)閤-102+y2-x+102+y2=20，b>0），則c=10，a=1，b=3，
所以C的方程為x2-y29=1．
（2）由（1）可得C的漸近線方程為y=±3x，
由y=-3x,y=x-4,得x=1,y=-3,即D1,-3．
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由y=x-4,x2-y29=1得8x2+8x-25=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=-1,x1x2=-258,
則OA?OD+OB?OD=x1+x2-3y1+y2=x1+x2-3x1-4+x2-4=26
變式3．（22-23高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知命題p：方程x22m+y29-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線y25-x2m=1的離心率e∈52,2．
(1)若命題q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)0,3；
(2)0,54∪3,5.
【分析】（1）根據(jù)橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征列不等式組求解可得；
（2）分別記p，q為真時(shí)m的取值范圍為集合A,B，然后由p和q一真一假，利用集合運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）若方程x22m+y29-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則2m09-m>0，
解得00）經(jīng)過點(diǎn)2,2，且其離心率為5．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)雙曲線C的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，C的一條漸近線上有一點(diǎn)P，滿足PF2恰好垂直于這條漸近線，求△PF1F2的面積．
【答案】(1)x2-y24=1
(2)2
【分析】（1）根據(jù)所給條件得到關(guān)于a、b、c的方程組，解得a2、b2，即可求出雙曲線方程；
（2）首先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用距離公式求出PF2，由勾股定理求出OP，即可求出S△OPF2，從而得解.
【詳解】（1）依題意可得2a2-4b2=1e=ca=5c2=a2+b2，解得a2=1b2=4c2=5，
所以雙曲線方程為x2-y24=1.
（2）由（1）可知左，右焦點(diǎn)分別為F1-5,0，F(xiàn)25,0，
雙曲線的漸近線為y=±2x，
不妨取其中一條漸近線為y=2x，
則F2到直線y=2x的距離d=PF2=2522+-12=2，
所以O(shè)P=OF22-PF22=52-22=1，
所以S△OPF2=12×1×2=1，
又S△OPF2=S△OPF1，所以S△PF1F2=2S△OPF2=2.
變式6．（23-24高二下·貴州六盤水·期末）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1過點(diǎn)M3,4，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線MA與直線MB的斜率之和為3．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過雙曲線右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線右支于P，Q（P在第一象限）兩點(diǎn)，PF2=3F2Q，E是雙曲線上一點(diǎn)，△PQE的重心在x軸上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)x2-y22=1
(2)E-3459,-4339或E3459,-4339
【分析】（1）首先表示出左右頂點(diǎn)，由斜率公式求出a2，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程求出b2，即可得解；
（2）設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線l的方程為x=ty+3，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由PF2=3F2Q得到y(tǒng)1=-3y2，即可求出y2，即可求出yE=2y2，從而求出xE，即可得解.
【詳解】（1）依題意左、右頂點(diǎn)分別為A-a,0，Ba,0，
所以kMA+kMB=43+a+43-a=249-a2=3，解得a2=1，
將M3,4代入x2-y2b2=1得9-16b2=1，解得b2=2，
故雙曲線方程為x2-y22=1；
（2）設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，直線l的方程為x=ty+3，
將x=ty+3代入2x2-y2=2整理得(2t2-1)y2+43ty+4=0，Δ=16t2+1>0，
∴y1+y2=-43t2t2-1，y1y2=42t2-1，又由PF2=3F2Q?y1=-3y2，
代入上式得-2y2=-43t2t2-1-3y22=42t2-1，解得t2=111，-3y22=42t2-1=-449?y2=-4427，
因?yàn)椤鱌QE的重心在x軸上，所以yE+y1+y2=0，
所以yE=2y2=-4339，代入雙曲線得xE=±3459，
故E-3459,-4339或E3459,-4339．
變式7．（23-24高二下·上海·階段練習(xí)）如圖:雙曲線Γ:x23-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作直線l交y軸于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)直線l平行于Γ的斜率大于0的漸近線l1時(shí)，求直線l與l1的距離；
(2)當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，在Γ的右支上是否存在點(diǎn)P，滿足F1P?F1Q=0?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由;
【答案】(1)1
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）首先得到雙曲線的漸近線方程及直線l的方程，再由兩平行線間解距離公式計(jì)算可得；
（2）先根據(jù)斜率求出直線l的方程，從而得點(diǎn)Q，再設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)F1P?F1Q=0得出點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，與雙曲線聯(lián)立消去y，由韋達(dá)定理即可解答.
【詳解】（1）雙曲線Γ:x23-y2=1，焦點(diǎn)在x軸上，a=3,b=1,c=3+1=2，
則雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為F1-2,0，F(xiàn)22,0，漸近線方程為y=±33x，
當(dāng)直線l平行于Γ的斜率大于0的漸近線l1時(shí)，則直線l的方程為y=33x-2，即x-3y-2=0，
又漸近線l1為x-3y=0，
所以直線l與l1的距離d=-2-012+-32=1.
（2）不存在，理由如下：
當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，直線方程為y=x-2，因此Q0,-2，
又F1-2,0，所以F1Q=2,-2，
設(shè)Γ的右支上的點(diǎn)P(x,y)(x>3)，則F1P=(x+2,y)，
由F1P?F1Q=0得2(x+2)-2y=0，
又x23-y2=1，聯(lián)立消去y得2x2+12x+15=0，
因?yàn)棣?122-4×2×15>0，但是x1+x2=-6，x1x2=152，所以此方程無正根，
因此，在Γ的右支上不存在點(diǎn)P，滿足F1P?F1Q=0.
變式8．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知圓M：x+52+y2=9的圓心為M，圓N：x-52+y2=1的圓心為N，一動圓與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C．
(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；
(2)已知點(diǎn)P2,0，不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且PA?PB=0．直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)直線l恒過定點(diǎn)，(103，0)
【分析】（1）根據(jù)題意利用圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義，即可證明結(jié)論；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+t，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出PA?PB的表達(dá)式，化簡PA?PB=0，即可求得t的值，即可求得答案.
【詳解】（1）證明：由題意知圓M：x+52+y2=9的圓心為M(-5,0)，圓N：x-52+y2=1的圓心為N(5,0)
如圖，設(shè)圓E的圓心為E(x,y)，半徑為r，
由題可得圓M半徑為3，圓N半徑為1，則|EM|=r+3，|EN|=r-1，
所以|EM|-|EN|=40,
設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，其中x1≥2，x2≥2，
由韋達(dá)定理得：y1+y2=-2mtm2-4，y1y2=t2-4m2-4，
又點(diǎn)P(2,0)，所以PA?=(x1-2, y1)，PB?=(x2-2, y2)，
因?yàn)镻A?PB=0，所以(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，
則(my1+t-2)(my2+t-2)+y1y2=(m2+1)y1y2+(mt-2m)(y1+y2)+(t-2)2
=(m2+1)(t2-4)-2mt(mt-2m)+(t-2)2(m2-4)m2-4=0，
即3t2-16t+20=0，解得t=103（t=2舍去），
當(dāng)t=103，直線l的方程為x=my+103，m≠±12，
故直線l恒過點(diǎn)(103，0)．
一、單選題
1．（24-25高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）方程x2-23x+1=0的兩個(gè)根可分別作為（ ）
A．橢圓和雙曲線的離心率B．兩雙曲線的離心率
C．兩橢圓的離心率D．以上皆錯
【答案】A
【分析】求出方程的根，根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率取值范圍得到.
【詳解】由方程x2-23x+1=0解得，
x=23±222=3±2，因?yàn)闄E圓的離心率為(0,1)，雙曲線的離心率為(1,+∞)，
故可以作為雙曲線和橢圓的離心率.
故選：A
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知雙曲線mx2-y2=1的實(shí)軸長為1，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±2xD．y=±22x
【答案】A
【分析】由實(shí)軸長可列方程求得參數(shù)m的值，進(jìn)一步即可求得漸近線方程.
【詳解】由題可知雙曲線的實(shí)軸長為21m，則21m=1，解得m=4，所以該雙曲線的漸近線方程為y=±2x．
故選：A.
3．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）南非雙曲線大教堂是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線y2a2-x2b2=1a>0,b>0下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，離心率為2，則該雙曲線的方程為（ ）
A．y212-x24=1B．3y24-x24=1C．x24-y24=1D．y216-x24=1
【答案】B
【分析】由題意根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式、離心率公式和平方關(guān)系即可求出a2,b2，由此即可得解.
【詳解】設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為(0,-c)，一條漸近線方程為y=abx，即ax-by=0，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離-bca2+b2=2，因?yàn)閑=ca=2,a2+b2=c2，
聯(lián)立解得a2=43,b2=4，
∴雙曲線方程為：3y24-x24=1.
故選：B.
4．（23-24高二下·廣西桂林·期末）雙曲線x2-y23=1的離心率為（ ）
A．12B．2C．2D．22
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出a,c即可得解.
【詳解】由雙曲線x2-y23=1知，a2=1,b2=3，
所以c2=a2+b2=4，
所以e=ca=21=2.
故選：B
5．（23-24高二下·四川達(dá)州·期末）已知雙曲線C:x23-y24=1的左頂點(diǎn)為A1，右焦點(diǎn)為F2，虛軸長為m，離心率為e，則（ ）
A．A1-3,0B．F21,0C．m=2D．e=213
【答案】D
【分析】由雙曲線的方程可求得a=3,b=2,c=7，計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.
【詳解】由雙曲線C:x23-y24=1，可得a2=3,b2=4，所以a=3,b=2,c=3+4=7，
所以雙曲線的左頂點(diǎn)A1(-3,0)，右焦點(diǎn)F2(7,0)，故AB錯誤；
虛軸長m=2b=4，故C錯誤；
離心率e=73=213，故D正確.
故選：D.
6．（23-24高二上·安徽阜陽·期末）若雙曲線x2m2+1-y2=1的實(shí)軸長為4，則正數(shù)m=（ ）
A．3B．2C．94D．72
【答案】A
【分析】依題意可得2m2+1=4，解得即可.
【詳解】由雙曲線實(shí)軸長為4，有2m2+1=4，又m>0，
∴m=3.
故選：A.
7．（23-24高二下·全國·隨堂練習(xí)）已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為54，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．y=±2xB．y=±12xC．y=±43xD．y=±34x
【答案】D
【分析】運(yùn)用離心率公式結(jié)合漸近線方程可解.
【詳解】由題知，e=ca=1+ba2=54，解得ba=34，
又雙曲線x2a2-y2b2=1的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為y=±34x.
故選：D
8．（24-25高二上·全國·隨堂練習(xí)）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是（ ）
A．x2-y2=8B．x2-y2=4
C．y2-x2=8D．y2-x2=4
【答案】A
【分析】由題意可求出直線3x-4y+12=0與x軸的交點(diǎn)，得到雙曲線的焦點(diǎn)，再根據(jù)條件雙曲線為等軸雙曲線即可得出結(jié)論．
【詳解】解：令y=0 ，得x=-4，
又∵雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，
∴等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為-4,0，
即c=4，
∴a2=b2=12c2=8，
故等軸雙曲線的方程為x2-y2=8.
故選：A.
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知雙曲線C：x2m-y2m+3=1，則“m=3”是“雙曲線C的離心率為3”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線離心率為3，可得m=-6或m=3，即可由充分不必要條件求解.
【詳解】C：x2m-y2m+3=1的離心率為3時(shí)，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，3=2m+3m，解得m=3，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸時(shí)，3=-2m-3-m-3，解得m=-6，
故“m=3”是“雙曲線C的離心率為3”的充分不必要條件，
故選：B
二、多選題
10．（22-23高三上·海南儋州·開學(xué)考試）已知橢圓的方程為x225+y29=1，雙曲線的方程為y28-x28=1，則（ ）
A．雙曲線的一條漸近線方程為y=x
B．橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)
C．橢圓的離心率e=45
D．橢圓和雙曲線的圖像有4個(gè)公共點(diǎn)
【答案】ACD
【分析】根據(jù)橢圓方程求得a1=5,b1=3,c1=4，雙曲線方程求得a2=b2=22,c2=4，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，結(jié)合橢圓和雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對于橢圓的方程為x225+y29=1，可得a1=5,b1=3,c1=a12-b12=4，
對于雙曲線的方程為y28-x28=1，可得a2=22,b2=22,c2=a22+b22=4，
且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
對于選項(xiàng)A：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±a2b2x=±x，
所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x，故A正確；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，
所以橢圓和雙曲線不共焦點(diǎn)，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：橢圓的離心率e=c1a1=45，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)閍20，則C是圓，其半徑為nn
B．若m>0，n=0，則C是兩條直線
C．若n>m>0時(shí)，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
D．若mn0， x2+y2=1n，則C是圓，半徑為nn，故A正確；
對于B，若m>0，n=0時(shí)，x=±1m，則C是兩條直線，故B正確；
對于C，若n>m>0時(shí)，x21m+y21n=1，則1m>1n>0，則C為焦點(diǎn)在x軸的橢圓，故C錯誤；
對于D，若mn0）的右焦點(diǎn)為F(2,0)，則 W的離心率為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，得出b2=3,c=2，計(jì)算得出a=1,最后得出離心率.
【詳解】由題意可得雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，且b2=3,c=2，
則a2=c2-b2=4-3=1，由a>0得a=1，
故W的離心率e=ca=21=2.
故答案為：2.
14．（24-25高二上·廣西柳州·階段練習(xí)）在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸與虛半軸平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫雙曲線的蒙日圓.過雙曲線W:x23-y2=1的蒙日圓上一點(diǎn)P作W的兩條切線，與該蒙日圓分別交于A,B兩點(diǎn)，若∠PAB=30°，則△PAB的周長為 .
【答案】32+6/6+32
【分析】結(jié)合雙曲線方程求出a與b，由蒙日圓定義可得圓的方程，再由切線互相垂直可得AB為直徑，解直角三角形可得.
【詳解】由雙曲線W:x23-y2=1可知，a=3,b=1.
則W的蒙日圓圓心為(0,0)，半徑為2，其蒙日圓方程為x2+y2=2，
由已知可得PA⊥PB，
所以AB為圓的直徑，所以AB=22.
又∠PAB=30°，所以PB=12AB=2,PA=(22)2-(2)2=6.
所以△PAB的周長為32+6.
故答案為：32+6.
15．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線C：x24-y2m=1m>0的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】4,+∞
【分析】根據(jù)題意可知雙曲線C的離心率大于等軸雙曲線的離心率，進(jìn)而列出不等式求解即可.
【詳解】∵等軸雙曲線的離心率為2，且雙曲線C的開口比等軸雙曲線的開口更開闊，
∴雙曲線C：x24-y2m=1的離心率e>2，則e2>2，即4+m4>2，
∴m>4．
故答案為：(4,+∞).
四、解答題
16．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線x2-y2=4，直線l:y=k(x-1)，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍，使：
(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn)．
【答案】(1)-233