蘇科版九年級(jí)上冊(cè)2.2 圓的對(duì)稱性學(xué)案及答案

這是一份蘇科版九年級(jí)上冊(cè)2.2 圓的對(duì)稱性學(xué)案及答案，共7頁(yè)。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點(diǎn)梳理，典型例題，思路點(diǎn)撥，答案與解析等內(nèi)容，歡迎下載使用。
專題2.3  圓的對(duì)稱性（知識(shí)講解） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解圓的對(duì)稱性；2.掌握垂徑定理及其推論；3.利用垂徑定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明. 【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、垂徑定理1.垂徑定理
　　垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
2.推論
　　平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
　　
要點(diǎn)詮釋：
　(1)垂徑定理是由兩個(gè)條件推出兩個(gè)結(jié)論，即
　　
　(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識(shí)點(diǎn)二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對(duì)稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/span>（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.要點(diǎn)詮釋：
     在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑） 【典型例題】類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算與證明　1．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，則DC的長(zhǎng)為（    ）A．5 cm           B．2.5 cm          C．2 cm          D．1 cm                     【思路點(diǎn)撥】        欲求CD的長(zhǎng)，只要求出⊙O的半徑r即可，可以連結(jié)OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA.【答案】D； 【解析】連OA，由垂徑定理知，所以在Rt△AOD中，（cm）．所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.【點(diǎn)評(píng)】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度）構(gòu)成的直角三角形。舉一反三： 【變式】如圖，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圓心O到弦CD 距離。      【答案】．2．（2015?巴中模擬）如圖，AB為半圓直徑，O為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，E是弧AC的中點(diǎn)，OE交弦AC于點(diǎn)D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的長(zhǎng)．【答案與解析】解：∵E為弧AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【點(diǎn)評(píng)】主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度）構(gòu)成的直角三角形.舉一反三： 【變式】已知：如圖，割線AC與圓O交于點(diǎn)B、C，割線AD過圓心O. 若圓O的半徑是5，且，AD=13. 求弦BC的長(zhǎng).     【答案】6. 類型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用3．如圖1，某公園的一座石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24m，拱的半徑為13m，則拱高為（    ）         A．5m            B．8m           C．7m          D．m【思路點(diǎn)撥】        解決此題的關(guān)鍵是將這樣的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即能夠把題目中的已知條件和要求的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的已知條件和問題．【答案】B；【解析】如圖2，表示橋拱，弦AB的長(zhǎng)表示橋的跨度，C為的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O為的圓心，根據(jù)垂徑定理的推論可知，C、D、O三點(diǎn)共線，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，則OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴  OD＝5，∴  CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高為8m．【點(diǎn)評(píng)】在解答有關(guān)弓形問題時(shí)，首先應(yīng)找弓形的弧所在圓的圓心，然后構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用垂徑定理（推論）及勾股定理求解.4． 如圖是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于點(diǎn)E．水位正常時(shí)測(cè)得OE：CD=5：24（1）求CD的長(zhǎng)；（2）現(xiàn)汛期來(lái)臨，水面要以每小時(shí)4m的速度上升，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間橋洞會(huì)剛剛被灌滿？【答案與解析】解：（1）∵直徑AB=26m，∴OD=，∵OE⊥CD，∴，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴設(shè)OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延長(zhǎng)OE交圓O于點(diǎn)F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，∴，即經(jīng)過2小時(shí)橋洞會(huì)剛剛被灌滿．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理等知識(shí)，求陰影部分面積經(jīng)常運(yùn)用求出空白面積來(lái)解決．舉一反三：【變式】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面距拱頂不超過3m時(shí)拱橋就有危險(xiǎn)，現(xiàn)在水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由．
　　　【答案】不需要采取緊急措施
　　　　 設(shè)OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，
　　　　  R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，
　　　　 解得R=34(m).
　　　　 連接OM，設(shè)DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，
　　　　 342=162+(34-x)2，
　　　　 x2-68x+256=0，
　　　　 解得x1=4，x2=64(不合題意，舍)，
　　　　 ∴DE=4m＞3m，
　　　　 ∴不需采取緊急措施．