初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級下冊7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和課后復(fù)習(xí)題

這是一份初中數(shù)學(xué)蘇科版七年級下冊7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和課后復(fù)習(xí)題，共23頁。
?7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和-課后補(bǔ)充習(xí)題分層練

【A夯實基礎(chǔ)】
A1、（2021春?玄武區(qū)校級月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，則∠C＝　 　度．
（2）若∠A=∠B=∠C，則∠B＝　 　度．
A2、已知一個多邊形內(nèi)角和1800度，則這個多邊形的邊數(shù)_____．
A3、若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為3：4：5，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
A4、一個多邊形的每一個外角都是72°，則這個多邊形是正_____邊形．
A5、如圖，桐桐從A點出發(fā)，前進(jìn)3m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)3m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點A時，一共走了（ ）

A．100m B．90m C．54m D．60m
A6、（2020秋?夏津縣期末）如圖，△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　?。?br />
A．59° B．60° C．56° D．22°
A7、如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC的度數(shù)為(　　)

A．118° B．119° C．120° D．121°
A8、BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
A9、如圖，已知ABCD，和的平分線相交于，，求的度數(shù)_____．

A10、（2021·河南·許昌市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上一點，PE⊥AD交BC的延長線于點E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度數(shù)．







【B培優(yōu)綜合】
B11、一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是____．
B12、如圖所示，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A．25° B．30° C．40° D．60°
B13、（2020春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（　?。?br /> A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
B14、（2020春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角三角形ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠A＝45°，則∠ABD+∠ACD的值為（　?。?br />
A．40° B．45° C．50° D．55°
B15、 (21-22陜西寶雞市鳳翔區(qū)八上期末)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E，點F為AC延長線上的一點，連接DF.
(1)求∠CBE的度數(shù)；
(2)若∠F=25°,求證:BE∥DF.


B16、（2021·山東日照·八年級期中）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）探索∠DAE與∠C－∠B的關(guān)系，并說明．






B17、（2021秋?贊皇縣期末）已知如圖1，線段AB，CD相交于O點，連接AD，CB，我們把如圖1的圖形稱之為“8字形”．那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）在圖1中，請寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．







【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陜西寶雞市鳳翔區(qū)八上期末)問題情景：如圖1，在同一平面內(nèi)，點和點分別位于一塊直角三角板的兩條直角邊， 上，點與點在直線的同側(cè)，若點在內(nèi)部，試問，與的大小是否滿足某種確定的數(shù)量關(guān)系？
（1）特殊探究：若，則_________度，________度，_________度；
（2）類比探索：請猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）類比延伸：改變點的位置，使點在外，其它條件都不變，判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出，與滿足的數(shù)量關(guān)系式．

















C19、探究與發(fā)現(xiàn)：（1）如圖（1），在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD．
①若，則　 ?。?br /> ②若，用含有α的式子表示為　 ?。?br /> （2）如圖（2），在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖（3），在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：　 　．














7.5多邊形的內(nèi)角和與外角和-課后補(bǔ)充習(xí)題分層練解析
【A夯實基礎(chǔ)】
A1、（2021春?玄武區(qū)校級月考）在△ABC中，
（1）若∠A：∠B：∠C＝4：5：6，則∠C＝　 　度．
（2）若∠A=∠B=∠C，則∠B＝　 　度．
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及解一元一次方程，牢記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)∠A＝4x°，則∠B＝5x°，∠C＝6x°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入∠C＝6x°中即可求出∠C的度數(shù)；
（2）設(shè)∠A＝y(tǒng)°，則∠B＝2y°，∠C＝3y°，利用三角形內(nèi)角和定理，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，再將其代入∠B＝2y°中即可求出∠B的度數(shù)．
【解答】解：（1）設(shè)∠A＝4x°，則∠B＝5x°，∠C＝6x°，
依題意得：4x+5x+6x＝180，
解得：x＝12，
∴∠C＝6x°＝72°．
故答案為：72．
（2）設(shè)∠A＝y(tǒng)°，則∠B＝2y°，∠C＝3y°，
依題意得：y+2y+3y＝180，
解得：y＝30，
∴∠B＝2y°＝60°．
故答案為：60．


A2、已知一個多邊形內(nèi)角和1800度，則這個多邊形的邊數(shù)_____．
【答案】12
【分析】
設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到，然后解方程即可．
【詳解】
解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n，
依題意得，
∴，
∴．
故答案為：12．

A3、若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為3：4：5，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形
【答案】A
【解析】
解：由題意得，設(shè)三角形的度數(shù)分別為：3x、4x、5x，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：3x+4x+5x=180°，
解得：x=15°，
即，三角形的內(nèi)角分別為：45°、60°、75°；
綜上所述：三角形為銳角三角形．


A4、一個多邊形的每一個外角都是72°，則這個多邊形是正_____邊形．
【答案】五
【分析】
根據(jù)多邊形的外角和等于360°進(jìn)行解答即可得．
【詳解】
解：，
故答案為：五．

A5、如圖，桐桐從A點出發(fā)，前進(jìn)3m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)3m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點A時，一共走了（ ）

A．100m B．90m C．54m D．60m
【答案】C
【解析】
解：由題意可知，當(dāng)她第一次回到出發(fā)點A時，所走過的圖形是一個正多邊形，
由于正多邊形的外角和是360°，且每一個外角為20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一個正18邊形，
因此所走的路程為18×3＝54（m），
故選：C．

A6、（2020秋?夏津縣期末）如圖，△ABC中，AD為△ABC的角平分線，BE為△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　?。?br />
A．59° B．60° C．56° D．22°
【分析】根據(jù)高線的定義可得∠AEC＝90°，然后根據(jù)∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠1，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵BE為△ABC的高，∴∠AEB＝90°
∵∠C＝70°，∠ABC＝48°，∴∠CAB＝62°，
∵AF是角平分線，∴∠1=∠CAB＝31°，
在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°．∴∠3＝∠EFA＝59°，
故選：A．

A7、如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線BE，CD相交于點F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，則∠BFC的度數(shù)為(　　)

A．118° B．119° C．120° D．121°
【答案】C
【詳解】
由三角形內(nèi)角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分線的性質(zhì)得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的內(nèi)角和定理得結(jié)果．
解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分線，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=∠BCA，
∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故選C．

A8、BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠CBP與∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】解：∵CP是∠ACM的角平分線，∠ACP＝90°，
∴∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠ACB＝80°，
∵BP是∠ABC的角平分線，∠ABP＝20°，
∴∠CBP＝∠ABP＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠ACB﹣∠ACP
＝180°﹣20°﹣80°﹣50°
＝30°，
故選：A．

A9、如圖，已知ABCD，和的平分線相交于，，求的度數(shù)_____．

【答案】110°
【分析】
過點E作EH∥AB，然后由AB∥CD，可得AB∥EH∥CD，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等可得∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，然后根據(jù)周角的定義可求∠ABE+∠CDE的度數(shù)；再根據(jù)角平分線的定義求出∠EBF+∠EDF的度數(shù)，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求∠BFD的度數(shù)．
【詳解】
解：過點E作EH∥AB，如圖所示，

∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案為：110°．

A10、（2021·河南·許昌市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上一點，PE⊥AD交BC的延長線于點E，若∠B＝35°，∠ACB＝75°，求∠E的度數(shù)．

【答案】
【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．
根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求得的度數(shù)，利用三角形外角性質(zhì)求得的度數(shù)，從而求得的度數(shù)．
【詳解】
解：∵，，∴，
∵AD平分∠BAC，∴，∴，
∵PE⊥AD，∴，∴．

【B培優(yōu)綜合】

B11、一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和是1620°，則原來多邊形的邊數(shù)是____．
【答案】10，11，12
【分析】
先根據(jù)內(nèi)角和公式求出剪完后多邊形的邊數(shù)，從而可得原來多邊形的邊數(shù)；
【詳解】設(shè)剪去一個角后，形成的多邊形的邊數(shù)為
則
解得
因為一個多邊形截去一個角后，其邊數(shù)可以增加1條、不變、減少1條
所以原來多邊形的邊數(shù)為10或11或12
故答案為：10或11或12；


B12、如圖所示，三角形紙片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，將紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內(nèi)，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A．25° B．30° C．40° D．60°
【答案】D
【解析】
解：在中，，
，
在中，，
四邊形的內(nèi)角和為，
，
即，
解得，
故選：D．



B13、（2020春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B=∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（　?。?br /> A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【分析】根據(jù)直角三角形的判定對各個條件進(jìn)行分析，從而得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C=×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故小題符合題意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小題符合題意；
③∵設(shè)∠C＝x，則∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小題不符合題意；
④設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小題符合題意；
⑤∵∠A＝∠B=∠C，
∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小題符合題意．
綜上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4個．
故選：B．


B14、（2020春?鹽都區(qū)期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角三角形ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C，若∠A＝45°，則∠ABD+∠ACD的值為（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝135°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝90°，進(jìn)而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故選：B．

B15、 (21-22陜西寶雞市鳳翔區(qū)八上期末)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E，點F為AC延長線上的一點，連接DF.
(1)求∠CBE的度數(shù)；
(2)若∠F=25°,求證:BE∥DF.

【答案】（1）∠CBE=65°；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=90°-∠A=50°，由鄰補(bǔ)角定義得出∠CBD=130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE=65°；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠CEB=90°-65°=25°，再根據(jù)∠F=25°，即可得出BE∥DF．
【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°，∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD平分線，∴∠CBE=∠CBD=65°；

（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°-65°=25°．
又∵∠F=25°，∴∠F=∠CEB=25°，
∴DF∥BE．

B16、（2021·山東日照·八年級期中）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）探索∠DAE與∠C－∠B的關(guān)系，并說明．

【答案】(1)∠DAE＝10°．（2）∠DAE＝（∠C?∠B）．
【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠CAB＝180°?∠B?∠C＝100°，再根據(jù)角平分線與高線的定義得到∠CAE＝∠CAB＝50°，∠ADC＝90°，則∠CAD＝90°?∠C＝40°，然后利用∠DAE＝∠CAE?∠CAD計算即可．
（2）根據(jù)題意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，從而可以得到∠DAE與∠C?∠B的關(guān)系．
【詳解】
解：(1)∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠CAB＝180°?∠B?∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分線，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°?∠C＝40°，∴∠DAE＝∠CAE?∠CAD＝50°?40°＝10°．
（2）∠DAE＝（∠C?∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分線，∴∠CAE＝∠CAB＝，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°?∠C，
∴∠DAE＝∠CAE?∠CAD=．
＝=＝（∠C?∠B）．
B17、（2021秋?贊皇縣期末）已知如圖1，線段AB，CD相交于O點，連接AD，CB，我們把如圖1的圖形稱之為“8字形”．那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：
（1）在圖1中，請寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD與∠BOC，再根據(jù)對頂角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點，連接AD，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°可得∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，根據(jù)“8字形”的關(guān)系可得∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，然后即可得解．
【詳解】解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（對頂角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如圖3，
連接AD，則∠BAD+∠B+∠C+∠ADC＝360°，
根據(jù)“8字形”數(shù)量關(guān)系，∠E+∠F＝∠EDA+∠FAD，
所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．


【C拔尖拓展】
C18、 (21-22陜西寶雞市鳳翔區(qū)八上期末)問題情景：如圖1，在同一平面內(nèi)，點和點分別位于一塊直角三角板的兩條直角邊， 上，點與點在直線的同側(cè)，若點在內(nèi)部，試問，與的大小是否滿足某種確定的數(shù)量關(guān)系？
（1）特殊探究：若，則_________度，________度，_________度；
（2）類比探索：請猜想與的關(guān)系，并說明理由；
（3）類比延伸：改變點的位置，使點在外，其它條件都不變，判斷（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請直接寫出，與滿足的數(shù)量關(guān)系式．

【答案】（1）125，90，35；（2）∠ABP+∠ACP=90°-∠A，證明見解析；（3）結(jié)論不成立．∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB，然后即可得出∠ABP+∠ACP；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，即可得出∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
（3）按照（2）中同樣的方法進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，求解即可判定.
【詳解】（1）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-55°=125度，∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-90°=90度，
∠ABP+∠ACP=∠ABC+∠ACB -（∠PBC+∠PCB）=125°-90°=35度；
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A；
證明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A，∴∠ABP+∠ACP=90°-∠A．
（3）判斷：（2）中的結(jié)論不成立．

證明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°-∠A，
∵∠ABC=∠PBC-∠ABP，∠ACB=∠PCB-∠ACP，
∴（∠PBC+∠PCB）-（∠ABP+∠ACP）=180°-∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP-∠ACP=90°-∠A，∠ABP+∠ACP=∠A-90°, 或∠ACP - ∠ABP =90°-∠A．



C19、探究與發(fā)現(xiàn)：（1）如圖（1），在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD．
①若，則　 ?。?br /> ②若，用含有α的式子表示為　 ?。?br /> （2）如圖（2），在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖（3），在六邊形ABCDEF中，DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：　 ?。?br />
【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）
（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°
【解析】
解：（1）①∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°?∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°? （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125°
故答案為：125°；
②∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD
∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°
∴∠ADC＋∠ACD＝180°?∠A
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°? （∠ADC＋∠ACD）
∴∠P＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A=90°＋α
故答案為：∠P＝90°＋α；
（2）∠P＝（∠A＋∠B）
理由如下：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°
∴∠BCD＋∠ADC＝360°?（∠A＋∠B）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠ADC＋∠BCD）
∴∠P＝180°?[360°?（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B）
（3）∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD
∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°
∴∠BCD＋∠EDC＝720°?（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）
∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°
∴∠P＝180°?（∠PDC＋∠PCD）＝180°?（∠EDC＋∠BCD）
∴∠P＝180°? [720°?（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]
∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°
故答案為：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）?180°．