人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.1 導數(shù)的概念及其意義教案設計

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊5.1 導數(shù)的概念及其意義教案設計，共11頁。
   變化率問題教學設計 課題     變化率問題單元第二單元學科數(shù)學年級高二教材分析 《變化率問題》是2019人教A版數(shù)學選擇性必修第二冊第五章的內(nèi)容。本節(jié)課的主要內(nèi)容是平均速度、瞬時速度的概念，曲線割線與切線斜率的概念及求法。 平均變化率是導數(shù)概念建立的核心，它在整個高中數(shù)學中占有及其重要的地位，教材通過分析學生熟悉的“高臺跳水”的生活實例、曲線上某點處切線斜率的問題，給出平均變化率和瞬時變化率的概念。平均變化率是研究瞬時變化率及導數(shù)概念的基礎，在整個導數(shù)學習中具有重要的地位。在概念的形成過程中，進一步滲透從特殊到一般，數(shù)形結合的思想。  教學目標與核心素養(yǎng)1數(shù)學抽象： 平均變化率2邏輯推理： 平均變化率與瞬時變化率的關系3數(shù)學運算： 瞬時速度、切線斜率的求解4數(shù)學建模： 平均變化率5直觀想象： 曲線割線與切線的定義6數(shù)據(jù)分析：通過“平均速度、瞬時速度的求法”，“曲線割線、切線的斜率的求解”的過程， 提升學生獲取有價值信息的意識和能力，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質、關聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗。重點平均速度、瞬時速度的概念及求法，曲線割線與切線的定義及斜率的求法難點平均變化率，曲線割線與切線斜率的概念及兩者之間的關系 教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖導入新課 在必修第一冊中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識定性地研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長速度的差異，知道“對數(shù)增長”是越來越慢，“指數(shù)爆炸”比“直線上升”快得多.進一步地，能否精確定量地刻畫變化速度的快慢呢？下面我們就來研究這個問題.  復習引入      通過對函數(shù)學習的回顧，讓學生了解事物變化的快慢，感受不同函數(shù)變化快慢的問題，引出課題。講授新課 變化率問題問題1  高臺跳水運動員的速度 探究在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系.如何描述運動員從起跳到入水的過程中運動的快慢程度呢？ 顯然，運動員從起跳到入水的過程中，在上升階段運動得越來越慢，在下降階段運動得越來越快. 把整個運動時間段分成許多小段，用運動員在每段時間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運動狀態(tài).例如，在這段時間里，在這段時間里，一般地，在這段時間里， 思考計算運動員在這段時間里的平均速度，你發(fā)現(xiàn)了什么？你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？提示： 所以，在 時間里，平均速度為0. 顯然，這段時間內(nèi)，運動員并不處于靜止狀態(tài).因此，用平均速度不能準確反映運動員在這一時間段里的運動狀態(tài).為了精確刻畫運動員的運動狀態(tài)，需要引入瞬時速度的概念.我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度. 探究瞬時速度與平均速度有什么關系？你能利用這種關系求運動員在t=1 s 時的瞬時速度嗎？ 設運動員在時刻附近某一時間段內(nèi)的平均速度是， 如果不斷縮短這一時間段的長度，那么將越來越趨近于運動員在時刻的瞬時速度.為了求運動員在t=1時的瞬時速度，我們在 t=1之后或之前，任意取一個時刻，是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.當時，在1之后；當時，在1之前.當時，把運動員在時間段內(nèi)近似看成做勻速直線運動，計算時間段內(nèi)的平均速度，用平均速度近似表示運動員在t=1時的瞬時速度.當時，在時間段內(nèi)可作類似處理.為了提高近似表示的精確度，我們不斷縮短時間間隔，得到如下表格（表5.1-1）  觀察給出更多的值，利用計算機工具計算對應的平均速度的值.當無限趨近于0時，平均速度有什么變化趨勢？  我們發(fā)現(xiàn)，當無限趨近于0，即無論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，平均速度都無限趨近于-5.事實上，由可以發(fā)現(xiàn)，當無限趨近于0時，也無限趨近于0，所以無限趨近于-5.這與前面得到的結論一致.把-5叫做“當無限趨近于0時，的極限”記為從物理的角度看，當 時，平均速度就無限趨近于t=1時的瞬時速度.因此，運動員在t=1時的瞬時速度v(1)=-5 m/s . 思考（1）求運動員在t=2 s時的瞬時速度；（2）如何求運動員從起跳到入水過程中在某一時刻的瞬時速度？  提示：（1）（2）  問題2 拋物線的切線的斜率如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？下面我們以拋物線為例進行研究. 探究如何定義拋物線 在點處的切線？ 與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線 在點處的切線，通常在點的附近任取一點，考察拋物線 的割線的變化情況. 觀察如圖5.1-1，當點沿著拋物線 趨近于點時，割線有什么變化趨勢？當點P無限趨近于點時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為拋物線 在點處的切線. 探究我們知道，斜率是確定直線的一個要素.如何求拋物線 在點處的切線的斜率呢？ 從上述切線的定義可見，拋物線 在處的切線的斜率與割線的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.記，則點P的坐標是. 于是，割線的斜率 我們可以用割線的斜率k近似地表示切線的斜率，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔來提高近似表示的精確度，得到如下表格（5.1-2）. 觀察利用計算工具計算更多割線的斜率k的值，當無限趨近于0時，割線的斜率k有什么變化趨勢？ 我們發(fā)現(xiàn)，當無限趨近于0，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線的斜率k都無限趨近于2.事實上，由
 可以直接看出，當無限趨近于0時，無限趨近于2. 我們把2叫做“當無限趨近于0時， 的極限”，記為從幾何圖形上看，當橫坐標間隔無限變小時，點P無限趨近于點，于是割線無限趨近于點處的切線. 這時，割線的斜率k無限趨近于點處的切線的斜率. 因此，切線的斜率. 思考觀察問題1中的函數(shù) 的圖形（圖5.1-2），平均速度的幾何意義是什么？瞬時速度v(1)呢？提示：平均速度的幾何意義是：表示過曲線 上兩點（1，h(1)）、 連線的斜率.瞬時速度v(1)的幾何意義是：表示運動員在1s時速度向下，為5 m/s .  課堂練習1 平均變化率也可以用式子表示，其中  的意義是什么？有什么幾何意義？解： 是相對于的一個增量，且 值可正可負，但不能為零.觀察圖象，可以看出，表示曲線y= f(x)上兩點 、 連線的斜率 2 已知函數(shù)，求 f(x)  （1）從0.1到0.2的平均變化率；  （2）在區(qū)間上的平均變化率.解：（1）   ∴  （2） 因為函數(shù)      所以函數(shù) f(x)在區(qū)間上的平均變化率為：        3 某河流在一段時間x min內(nèi)流過的水量為y ，y是x的函數(shù)， .問：當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？它代表什么實際意義？解：當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是    它表示時間從1min增加到8min的過程中，每增加1min，水流量平均增加 . 4 求函數(shù) 在x=1、2、3附近的平均變化率，判斷哪一點附近平均變化率最大？解：函數(shù) 在x=1附近的平均變化率為 函數(shù) 在x=2附近的平均變化率為 函數(shù) 在x=3附近的平均變化率為對任意的，都有所以在x=3附近的平均變化率最大.                                                                                                                                                        利用信息技術工具，演示圖5.1-1中的動態(tài)變化趨勢              可以是正值，也可以是負值，但不為0.                                                                從學生熟悉的“高臺跳水”的生活實例入手，分析、歸納、總結，抽象出平均速度與瞬時速度的概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。                                                                     通過物體運動問題，抽象出函數(shù)平均變化率、瞬時速度與瞬時變化率的概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。                                              通過實例，讓學生經(jīng)歷由割線的斜率到切線的斜率的過程，發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng)。                                    課堂小結1  2 函數(shù)的變化率 定義實例平均變化率函數(shù)y=f(x)從到的平均變化率, 簡記作：①平均速度；②曲線割線的斜率瞬時變化率函數(shù)f(x)在 處的瞬時變化率是函數(shù)f(x)從到的平均變化率在時的極限，即①瞬時速度；物體在某一時刻的速度；②切線的斜率    板書 1平均變化率2瞬時變化率3課堂練習     教學反思