高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義教案設(shè)計(jì)

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義教案設(shè)計(jì)，共8頁(yè)。
5.1.1變化率問題                 本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)變化率問題本節(jié)內(nèi)容通過(guò)分析 高臺(tái)跳水問題、曲線上某點(diǎn)處切線斜率的問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念和瞬時(shí)變化率的概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率和瞬時(shí)變化率解法的一般步驟。平均變化率是個(gè)核心概念，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)。在這個(gè)過(guò)程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過(guò)求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在具體時(shí)刻的瞬時(shí)速度，體會(huì)求瞬時(shí)速度的一般方法.B.通過(guò)求曲線處某點(diǎn)處切線斜率的過(guò)程，體會(huì)求切線斜率的一般方法.C.理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念．1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)的變化率 2.邏輯推理： 平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求解瞬時(shí)速度與切線斜率 4.數(shù)學(xué)建模： 函數(shù)的變化率 重點(diǎn)：理解瞬時(shí)速度和曲線上某點(diǎn)處切線斜率的概念及算法難點(diǎn)：理解函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念多媒體      教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    導(dǎo)語(yǔ)  在必修第一冊(cè)中，我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性等知識(shí)，定性的研究了一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，知道“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)” 是越來(lái)越慢的，“指數(shù)爆炸” 比“直線上升” 快得多，進(jìn)一步的能否精確定量的刻畫變化速度的快慢呢，下面我們就來(lái)研究這個(gè)問題。 二、    新知探究問題1   高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.如何描述用運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？直覺告訴我們，運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中，在上升階段運(yùn)動(dòng)的越來(lái)越慢，在下降階段運(yùn)動(dòng)的越來(lái)越快，我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段，用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似的描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。例如,在 0 ≤ t ≤0.5這段時(shí)間里，在 1≤ t ≤2這段時(shí)間里，一般地，在 ≤ t ≤這段時(shí)間里，探究1： 計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0 ≤ t ≤這段時(shí)間內(nèi)的平均速度你發(fā)現(xiàn)了什么？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？     為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念。我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。探究2：瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1是的瞬時(shí)速度嗎？ 1．平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f (x)，從x1到x2的平均變化率：(1)自變量的改變量：Δx＝_______.(2)函數(shù)值的改變量：Δy＝_____________．(3)平均變化率＝         ＝              .x2－x1；f (x2)－f (x1)；；2.瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率(1)物體在________的速度稱為瞬時(shí)速度．(2)函數(shù)f (x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f (x)從x0到x0＋Δx的平均變化率在Δx→0時(shí)的極限，即 ＝                  .某一時(shí)刻；  問題2. 拋物線的切線的斜率      我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切，對(duì)于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？下面我們以拋物線為例進(jìn)行研究.探究3. 你認(rèn)為應(yīng)該如何定義拋物線在點(diǎn)處的切線？  與研究瞬時(shí)速度類似為了研究拋物線在點(diǎn)處的切線，我們通常在點(diǎn)的附近取一點(diǎn)考察拋物線的割線 的變化情況。探究4.我們知道斜率是確定直線的一個(gè)要素，如何求拋物線在點(diǎn)處的切線T的斜率呢？從上述切線的定義可見，拋物線在點(diǎn)處的切線T的斜率與割線P的斜率有內(nèi)在的聯(lián)系，記點(diǎn)P的坐標(biāo)，于是割線P的斜率+2      利用計(jì)算工具計(jì)算更多割線P的斜率的值，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，割線P的斜率有什么變化趨勢(shì)？      從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔無(wú)限變小時(shí)，點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)，于是割線P無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線，這時(shí)，割線P的斜率無(wú)限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率，因此，切線的斜率=2.3．曲線的切線斜率(1)設(shè)P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲線y＝f (x)上任意不同兩點(diǎn)，則平均變化率＝為割線P0P的_____． (2)當(dāng)P點(diǎn)逐漸靠近P0點(diǎn)，即Δx逐漸變小，當(dāng)Δx→0時(shí)，瞬時(shí)變化率                    就是y＝f (x)在x0處的____的斜率即k＝                      .斜率；切線 ； ； 1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)Δx趨近于零時(shí)表示Δx＝0． (　　)(2)平均變化率與瞬時(shí)變化率可能相等． (　　)(3)瞬時(shí)變化率刻畫某函數(shù)在某點(diǎn)處變化快慢的情況． (　　)(4)函數(shù)y＝f (x)在某x＝x0的切線斜率可寫成k＝ ． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．函數(shù)y＝f (x)，自變量x由x0改變到x0＋Δx時(shí)，函數(shù)的改變量Δy為(　　)A．f (x0＋Δx)　　   B．f (x0)＋ΔxC．f (x0)·Δx         D．f (x0＋Δx)－f (x0)D　[Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故選D.]3．若一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s＝8＋t2運(yùn)動(dòng)，則在一小段時(shí)間[2，2.1]內(nèi)的平均速度是(　　)A．4          B．4.1      C．0.41        D．－1.1B　[＝＝＝＝4.1，故選B.]三、典例解析例1．某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度．[思路探究]　―→[解]∵＝＝＝3＋Δt，∴ ＝ (3＋Δt)＝3.∴物體在t＝1處的瞬時(shí)變化率為3.即物體在t＝1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為3 m/s.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟設(shè)非勻速直線運(yùn)動(dòng)中物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)為s＝s?t?，則求物體在t＝t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度的步驟如下：?1?寫出時(shí)間改變量Δt，位移改變量Δs?Δs＝s?t0＋Δt?－s?t0??.?2?求平均速度：＝.?3?求瞬時(shí)速度v：當(dāng)Δt→0時(shí)，→v?常數(shù)?.跟蹤訓(xùn)練1．在本例條件不變的前提下，試求物體的初速度．[解]　求物體的初速度，即求物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)速度．∵＝＝＝1＋Δt，∴ (1＋Δt)＝1.∴物體在t＝0時(shí)的瞬時(shí)變化率為1，即物體的初速度為1 m/s.跟蹤訓(xùn)練2．在本例條件不變的前提下，試問物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.[解]　設(shè)物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9 m/s.又＝＝(2t0＋1)＋Δt. ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.則2t0＋1＝9，∴t0＝4.則物體在4 s時(shí)的瞬時(shí)速度為9 m/s.例2.已知函數(shù)y＝x－，則該函數(shù)在點(diǎn)x＝1處的切線斜率為?解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，∴＝＝1＋，∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.   通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)，通過(guò)對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感受不同函數(shù)變化快慢的問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。          通過(guò)具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出平均速度與瞬時(shí)速度的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                         通過(guò)物體運(yùn)動(dòng)問題，抽象出函數(shù)平均變化率、瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。     通過(guò)曲線上某點(diǎn)出割線與切線斜率的問題，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)平均變化率與瞬時(shí)變化率的理解，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素                                           通過(guò)典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生掌握平均速度與瞬時(shí)速度的算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。  三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．物體自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列說(shuō)法中正確的是(　　)A．9.8 m/s是物體從0 s到1 s這段時(shí)間內(nèi)的速率B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的速率C．9.8 m/s是物體在t＝1 s這一時(shí)刻的速率D．9.8 m/s是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時(shí)間內(nèi)的平均速率C　[結(jié)合平均變化率與瞬時(shí)變化率可知選項(xiàng)C正確．]2．已知函數(shù)f (x)＝2x2－1的圖象上一點(diǎn)(1，1)及其附近一點(diǎn)(1＋Δx，f (1＋Δx))，則等于________．4＋2Δx　[Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝2Δx＋4.]3．已知函數(shù)f (x)＝3x2＋5，求f (x)：(1)從0.1到0.2的平均變化率；(2)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率．[解]　(1)因?yàn)?/span>f (x)＝3x2＋5，所以從0.1到0.2的平均變化率為＝0.9.(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)=3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函數(shù)f (x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝6x0＋3Δx.4．求函數(shù)y＝在x＝2處的切線的斜率．[解]　∵Δy＝－＝－1＝－，∴＝－，∴k＝ ＝ ＝＝－1. 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)1.瞬時(shí)速度和曲線上某點(diǎn)處切線斜率的概念及算法；2.函數(shù)的平均變化率，瞬時(shí)變化率的概念；五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  從學(xué)生熟悉的背景出發(fā)，激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣,讓學(xué)生進(jìn)行思考、討論，探索解決問題的方法和步驟,挖掘出以直代曲的思想方法，從而構(gòu)建平均變化率這個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決有關(guān)問題，使得平均變化率的概念及瞬時(shí)變化率的引入顯得自然流暢。再例舉學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生鞏固對(duì)平均變化率的概念的理解。