高中數(shù)學(xué)5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義教案設(shè)計(jì)

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5.1.1變化率問(wèn)題要點(diǎn)一　平均速度與瞬時(shí)速度1．平均速度：時(shí)間段[1,1＋Δt]內(nèi)的平均速度＝.2．瞬時(shí)速度：當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，＝的極限，記為 ，即為t＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．【重點(diǎn)小結(jié)】在t ＝1之后或之前，任意取一個(gè)時(shí)刻1 ＋Δt，Δt是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.當(dāng)Δt >0時(shí)，1 ＋Δt在1之后；當(dāng)Δt<0時(shí)，1 ＋Δt在1之前．當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0，即無(wú)論t從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，平均速度無(wú)限趨近v(1)，即為t ＝1時(shí)的瞬時(shí)速度．要點(diǎn)二　拋物線的切線的斜率拋物線f(x)在點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率為k＝ .【重點(diǎn)小結(jié)】當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，k ＝的極限，記為 .Δx可以是正值也可以是負(fù)值，但不為0.【基礎(chǔ)自測(cè)】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)Δx趨近于0表示Δx＝0.(　　)(2)平均速度與瞬時(shí)速度有可能相等．(　　)(3)平均變化率是刻畫某函數(shù)在某區(qū)間上變化快慢的物理量．(　　)(4)一物體的運(yùn)動(dòng)方程是S＝at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度是at0.(　　)【答案】（1）× （2）√  （3）√  （4）√2．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律s(t)＝t2＋3，則從3到3.3內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均速度為(　　)A．6.3  B．36.3C．3.3  D．9.3【答案】A【解析】s(3)＝12，s(3.3)＝13.89∴＝＝＝6.3，故選A.3．如果質(zhì)點(diǎn)M按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為(　　)A．6   B．18C．54  D．81【答案】B【解析】＝＝18＋3Δt，s′＝ ＝ (18＋3Δt)＝18，故選B.4．拋物線f(x)＝x2在點(diǎn)(－1,1)處切線的斜率為________．【答案】－2【解析】切線斜率為k＝ ＝ ＝ (Δx－2)＝－2.題型一　求平均速度【例1】已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝t2＋2t＋3，求該物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度．【解析】物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的位移增量Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt)2＋4Δt.物體在t＝1到t＝1＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為＝＝4＋Δt.【方法歸納】求平均速度的一般步驟(1)作差，計(jì)算Δs；(2)作商：計(jì)算.【跟蹤訓(xùn)練1】已知一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)＝3t－t2，求t＝0到t＝2時(shí)平均速度．(s的單位是m，t的單位是s)．【答案】1 m/s【解析】＝＝＝＝1 (m/s)．題型二　求瞬時(shí)速度【例2】如果某物體的運(yùn)動(dòng)路程s與時(shí)間t滿足函數(shù)s＝2(1＋t2)(s的單位為m，t的單位為s)，求此物體在1.2 s末的瞬時(shí)速度．【解析】Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2， ＝li (4.8＋2Δt)＝4.8，故物體在1.2 s末的瞬時(shí)速度為4.8 m/s.求物體在1.2 s末的瞬時(shí)速度即求 【方法歸納】(1)求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟①求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．②求平均速度＝.③求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度．(2)求(當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法①在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算．②求出的表達(dá)式后，Δx無(wú)限趨近于0，可令Δx＝0，求出結(jié)果即可．【跟蹤訓(xùn)練2】一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物體的初速度；(2)求此物體在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度．【解析】(1)t＝0時(shí)的速度為初速度．在0時(shí)刻取一時(shí)間段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，所以Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，＝＝3－Δt，li＝＝li (3－Δt)＝3.所以物體的初速度為3.(2)取一時(shí)間段[2,2＋Δt]，所以Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，＝＝－1－Δt，li ＝li (－1－Δt)＝－1，所以當(dāng)t＝2時(shí)，物體的瞬時(shí)速度為－1.題型三　求在某點(diǎn)處的切線方程【例3】求拋物線y＝2x2＋4x在點(diǎn)(3,30)處的切線方程．【解析】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx∴＝＝2Δx＋16.∴k＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.∴在點(diǎn)(3,30)處的切線方程為：y－30＝16(x－3)即：16x－y－18＝0.【方法歸納】求在某點(diǎn)處的切線方程(1)作差：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)作商：＝.(3)取極限：k＝ .(4)由點(diǎn)斜式寫出切線方程．【跟蹤訓(xùn)練3】求拋物線y＝x2＋3在點(diǎn)(2,7)處的切線方程．【解析】Δy＝[(2＋Δx)2＋3]－(22＋3)＝4Δx＋(Δx)2∴＝4＋Δx∴k＝ (4＋Δx)＝4.∴在點(diǎn)(2,7)處的切線方程為：y－7＝4(x－2)即：4x－y－1＝0.  一、單選題1．函數(shù)，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．，的大小無(wú)法確定【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率的定義計(jì)算比較即可.【解析】，，故.故選：A.2．“天問(wèn)一號(hào)”于2021年2月到達(dá)火星附近，實(shí)施火星捕獲.2021年5月?lián)駲C(jī)實(shí)施降軌，在距離火星表面100 m時(shí)，“天問(wèn)一號(hào)”進(jìn)入懸停階段，完成精避障和緩速下降后，著陸巡視器在緩沖機(jī)構(gòu)的保護(hù)下，抵達(dá)火星表面，巡視器在9 min內(nèi)將速度從約20000 km／h降至0 km/h.若記與火星表面距離的平均變化率為v，著陸過(guò)程中速度的平均變化率為a，則（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】巡視器與火星表面的距離逐漸減小，所以.巡視器在著陸過(guò)程中的速度逐漸減小，所以.故選：D.3．一物體的運(yùn)動(dòng)方程是，則t在內(nèi)的平均速度為（    ）A．0.41 B．4.1 C．0.3 D．3【答案】B【分析】由平均速度的定義求解即可【解析】，故選：B4．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于（    ）．A．4 B． C． D．【答案】B【分析】由給定條件求出函數(shù)增量，再根據(jù)平均變化率的意義列式化簡(jiǎn)即得.【解析】因函數(shù)，則在區(qū)間上的函數(shù)增量有：，于是有，所以所求平均變化率等于.故選：B5．我們常用函數(shù)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值來(lái)表示平均變化率，當(dāng)自變量x由改變到時(shí)，函數(shù)值的改變量（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均變化率的概念即可得出結(jié)果.【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故.故選D.6．函數(shù)，自變量x由改變到（k為常數(shù)）時(shí)，函數(shù)的改變量為（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)定義求解即可.【解析】解：由變化率的關(guān)系，.故選：D．7．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【解析】解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，故選：D.8．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【解析】，所以函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為.故選：D. 二、多選題9．某堆雪在融化過(guò)程中，其體積V（單位：）與融化時(shí)間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關(guān)系：（H為常數(shù)），其圖象如圖所示，記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為（單位：），，，，時(shí)刻的瞬時(shí)融化速度分別為，，，（單位：），那么下列各式正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】平均融化速度表示的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率，再由瞬時(shí)變化率的概念判斷即可.【解析】平均融化速度為，反映的是的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)連線的斜率，如圖，觀察可知，處瞬時(shí)速度（即切線的斜率）小于平均速度，，處瞬時(shí)速度及都小于0.故選：AD10．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．叫作函數(shù)值的增量B．叫作函數(shù)在上的平均變化率C．在處的導(dǎo)數(shù)記為D．在處的導(dǎo)數(shù)記為【答案】ABD【分析】由函數(shù)值的增量的意義判斷A；由平均變化率和瞬時(shí)變化率的意義判斷BCD.【解析】A中，叫作函數(shù)值的改變量，即函數(shù)值的增量，A正確；B中，稱為函數(shù)在到之間的平均變化率，B正確；由導(dǎo)數(shù)的定義知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)記為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD11．某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（    ）A．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s B．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/sC．瞬時(shí)速度為9m/s的時(shí)刻是在時(shí) D．物體從0到1的平均速度為2m/s【答案】BC【分析】由平均速度與瞬時(shí)速度的定義求解即可【解析】對(duì)于A：，即物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s，A錯(cuò)誤．對(duì)于B：，即物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，B正確．對(duì)于C：設(shè)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s，又，所以，物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s，C正確．對(duì)于D：，D錯(cuò)誤．故選：BC 第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明 三、填空題12．某廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)原油溫度（單位：℃）為，那么原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值為______.【答案】0【分析】根據(jù)題意求出溫度的瞬時(shí)變化率，進(jìn)而求出它的最小值.【解析】由題意可知溫度的瞬間變化率為，因此當(dāng)時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率取到最小值為.故答案為：0.13．下面說(shuō)法正確的是______（填序號(hào)）.①若不存在，則曲線在點(diǎn)處沒有切線；②若曲線在點(diǎn)處有切線，則必存在；③若不存在，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率不存在；④若曲線在點(diǎn)處沒有切線，則有可能存在.【答案】③【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題意，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，適當(dāng)舉出反例，即可求解.【解析】對(duì)于①中，由不存在時(shí)，曲線在點(diǎn)處不一定沒有切線，例如：函數(shù)，可得，在處的導(dǎo)數(shù)不存在，但曲線在該點(diǎn)處的切線方程為，所以①不正確；對(duì)于②中，曲線在點(diǎn)處有切線，則不一定存在，例如：函數(shù)在處的切線方程為，但不存在，所以②不正確；對(duì)于③中，若不存在，根據(jù)曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率不存在，所以③正確；對(duì)于④中，由存在，則曲線在點(diǎn)有切線為真命題，可得其逆否命題“曲線在點(diǎn)處沒有切線，則不存在”為真命題，所以④錯(cuò)誤.故選：③14．物體做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是，則該物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的大小關(guān)系是______．【答案】相等【分析】由勻速運(yùn)動(dòng)易知平均速度和瞬時(shí)速度的定義求解即可.【解析】因?yàn)槠骄俣葹?/span>，瞬時(shí)速度為所以平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度相等．故答案為：相等 四、解答題15．一做直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系是（位移：m，時(shí)間：s）．（1）求此物體的初速度；（2）求此物體在時(shí)的瞬時(shí)速度；（3）求到時(shí)的平均速度．【答案】（1）3m/s（2）（3）1m/s【分析】（1）根據(jù)題意，可知初速度即時(shí)的瞬時(shí)速度，結(jié)合瞬時(shí)變化率的計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合瞬時(shí)變化率的計(jì)算，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合平均變化率的計(jì)算公式，即可求解.（1）運(yùn)動(dòng)物體的初速度即時(shí)的瞬時(shí)速度，即 ，即物體的初速度為3m/s．（2）根據(jù)題意，可知 ，即此物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為．（3），即到時(shí)的平均速度為1m/s．16．已知某物體運(yùn)動(dòng)的位移是時(shí)間的函數(shù)，而且時(shí)，；時(shí)，.（1）求這個(gè)物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度；（2）估計(jì)出時(shí)物體的位移.【答案】（1）15.6(m/s)（2）3.5m【分析】根據(jù)平均速度的定義即可求出結(jié)果，將x在上的圖象看成直線，根據(jù)點(diǎn)斜式方程寫出直線方程，令計(jì)算即可.（1）所求的平均速度為：（2）將x在上的圖象看成直線，又直線過(guò)點(diǎn)，斜率為15.6，則x與t的關(guān)系可近似表示為：，令，得，故可估計(jì)時(shí)物體的位移為3.5m.