高中數(shù)學(xué)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份高中數(shù)學(xué)4.4* 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計(jì)，共8頁(yè)。教案主要包含了典例解析，達(dá)標(biāo)檢測(cè)，小結(jié)，課時(shí)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.4數(shù)學(xué)歸納法                   本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法前面學(xué)生已經(jīng)通過(guò)數(shù)列一章內(nèi)容和其它相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。但由于有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法亮點(diǎn)就在于，通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取無(wú)限多個(gè)正整數(shù)的情形，這也是無(wú)限與有限辨證統(tǒng)一的體現(xiàn)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?、?xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的很好的素材。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.B.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.  1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)學(xué)歸納法的原理2.邏輯推理：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題 3.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用多米諾骨牌建立數(shù)學(xué)歸納法概念  重點(diǎn)： 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理.多媒體   教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    知識(shí)回顧在數(shù)列的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式 等，但并沒(méi)有給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，那么，對(duì)于這類(lèi)與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，我們?cè)鯓幼C明它對(duì)每一個(gè)正整數(shù)都成立呢？本節(jié)我們就來(lái)介紹一種重要的證明方法-----數(shù)學(xué)歸納法探究1. 已知數(shù)列{}滿(mǎn)足， = 計(jì)算， ， ，猜想其通項(xiàng)公式，并證明你的猜想.分析：計(jì)算可得 ， ， ，再結(jié)合 ，由此猜想： 如何證明這個(gè)猜想呢？思路1.我們可以從開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證。一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)有關(guān)的命題，當(dāng)比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩。特別當(dāng)取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法。問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？       我們先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起，碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。問(wèn)題1：多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.問(wèn)題2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述它？可以看出，條件（2）給出一個(gè)遞推根據(jù)（關(guān)系），當(dāng)?shù)?/span>k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下。探究2. 你認(rèn)為證明前面的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（1）第一塊骨牌倒下；（2）若第K塊骨牌倒下時(shí)，則使相鄰的第K+1塊骨牌也倒下根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 （1）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立； （2）若n=k時(shí)猜想成立, 即 ,則當(dāng)n=k+1時(shí), = =1,猜想也成立，根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立.所以，對(duì)于任意，猜想都成立，即數(shù)列{}的通項(xiàng)公式是 .  數(shù)學(xué)歸納法的定義    一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:歸納奠基→證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立歸納遞推→以當(dāng)“n=k(k≥n0,k∈N*)時(shí)命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.二、典例解析例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{}是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，那么， =           ①對(duì)任何都成立.分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明時(shí)命題成立。第二步要明確證明目標(biāo)，即要證明一個(gè)新命題：如果時(shí), ①式正確的，那么時(shí)①式也是正確的.證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊= ,①式成立.（2）假設(shè)當(dāng)()時(shí)， ①式成立，即= 根據(jù)等差數(shù)列的定義，有 于是   即當(dāng)時(shí)， ①式也成立由（1）（2）可知， ①式對(duì)任何都成立            用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.跟蹤訓(xùn)練1求證:1-+…++…+(n∈N*).證明:①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-,右邊=,所以等式成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),1-+…++…+成立.那么當(dāng)n=k+1時(shí),1-+…++…+=+…++[]=+…+,所以n=k+1時(shí),等式也成立. 綜上所述,對(duì)于任何n∈N*,等式都成立. 例2已知數(shù)列,…,,…,計(jì)算S1,S2,S3,S4,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.解:S1=;S2=;S3=;S4=.可以看出,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為3n+1.于是可以猜想Sn=.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想. (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=S1=,右邊=,猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立,即+…+,當(dāng)n=k+1時(shí),+…+ ,所以,當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何n∈N*都成立.(1)“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)  (2)“歸納—猜想—證明”的主要題型①已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)或前n項(xiàng)和.②由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問(wèn)題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.③給出一些簡(jiǎn)單的命題(n=1,2,3,…),猜想并證明對(duì)任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.跟蹤訓(xùn)練2數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn=2n-an(Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和),先計(jì)算數(shù)列的前4項(xiàng),再猜想an,并證明. 解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=;由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=;由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=.猜想an=.下面證明猜想正確:(1)當(dāng)n=1時(shí),由上面的計(jì)算可知猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,則有ak=,當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=[2(k+1)-Sk]=k+1-,所以,當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)和(2)可知,an=對(duì)任意正整數(shù)n都成立.    通等差數(shù)列通項(xiàng)公式的獲得，引出問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                          類(lèi)比多米諾骨牌，經(jīng)歷觀察、分析、比較、抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                           通過(guò)典型例題，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明關(guān)于正整數(shù)有關(guān)的命題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。         三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在驗(yàn)證n=1成立時(shí),左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是(　　)A.1              B.1+aC.1+a+a2               D.1+a+a2+a3解析:當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正確.答案:C2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(　　)A.(2k+1)+(2k+2)                     B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)                      D.(2k+2)+(2k+4)解析:當(dāng)n=k時(shí),左邊是共有2k+1個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當(dāng)n=k+1時(shí),左邊共有2k+3個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.答案:C3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推測(cè),當(dāng)n>2時(shí),有　　　　　. 答案:f(2n)>4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:+…+.假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是　　　　　. 解析:從不等式結(jié)構(gòu)看,左邊n=k+1時(shí),最后一項(xiàng)為,前面的分母的底數(shù)是連續(xù)的整數(shù),右邊n=k+1時(shí),式子為,即目標(biāo)不等式為+…+.答案:+…+5.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2,n∈N*時(shí),(1-)…(1-)=.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1-,右邊=,∴n=2時(shí)等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)等式成立,即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,那么當(dāng)n=k+1時(shí), (1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]=·[1-]=.∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.根據(jù)(1)和(2)知,對(duì)任意n≥2,n∈N*,等式都成立.  通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié) 五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問(wèn)題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。