人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1 數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1 數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計(jì)，共9頁(yè)。教案主要包含了典例解析，達(dá)標(biāo)檢測(cè)，小結(jié)，課時(shí)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.3.1等比數(shù)列的概念 (1)                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位。學(xué)生在已學(xué)習(xí)等差數(shù)列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)等比數(shù)列，讓學(xué)生經(jīng)歷定義的形成、通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.  理解等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念．B．掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決相關(guān)問(wèn)題． 1.數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的定義2.邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列的運(yùn)用4.數(shù)學(xué)建模： 等比數(shù)列的函數(shù)特征  重點(diǎn)：等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念 難點(diǎn)：等比數(shù)列的函數(shù)特征及綜合運(yùn)用多媒體   教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    新知探究    我們知道，等差數(shù)列的特征是“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)” 。類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，你覺(jué)得還有怎樣的數(shù)列是值得研究的？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:                     ①         ②                    ③2.《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭.”如果把“一尺之錘”的長(zhǎng)度看成單位“1”，那么從第1天開(kāi)始，每天得到的“錘”的長(zhǎng)度依次是                        ④3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)菌每20 min 就通過(guò)分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開(kāi)始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是    2,4,8,16,32,64,…                       ⑤4.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為 ，那么按照復(fù)利，他5年內(nèi)每年末得到的本利和分別是       ⑥如果用 {an} 表示數(shù)列①，那么有     其余幾個(gè)數(shù)列也有這樣的取值規(guī)律嗎？，請(qǐng)你試著寫一寫。探究1   類比等差數(shù)列的研究，你認(rèn)為可以通過(guò)怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 等差數(shù)列的概念文字語(yǔ)言如果一個(gè)數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的______的差都等于__________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示符號(hào)語(yǔ)言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2 ；前一項(xiàng) ；同一個(gè)常數(shù) ；常數(shù) ；d 探究2   類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？      一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 表示(顯然 )． 符號(hào)語(yǔ)言：     ． 探究3：在等差數(shù)列中，我們學(xué)習(xí)了等差中項(xiàng)的概念，通過(guò)類比，我們?cè)诘缺葦?shù)列中有什么相應(yīng)的概念？如何定義？1．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是(　　)A．m，m2，m3，m4，…B．22,42,62,82，…C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…D．，，，，…D　解析：當(dāng)m＝0，q＝1時(shí)，A，C均不是等比數(shù)列；≠，所以B不是等比數(shù)列．2．方程x2－5x＋4＝0的兩根的等比中項(xiàng)是(　　)A．          B．±2        C．±          D．2B　解析：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2＝4，∴兩根的等比中項(xiàng)為±＝±2.探究3.  你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得= 所以= , = , = ,…于是  + ,+ =(+ ) + + 2,+ =(+ ) + + 3,……歸納可得+() (n)當(dāng)n時(shí)，上式為+() ，這就是說(shuō),上式當(dāng)時(shí)也成立。因此，首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為+() 請(qǐng)你回憶一下，等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，類比猜想，等比數(shù)列如何推導(dǎo)通項(xiàng)公式？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的為,根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得所以 , =( ) ,=()       ……歸納可得(n)又，這就是說(shuō)，當(dāng)n時(shí)，上式也成立。因此，首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為探究4. 在等差數(shù)列中，公差的等差數(shù)列可以與相應(yīng)的一次函數(shù)建立聯(lián)系，那么對(duì)于等比數(shù)列，公比滿足什么條件的數(shù)列可以與相應(yīng)的函數(shù)建立類似的聯(lián)系？ 當(dāng) , ()當(dāng), ()即指數(shù)型函數(shù)（為, 常數(shù)， , 且）構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為探究5：類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你能說(shuō)說(shuō)公比的等比數(shù)列的單調(diào)性嗎？()二、典例解析例1. 若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng).分析：等比數(shù)列由唯一確定，可利用條件列出關(guān)于的方程（組），進(jìn)行求解。解法1：由，，得的兩邊分別除以①的兩邊，得  解得或.把 代入①，得 .此時(shí) .把 代入①，得 .此時(shí) .因此的第5項(xiàng)是24或.解法2：因?yàn)?/span> 是 與 的等比中項(xiàng)，所以.所以.因此，的第5項(xiàng)是24或-24.例2  已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示.解：由題意，得，①.     ②的兩邊分別除以①的兩邊，得=所以  .1．在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．2．等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都可以由該數(shù)列的某一項(xiàng)和公比表示. 跟蹤訓(xùn)練1 在等比數(shù)列{an}中，(1)若a2＝4，a5＝－，求an；(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.(1)由題意可知∴q＝－，a1＝－8，∴an＝a1qn－1＝－8×n－1＝(－2)4－n.(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝.由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，由an＝a1qn－1＝1知n＝6.例3.  數(shù)列共有5項(xiàng)，前三項(xiàng)成等比數(shù)列，后三項(xiàng)成等差數(shù)列，第3項(xiàng)等于80，第2項(xiàng)與第4項(xiàng)的和等于136，第1項(xiàng)與第5項(xiàng)的和等于132，求這個(gè)數(shù)列. 分析：先利用已知條件表示出數(shù)列的各項(xiàng)，再進(jìn)一步根據(jù)條件列出方程組求解.解：設(shè)前三項(xiàng)的公比為 ,后三項(xiàng)的公差為，則數(shù)列的各項(xiàng)依次為 ,80,80, 80,于是得解方程組，得 所以這個(gè)數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.跟蹤訓(xùn)練2.有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù).解法1：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝4，d＝4時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝9，d＝－6時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.解法2：設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝8，q＝2時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a＝3，時(shí)，所求的四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求的四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.         通過(guò)與等差數(shù)列進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納出等比數(shù)列的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                                通過(guò)與等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)的類比，獲得等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                      通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列及其函數(shù)特征的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素。                   通過(guò)典型例題，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列綜合運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素  三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．已知{an}是等比數(shù)列，a1＝4，公比q＝，則a5＝(　　)A．           B．        C．          D．A　解析： ∵等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，∴a5＝a1×q4＝4×4＝，故選A． 2．設(shè)an＝(－1)n(n∈N*)，則數(shù)列{an}是(　　)A．等比數(shù)列                   B．等差數(shù)列C．遞增數(shù)列                   D．遞減數(shù)列A　解析：由已知數(shù)列an＝(－1)n(n∈N*)的前5項(xiàng)為－1,1，－1,1，－1，明顯數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是單調(diào)遞增數(shù)列，也不是單調(diào)遞減數(shù)列，排除BCD．又當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，＝＝－1為常數(shù)，故數(shù)列{an}是等比數(shù)列．故選A．3．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a3＝3a1＋2a2，則公比q＝(　　)A．1         B．2           C．3        D．4C　解析：因?yàn)?/span>a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故選C．4.若數(shù)列－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)b的值為(　　)A．－3        B．3          C．±3           D．不能確定A　解析：∵－1，a，b，c，－9成等比數(shù)列，∴－1，a，b成等比數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，b，c，－9成等比數(shù)列，∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.又a2＝－b>0，∴b<0，∴b＝－3.5．在等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝16.求{an}的通項(xiàng)公式．解：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意，得解得所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. 通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié) 五、課時(shí)練通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  由于教師不僅是知識(shí)的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者。所以我采用“問(wèn)題情景---建立模型---求解---解釋---應(yīng)用”的教學(xué)模式，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的親身動(dòng)手探求、體驗(yàn)，獲得不僅是知識(shí)，更重要的是掌握了在今后的發(fā)展中用這種手段去獲取更多的知識(shí)的方法。這是“教師教給學(xué)生尋找水的方法或給學(xué)生一杯水，使學(xué)生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒體可以使教學(xué)內(nèi)容生動(dòng)、形象、鮮明地得到展示。