高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計

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4.1數(shù)列的概念（2）                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系。“數(shù)列的概念與簡單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)列的遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系等。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點，更是本節(jié)課教學(xué)的重點。學(xué)生主動自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過程，影響概念學(xué)習(xí)過程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點.課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解數(shù)列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關(guān)問題.B.會利用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式. 1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列遞推公式 2.邏輯推理：數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系 3.數(shù)學(xué)運算：用遞推公式求數(shù)列的特定項及通項   重點：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系難點：用遞推公式解決有關(guān)問題、用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式多媒體  教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    課前小測1．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝(n－1)(n＋1)，則a5＝(　　)A．10         B．12       C．14        D．16B　解析：由題意，通項公式為an＝(n－1)(n＋1)，則a5＝×(5－1)×(5＋1)＝12.故選B.2．由數(shù)列前四項：，，，，…，則通項公式______．【詳解】由題意，該數(shù)列前四項可變?yōu)椋?/span>，，，，…，由此可歸納得到數(shù)列的通項公式為．3．已知數(shù)列的前幾項是、、、、，寫出這個數(shù)列的一個通項公式是_________．【詳解】該數(shù)列的前四項可表示為，，，，因此，該數(shù)列的一個通項公式為.二、新知探究例4.  圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的通項公式解：在圖中（1）（2）（3）（4）中，著色三角形個數(shù)依次為                            1,3,9,27即所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1，因此這個數(shù)列的通項公式是        換個角度觀察圖中的4個圖形，可以發(fā)現(xiàn)，且每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1個無色小三角形，于是從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的三倍，這樣，例4中的數(shù)列的前4項滿足，由此猜測，這個數(shù)列滿足公式通項公式和遞推公式的區(qū)別通項公式直接反映了an與n之間的關(guān)系,即已知n的值,就可代入通項公式求得該項的值an;遞推關(guān)系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個(或多個)相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)系,要求an,需將與之聯(lián)系的各項依次求出.一、數(shù)列的遞推公式        像這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式，知道了首項和遞推公式就能求出數(shù)列的每一項了1.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an=1+(n∈N*,n>1),則a3=　　　　　. 解析:由已知,得a2=1+=2,a3=1+.答案:二、數(shù)列的通項與前n項和1.數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列{an}的前n項和,記作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.2.an=點睛(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當(dāng)n=1時,a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項公式應(yīng)采用分段表示,即an=2.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法．(    )(2)所有數(shù)列都有遞推公式．(    )(3)an＝Sn－Sn－1成立的條件是n∈N*.(    )（1）√（2）×（3）√ 3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2,求數(shù)列{an}的通項公式.解:a1=S1=1+2=3,①而n≥2時,an=Sn-Sn-1=(n2+2)-[(n-1)2+2]=2n-1.②在②中,當(dāng)n=1時,2×1-1=1,故a1不適合②式.∴數(shù)列{an}的通項公式為an=三、典例解析例1已知數(shù)列{an},a1=1,且滿足an=3an-1+(n∈N*,且n>1),寫出數(shù)列{an}的前5項.分析:由a1的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a3,a4,a5的值. 解:由題意,得a2=3a1+,而a1=1,所以a2=3×1+.同理a3=3a2+=10,a4=3a3+,a5=3a4+=91.                   由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法      根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,要弄清楚公式中各部分的關(guān)系,依次代入計算即可.另外,解答這類問題時還需注意:若已知首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式;若已知末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式.跟蹤訓(xùn)練1  已知數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3,且a1=0,則此數(shù)列的第5項是(　　)A.15 B.255   C.16        D.63解析:因為a1=0,所以a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.答案:B跟蹤訓(xùn)練2.已知數(shù)列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，寫出數(shù)列的前5項，并猜想通項公式．解：由a1＝2，an＋1＝2an，得：a2＝2a1＝2×2＝4＝22，a3＝2a2＝2×4＝8＝23，a4＝2a3＝2×8＝16＝24，a5＝2a4＝2×16＝32＝25，…，猜想an＝2n(n∈N*)．例2  若數(shù)列{an}的前n項和Sn=-2n2+10n,求數(shù)列{an}的通項公式.解:∵Sn=-2n2+10n, ∴Sn-1=-2(n-1)2+10(n-1),∴an=Sn-Sn-1=-2n2+10n+2(n-1)2-10(n-1)=-4n+12(n≥2).當(dāng)n=1時,a1=-2+10=8=-4×1+12.此時滿足an=-4n+12,∴an=12-4n.變式探究：試求本例中Sn的最大值. 解:∵Sn=-2n2+10n=-2,  又∵n∈N*,∴當(dāng)n=2或n=3時,Sn最大,即S2或S3最大.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項公式的步驟：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1.(2)當(dāng)n≥2時，根據(jù)Sn寫出Sn－1，化簡an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也滿足當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1的式子，那么數(shù)列{an}的通項公式為an＝Sn－Sn－1；如果a1不滿足當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1的式子，那么數(shù)列{an}的通項公式要分段表示為an＝跟蹤訓(xùn)練3.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則an＝____________.解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2不適合上式，∴an＝   通過課前小測，進(jìn)步深化學(xué)生對數(shù)列概念的理解和運用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                       通過具體問題的思考和分析，幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                        通過數(shù)列的通項與前n項和的認(rèn)識，幫助學(xué)生理解數(shù)列求和概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。   通過典型例題，加深學(xué)生對數(shù)列遞推公式的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素                 通過典型例題，幫助靈活運用數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。  三、達(dá)標(biāo)檢測1.已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=an+,則該數(shù)列的第3項等于(　　)A.1 B.          C. D.解析:a2=a1+=1,a3=a2+.答案:C 2.已知數(shù)列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,則實數(shù)m等于(　　)A.0              B.C.2   D.5解析:由題意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=.答案:B 3.若數(shù)列{an}的通項公式為an=-2n2+25n,則數(shù)列{an}的各項中最大項是(　　)A.第4項 B.第5項   C.第6項          D.第7項解析:因為an=-2n2+25n=-2,且n∈N*,所以當(dāng)n=6時,an的值最大,即最大項是第6項.答案:C 4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n-5an+23,n∈N*,則數(shù)列{an}的通項公式an=(　　)A.3×-1 B.3×-1C.3×+1 D.3×+1解析:當(dāng)n=1時,a1=1-5a1+23,解得a1=4.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n-5an+23-(n-1-5an-1+23),即an=an-1+,即an-1=(an-1-1),故數(shù)列{an-1}是以3為首項,為公比的等比數(shù)列,則an-1=3×,所以an=3×+1.故選C.答案:C 5. (1)已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,an+1=an+,n∈N*,求數(shù)列的通項公式an.(2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項公式.分析:(1)先將遞推公式化為an+1-an=,再利用累加法求通項公式;(2)先將遞推公式化為,再利用累乘法求通項公式. 解:(1)∵an+1-an=,∴a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,…,an-an-1=(n≥2),將以上n-1個式子相加,得∴(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=+…+,即an-a1=1-(n≥2,n∈N*).∴an=a1+1-=-1+1-=-(n≥2,n∈N*).又當(dāng)n=1時,a1=-1也符合上式.∴an=-.(2)因為a1=1,an=an-1(n≥2),所以,所以an=·…··a1=·…··1=.又因為當(dāng)n=1時,a1=1,符合上式,所以an=. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  數(shù)列概念的學(xué)習(xí)并不需要很多的知識基礎(chǔ)，可以說學(xué)習(xí)數(shù)列的概念并無知識上的困難.這些都是數(shù)列概念教學(xué)的有利條件.剛開始高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)生，自己主動地建構(gòu)概念的意識還不夠強，能力還不夠高.同時，在建立概念的過程中，學(xué)生的辨別各種刺激模式、抽象出觀察對象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學(xué)語言（符號）表達(dá)等方面，會表現(xiàn)出不同的水平，從而會影響整體的教學(xué).