人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念教學設計

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念教學設計，共10頁。教案主要包含了問題探究，數(shù)列，數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列的通項公式，課時練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.1數(shù)列的概念（1）                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習數(shù)列的概念與表示“數(shù)列的概念與簡單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關系等。數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應用.學習數(shù)列對深化函數(shù)的學習有著積極地意義，數(shù)列是以后學習極限的基礎，因此，數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要位置。數(shù)列的概念是學習數(shù)列的起點與基礎，因而建立數(shù)列的概念是本章教學的重點，更是本節(jié)課教學的重點。學生主動自我建構概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過程，影響概念學習過程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學的難點.課程目標學科素養(yǎng)A.理解數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法.B.掌握數(shù)列的分類.C.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.D.掌握數(shù)列通項公式的概念及其應用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.1.數(shù)學抽象：數(shù)列的概念及表示、數(shù)列的分類 2.邏輯推理：求數(shù)列的通項公式 3.數(shù)學運算：運用數(shù)列通項公式求特定項 4.數(shù)學建模：數(shù)列的概念 重點：數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法 難點：數(shù)列的函數(shù)特征多媒體  教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、    情景導學古語云:“勤學如春起之苗,不見其增,日有所長”如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數(shù)列. 那么什么叫數(shù)列呢? 二、問題探究1. 王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168                      ①記王芳第的身高為 ，那么=75 , =87, =168.我們發(fā)現(xiàn)中的反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即=75 是排在第1位的數(shù)，=87是排在第2位的數(shù) =168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以①具有確定順序的一列數(shù)。 2. 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號K90，約生產(chǎn)于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天，每天月亮可見部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.             ②記第月亮可見部分的數(shù)為 , 那么=5 , =10, =240.這里，中的反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1~15順序排列時的確定位置，即=5是排在第1位的數(shù)，=10是排在第2位的數(shù) =240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以，②也是具有確定順序的一列數(shù)。3. -次冪按1次冪， 2次冪, 3次冪, 4次冪……依次排成一列數(shù)：- ， ，- ， …                    ③ 思考：你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號a1表示;第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做首項.3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.點睛：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.(2)符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項.二、數(shù)列的分類   類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列 三、數(shù)列與函數(shù) 數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．另一方面，對于函數(shù)y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么                  構成了一個數(shù)列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，… 1. 下列敘述正確的是(　　)A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}D.同一個數(shù)在數(shù)列中不可能重復出現(xiàn)解析:按項的變化趨勢,數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列等數(shù)列,A錯誤;數(shù)列1,3,5,7與由實數(shù)1,3,5,7組成的集合{1,3,5,7}是兩個不同的概念,C錯誤;同一個數(shù)在數(shù)列中可能重復出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實數(shù)2構成的常數(shù)列,D錯誤;對于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定,B正確.答案:B四、數(shù)列的通項公式      如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.點睛：(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項公式.(3)同一數(shù)列的通項公式,其表達形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.1.若數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項a10=　　　　　,224是該數(shù)列的第　　　　　項. 解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項.答案:99　15三、典例解析例1. 根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項公式，寫出數(shù)列的前5項,并畫出它們的圖像.（1）     （2） 解:（1）當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數(shù)列{an}的前5項依次為1,3,6,10,15如圖所示(1)（2）當通項公式中的n=1，2，3，4，5 時，數(shù)列 {an}的前5項依次為1,0,-1,0,1如圖所示(2)  例2. 根據(jù)數(shù)列的前4項,寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1),2,,8,,…;(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9 999,…;(4),…;(5)-,-,…;(6)4,0,4,0,4,0,….解:(1)數(shù)列的項有的是分數(shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察,,…,所以,它的一個通項公式為an=.(2)數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項加1后,分別變?yōu)?/span>10,100,1 000,10 000,…,此數(shù)列的通項公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數(shù),其通項公式為n,綜合得原數(shù)列的一個通項公式為an=.(5)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n·.(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項公式,即an=又因為數(shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2+2×(-1)n+1. 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項的結構,如都化成分數(shù)、根式等.(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的關系.(3)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號.(4)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識解答.2.常見數(shù)列的通項公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個通項公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…的一個通項公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個通項公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個通項公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個通項公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個通項公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個通項公式是an=n2.(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是an=.(8)數(shù)列1,,…的一個通項公式是an=.跟蹤訓練1.寫出下列數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):(1)1,;  (2)2,4,6,8;(3)3,5,9,17; (4);(5)7,77,777,7 777.解:(1)an=;(2)an=2n+;(3)an=2n+1;(4)an=;(5)an=(10n-1).例3 (1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數(shù)列中有哪些項是負數(shù)?②當n為何值時,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數(shù)列{an}的通項公式an=(n+1)(n∈N*),試問數(shù)列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數(shù);若沒有,請說明理由.分析:(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.(2)數(shù)列{an}的通項計算an+1-an確定單調(diào)性求解最大(小)項(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項為負數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=,當n=2,3時,an取得最小值,最小值為-12.(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)-(n+1)=,∴當n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項,最大項為第9,10項,即a9=a10=.解法二:設ak是數(shù)列{an}的最大項, 則整理,得得9≤k≤10,所以k=9或k=10.又a1=<a9=a10,即數(shù)列{an}中的最大項為a9=a10=.求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.(2)可以利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最大項;利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最小項.變式探究：在本例(2)中,若已知數(shù)列的通項公式an=,n∈N*,試求該數(shù)列{an}的最小項.解:設第n項an最小,則即解得所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=>a5=a6,即a5與a6都是數(shù)列的最小項,且a5=a6=.   通過古詩及生活中的情景，引導學生運用數(shù)學眼光，分析問題，進行數(shù)學分析。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。        通過具體問題的思考和分析，幫助學生觀察、分析、歸納總結出數(shù)列的概念。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                      通過數(shù)列概念的解讀，并與集合、函數(shù)概念的比較，深化對數(shù)列概念的理解。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                          通過典型例題，加深學生對數(shù)列概念的理解和運用，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素                 通過典型例題，幫助靈活運用數(shù)列的概念解決問題，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。  三、達標檢測1.下列各項表示數(shù)列的是(　　)A.△,○,☆,□B.2 008,2 009,2 010,…,2 017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項符合.答案:B2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無窮數(shù)列的是(　　)A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知D項正確.答案:D3. 觀察圖中5個圖形的相應小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個圖中有　　　　　小圓圈. 分析:仔細觀察每個圖形中圓圈的個數(shù)與對應順序之間的關系,從而歸納出第n個圖形中小圓圈的個數(shù).解析:觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=log3(2n+1),則a3=　　　　　. 解析:觀察可得數(shù)列的一個通項公式是an=,而5,所以5是該數(shù)列的第19項.答案:19 5.已知數(shù)列,…,則5是該數(shù)列的第　　　　　項. 解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在數(shù)列{an}中,已知an=(n∈N*).(1)寫出a10,an+1.(2)79是不是該數(shù)列中的項?如果是,是第幾項?解:(1)a10=;an+1=.(2)令an==79,解得n=15(n=-16舍去),所以79是該數(shù)列中的項,并且是第15項.7.已知數(shù)列{an}的通項公式an=(k∈R).(1)當k=1時,判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性;(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,求實數(shù)k的取值范圍.分析:對于(1),因為已知數(shù)列的通項公式,所以可以通過比較數(shù)列的相鄰兩項an與an+1的大小來確定數(shù)列的單調(diào)性;對于(2),可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)列,得出an與an+1的大小關系,從而確定k的取值范圍.解:(1)當k=1時,an=,所以an+1=,所以an+1-an=>0,故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.(2)若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,則an+1-an<0恒成立,即an+1-an=<0恒成立.因為(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.  通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結數(shù)列的概念與表示 五、課時練通過總結，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。  學生學習了集合、函數(shù)的概念和性質(zhì)等基本知識，初步掌握了函數(shù)的研究方法，在觀察、抽象、概括等學習策略與學習能力方面，有了一定的基礎.況且，數(shù)列概念的學習并不需要很多的知識基礎，可以說學習數(shù)列的概念并無知識上的困難.這些都是數(shù)列概念教學的有利條件.剛開始高中數(shù)學學習的學生，自己主動地建構概念的意識還不夠強，能力還不夠高.同時，在建立概念的過程中，學生的辨別各種刺激模式、抽象出觀察對象或事物的共同本質(zhì)特征，概括形成概念，并且用數(shù)學語言（符號）表達等方面，會表現(xiàn)出不同的水平，從而會影響整體的教學.