人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊第四章 數(shù)列4.1 數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計

這是一份人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊第四章 數(shù)列4.1 數(shù)列的概念教學(xué)設(shè)計，共9頁。
4.2.1 等差數(shù)列的概念（1）                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 理解等差數(shù)列的概念B.掌握等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用C.掌握等差數(shù)列的判定方法 1.數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列的概念 2.邏輯推理：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運算：通項公式的應(yīng)用4.數(shù)學(xué)建模：等差數(shù)列的應(yīng)用 重點：等差數(shù)列概念的理解、通項公式的應(yīng)用 難點：等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及等差數(shù)列的判定多媒體      教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、    導(dǎo)語    我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究內(nèi)容（如單調(diào)性，奇偶性等）后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項公式和前n項和公式，并應(yīng)用它們解決實際問題和數(shù)學(xué)問題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用，下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡單的數(shù)列入手。二、    新知探究1.北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的示板數(shù)依次為9,18,27,36,45,54,63,72,81               ①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號的女裝上對應(yīng)的尺碼分別是38,40,42,44,46,48                ②3.測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100米處的大氣溫度（單位）依次為25,24,23,22,21                    ③4.某人向銀行貸款萬元，貸款時間為年，如果個人貸款月利率為，那么按照等額本金方式還款，他從某月開始，每月應(yīng)還本金元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為,       ④     在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？1．等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第_2_項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)2．等差中項(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項．(3)滿足的關(guān)系式是a＋b＝2A.1. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列．(    )(2)數(shù)列0,0,0,0，…不是等差數(shù)列．(    )(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中項．(   )×; ×; √問題探究思考1：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項公式嗎？設(shè)一個等差數(shù)列的首項為,公差為,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得= 所以= , = , = ,…于是  + ,+ =(+ ) + + 2,+ =(+ ) + + 3,……歸納可得+() (n)當(dāng)n時，上式為+() ，這就是說,上式當(dāng)時也成立。因此，首項為,公差為的等差數(shù)列的通項公式為+() 思考2：教材上推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操作？[提示]　還可以用累加法，過程如下：∵a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…an－an－1＝d(n≥2)，將上述(n－1)個式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，當(dāng)n＝1時，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列{an}若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項為a1，公差為d，則an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上；(2)這些點的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)， 則這個數(shù)列是等差數(shù)列． (　　)(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān)． (　　) (3)若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定是等差數(shù)列．(       )解析： (1)錯誤．若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不全相等，則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列．(2)正確．當(dāng)d>0時為遞增數(shù)列；d＝0時為常數(shù)列；d<0時為遞減數(shù)列．(3)正確．若a，b，c滿足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c為等差數(shù)列． [答案]　(1)×　(2)√　(3)√3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝2，d＝6.5，則a7＝(　　)A．22　  B．24　　　C．26　　　D．28D　[a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故選D.]4．如果三個數(shù)2a，3，a－6成等差數(shù)列，則a的值為(　　)A．－1       B．1         C．3         D．4D　[由條件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故應(yīng)選D.]三、典例解析例1.（1）已知等差數(shù)列的通項公式為求公差和首項；（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項。分析（1）已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由= ，即可求出公差，（2）可以先根據(jù)數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列的第20項解：（1）當(dāng) 的通項公式為，可得 .于是=()-()=2.把代入通項公式，可得（2）由已知條件，得把 代入+() ,得()=11 把代入上式，得11 所以，這個數(shù)列的第20項是求通項公式的方法(1)通過解方程組求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d寫出通項公式，這是求解這類問題的基本方法．(2)已知等差數(shù)列中的兩項，可用d＝直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d寫出通項公式．(3)抓住等差數(shù)列的通項公式的結(jié)構(gòu)特點，通過an是關(guān)于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求解．跟蹤訓(xùn)練1．(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首項a1與公差d.(2)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a5＝10，a12＝31，則解得∴這個等差數(shù)列的首項a1＝－2，公差d＝3. (2)　法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由題意得解得故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.法三：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，可設(shè)an＝kn＋b.由a15＝8，a60＝20得解得∴a75＝75×＋4＝24.例2 (1)已知m和2n的等差中項是8，2m和n的等差中項是10，則m和n的等差中項是________．(2)已知，，是等差數(shù)列，求證：，，也是等差數(shù)列．[思路探究]　(1)―→―→(2)  (1)6　[由題意得∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.](2)[證明]　∵，，成等差數(shù)列，∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．∵＋＝＝＝＝＝，∴，，成等差數(shù)列．等差中項應(yīng)用策略1.求兩個數(shù)x，y的等差中項，即根據(jù)等差中項的定義得A＝.2.證三項成等差數(shù)列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a，b，c成等差數(shù)列，則有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，則a，b，c成等差數(shù)列. 跟蹤訓(xùn)練2．在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列．[解]　∵－1，a，b，c，7成等差數(shù)列，∴b是－1與7的等差中項，∴b＝＝3.又a是－1與3的等差中項，∴a＝＝1.又c是3與7的等差中項，∴c＝＝5.∴該數(shù)列為：－1，1，3，5，7.   通過導(dǎo)語，通過對函數(shù)學(xué)習(xí)的回顧，幫助學(xué)生類比，展望數(shù)列學(xué)習(xí)的路線。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。             通過具體問題的思考和分析，歸納總結(jié)，抽象出等差數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                        通過等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)，。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。       通過典型例題，加深學(xué)生對等差數(shù)列及其通項公式的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素                                              通過典型例題，幫助靈活運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。  三、達(dá)標(biāo)檢測1．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝5－3n，則此數(shù)列(　　)A．是公差為－3的等差數(shù)列       B．是公差為5的等差數(shù)列C．是首項為5的等差數(shù)列        D．是公差為n的等差數(shù)列A　[等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．對比an＝－3n＋5.故公差為－3.故選A.]2．等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝(　　)A．8　    B．12　　　C．16　　　D．24C　[設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故選C.]3．已知a＝，b＝，則a，b的等差中項為______．　[＝＝＝.]4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10＝____.解析：(方法一)設(shè)an＝a1＋(n－1)d，則即解得∴an＝－2n＋21(n∈N*)．∴a10＝－2×10＋21＝1.(方法二)設(shè)公差為d，∵a8＝a5＋(8－5)×d，∴d＝＝－2，∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.(方法三)設(shè)an＝An＋B，則即解得∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.5．若等差數(shù)列{an}的公差d≠0且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項公式．[解]　由題意得∴解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.故數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié) 五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。  普通高中學(xué)生經(jīng)過一年的高中的學(xué)習(xí)生活，已經(jīng)慢慢習(xí)慣的高中的學(xué)習(xí)氛圍，大部分學(xué)生知識經(jīng)驗已較為豐富，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認(rèn)識，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動過程，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻，應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的能力逐漸加強。他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。