高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計及反思

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)設(shè)計及反思，共7頁。
5.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)                     本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)內(nèi)容通對復(fù)合函數(shù)的概念及其求導(dǎo)法則的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步提高導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能力，同時提升學(xué)生為運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法的滲透。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.了解復(fù)合函數(shù)的概念．B．理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)合函數(shù) 2.邏輯推理：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)   重點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)多媒體      教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo) 一、    新知探究探究1. 如何求解析：方法一：=若求的導(dǎo)數(shù)呢？還有其它求導(dǎo)方法嗎？探究2. 如何求分析：函數(shù)初等函數(shù)通過加、減、乘、除運(yùn)算得到的，所以無法用現(xiàn)有的方法求它的導(dǎo)數(shù)，下面，我們分析這個函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)如果過程可表示為1．復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f (u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f (u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作__________．y＝f (g(x)) 思考：函數(shù)y＝log2(x＋1)是由哪些函數(shù)復(fù)合而成的？[提示]　函數(shù)y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個函數(shù)復(fù)合而成的．探究3：  求函數(shù) 分析：令,得以表示對的導(dǎo)數(shù)，表示對的導(dǎo)數(shù)，一方面， ==2 2 另一方面 = ， =2可以發(fā)現(xiàn)   2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f (g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f (u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝______，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于_________________________ _______．y′u·u′x; y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的; 乘積  1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復(fù)合過程是y＝sin u，u＝πx． (　　)(2)f (x)＝ln(3x－1)則f ′(x)＝． (　　)(3)f (x)＝x2cos2x，則f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　)[提示]　(2)中f ′(x)＝.  (3)中，f ′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是(　　)A．      B．C．－    D．－C　[∵y＝，∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.]3．下列對函數(shù)的求導(dǎo)正確的是(　　)A．y＝(1－2x)3，則y′＝3(1－2x)2B．y＝log2(2x＋1)，則y′＝C．y＝cos，則y′＝sinD．y＝22x－1，則y′＝22xln 2D　[A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A錯誤；B中，y′＝，∴B錯誤；C中，y′＝－sin，∴C錯誤；D中y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正確．]二、    典例解析例6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）     （2）(3) 解：（1）函數(shù) = = 3=（2）函數(shù) = ==（3）函數(shù) = ==1．解答此類問題常犯兩個錯誤(1)不能正確區(qū)分所給函數(shù)是否為復(fù)合函數(shù)；(2)若是復(fù)合函數(shù)，不能正確判斷它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成．2．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟 跟蹤訓(xùn)練1  求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.[解]　(1)函數(shù)y＝e2x＋1可看作函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函數(shù)y＝可看作函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復(fù)合函數(shù)，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.∴y′＝＝＝.例7  某個彈簧振子在振動過程中的位移(單位:mm),關(guān)于時間(單位:s)的函數(shù)滿足關(guān)系式 .求函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義。解： 可以看作函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有 = == 當(dāng)=3時，它表示當(dāng)=3s時，彈簧振子振動的瞬時速度為0mm/s 跟蹤訓(xùn)練2  求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝cos；  (2)y＝x2＋tan x.[思路探究]　先將給出的解析式化簡整理，再求導(dǎo)．[解]　(1)∵y＝cos＝cossin－cos2＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，∴y′＝＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)．(2)因為y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋＝2x＋＝2x＋.三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)要求對三角函數(shù)型函數(shù)的求導(dǎo)，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數(shù)式進(jìn)行化簡，再進(jìn)行求導(dǎo).復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則熟悉后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運(yùn)用公式，從外層開始由外到內(nèi)逐層求導(dǎo).   提出問題，開門見山，引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                               通過對復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則的推導(dǎo)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。                              通過典型例題的分析和解決，幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1．函數(shù)y＝(x2－1)n的復(fù)合過程正確的是(　　)A．y＝un，u＝x2－1　               B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n                D．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]　A2．函數(shù)y＝x2cos 2x的導(dǎo)數(shù)為(　　)A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2xB．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2xsin 2xD．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2xB　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]3．已知f (x)＝ln(3x－1)，則f ′(1)＝________.　[f ′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f ′(1)＝＝.]4．已知f (x)＝xe－x，則f (x)在x＝2處的切線斜率是________．－　[∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，∴f ′(2)＝－.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f (x)在x＝2處的切線斜率為k＝f ′(2)＝－.]5．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝x.[解]　(1)令u＝3x－2，則y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.2)令u＝ex＋x2，則y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.(3)y′＝(x)′＝＋x()′＝＋＝.6.曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是?解：設(shè)曲線y＝ln(2x－1)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．∵y′＝，∴y′|＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．∴切點(diǎn)(1，0)到直線2x－y ＋3＝0的距離為d＝＝，即曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離是.  通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo)；③計算結(jié)果盡量簡潔．2．和與差的運(yùn)算法則可以推廣[f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)．五、課時練通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。    從問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，并通過思考、討論、練習(xí)進(jìn)一步提升學(xué)生的求導(dǎo)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。