專題03 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題四種模型全攻略-《?？級狠S題》2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略（蘇科版）

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?專題03 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系壓軸題四種模型全攻略

考點一 已知一元二次方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求另一個解
考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題

典型例題


考點一 已知一元二次方程的一個解，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求另一個解
例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關(guān)于x的方程有一個根是2，則另一個根是（???????）
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由根和系數(shù)的關(guān)系即可求得方程的另一個根．
【詳解】
解：設(shè)另一個根為m，由根和系數(shù)的關(guān)系有：
解得
故選：B．
【點睛】
本題考查一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇南京·二模）關(guān)于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
設(shè)方程的另一個根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．
【詳解】
解：設(shè)方程的另一個根為t，
根據(jù)題意得1×t=-2，解得t=-2．
故答案為：-2．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．
2．（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為 _____．
【答案】-4
【解析】
【分析】
設(shè)該方程的兩根為x1，x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和，結(jié)合“已知關(guān)于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1”，即可得到答案．
【詳解】
設(shè)該方程的兩根為x1，x2，
則x1+x2＝﹣3，
∵該方程的一個根為1，
∴另一個根為：﹣3﹣1＝﹣4，
故答案為：﹣4．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解，正確掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

考點二 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值
例題：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的兩個實數(shù)根為a，b，則的值為_______．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到然后利用整體代入的方法計算．
【詳解】
解：根據(jù)題意得

故答案為：
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，若是一元二次方程的兩根時，則
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·貴州六盤水·九年級期末）若a，b是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根，則___．
【答案】2020
【解析】
【分析】
由a，b是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根得，，，再整理代數(shù)式即可求得答案．
【詳解】
解： a，b是的兩個實數(shù)根，
，a+b=2,
即，
，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系找出，是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·江西贛州·九年級期中）若m，n是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是______
【答案】-5
【解析】
【分析】
先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+2m+1=0，則m2+2m=-1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=-2，再將其代入整理后的代數(shù)式計算即可．
【詳解】
解：∵m是一元二次方程x2+2x+1=0的根，
∴m2+2m+1=0，
∴m2+2m=-1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x+1=0的兩個根，
∴m+n=-2，
∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=-1+2×（-2）=-5．
故答案為：-5．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．
考點三 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求參數(shù)問題
例題：（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．
【詳解】
解：∵關(guān)于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數(shù)根是x1和x2，且x1+x2＝4，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，
解得：m＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于的方程的兩實數(shù)根為，，若，則的值為（???????）
A． B． C．或3 D．或3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用根與系數(shù)的關(guān)系以及求解即可．
【詳解】
解：由題意可知：，且
∵，
∴，解得：或，
∵，即，
∴，
故選：A
【點睛】
本題考查根與系數(shù)的關(guān)系以及根據(jù)方程根的情況確定參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵是求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出或（舍去）．
2．（2022·四川瀘州·二模）已知是關(guān)于x的一元二次方程兩個實數(shù)根，且，則a＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得．
【詳解】
解：由題意，此方程根的判別式，
解得，
是關(guān)于的一元二次方程兩個實數(shù)根，
，
，
，
，
解得或（舍去），
故答案為：2．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

考點四 一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的綜合問題
例題：（2022年四川省南充市中考數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍．
(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為，若，求k的值．
【答案】(1)k；
(2)k=3
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開代入計算即可得到k值．
(1)
解：∵一元二次方程有實數(shù)根．
∴?0，即32-4（k-2）0，
解得k
(2)
∵方程的兩個實數(shù)根分別為，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【點睛】
此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在實數(shù)，滿足？若存在，求出實數(shù)的值？若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)存在；或
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，求出m的范圍即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，把x1的值代入計算求出x2，進而求出m的值即可；
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，代入已知等式計算，判斷即可．
(1)
解：∵關(guān)于的一元二次方程有，兩個實數(shù)根，
∴，
解得；
(2)
解：∵，，，
∴，
∴，
解得；
(3)
解：存在，理由如下：∵，，，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴，
解得，．
【點睛】
此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式意義是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖北荊門·一模）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．
【答案】(1)見解析；
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根的判別式判斷即可；
（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方公式的變形求值即可．
(1)
解：∵一元二次方程，
，


∴無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)
解：依題意得，，，
∵，∴，
∴，即，
（3a+1）（a-1）=0，
解得，；
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，．








課后訓(xùn)練


一、選擇題
1．（2022·甘肅慶陽·二模）若關(guān)于x的一元二次方程的一個根為x＝－1，則這個方程的另一根為（???????）
A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝2 D．x＝－2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)韋達定理即可得出答案．
【詳解】
解：根據(jù)韋達定理有，
即－x2＝－3，
解得x2＝3．
故選A．
【點睛】
本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理），熟練掌握此知識點是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·九年級期末）已知實數(shù)a，b分別滿足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，則a2+b2的值為（　?。?br /> A．36 B．50 C．28 D．25
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式變形得到原式＝再利用整體代入的方法計算即可．
【詳解】
解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的兩根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝62﹣2×4
＝28，
故選：C．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
3．（2022·山東·臨沂市河?xùn)|區(qū)教育科學(xué)研究與發(fā)展中心二模）關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，且，則的值為（???????）
A．1 B．5 C．0或5 D．1或5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)一元二次方程根的判別式求出的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得和的值，然后代入計算即可得．
【詳解】
解：關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，，
方程根的判別式，，
解得，
當時，方程為，解得，不符題意，
則，
，
，
解得或（舍去），
經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解，
故選：B．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的判別式、以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2022·山東煙臺·一模）已知一元二次方程的兩個根分別為，則的值為（???????）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再代入通分計算即可求解．
【詳解】
∵方程的兩根分別為、，
∴，，
∴，
∴=
=
=
=


故選：B．
【點睛】
本題主要考查了一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練運用一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測）已知方程的兩根分別是，，則的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出答案．
【詳解】
解：∵方程的兩根分別是，，
∴；
故答案為：．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握．
6．（2022·江蘇南京·二模）設(shè)x1、x2是方程x2?mx=0的兩個根，且x1+x2=?3，則m的值是______．
【答案】-3
【解析】
【分析】
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=m，結(jié)合x1+x2=-3可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵x1、x2是方程x2?mx=0的兩個根，
∴x1+x2=m．
∵x1+x2=-3，
∴m=-3．
故答案為：-3．
【點睛】
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．
7．（2022·江西九江·三模）已知，是一元二次方程的兩根，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程根的定義可得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，代入即可求解．
【詳解】
解：∵，是一元二次方程的兩根，
∴，，
則．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，若是一元二次方程的兩根，，．
8．（2022·江西吉安·一模）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，若，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=3，mn=a，左邊分解因式后即可求得a的值．
【詳解】
∵，是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，
∴m+n=3，mn=a，
∵，
∴，
即，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因式分解，解一元一次方程等知識，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．
三、解答題
9．（2022·山東淄博·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根．
(1)求實數(shù)k的取值范圍；
(2)當時，方程的兩根為，，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有實數(shù)根，即根的判別式；
（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答．
(1)
解：根據(jù)題意，可知，
∴，
∴；
(2)
當時，原方程變?yōu)椋?br /> ∵x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，，，
∴原式


．




【點睛】
本題考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
10．（2022·河南濮陽·八年級期中）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)若此方程的兩實數(shù)根滿足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則，由此求得的取值范圍；
（2）由得，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．
(1)
解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
，
解得．
(2)
解：根據(jù)題意得，，．
，
，
即，
解得或，
又，
．
【點睛】
本題考查了一元二次方程的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握兩根之和與兩根之積的表達式是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2022·河南濮陽·八年級期中）已知的兩邊的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根.
(1)當時，求的周長；
(2)當為何值時，是菱形？求此時菱形的邊長.
【答案】(1)7
(2)當時，是菱形菱形的邊長為
【解析】
【分析】
（1）代入x=可求出a值，將a值代入原方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求出AB+AD的長，再利用平行四邊形的周長=相鄰兩邊之和×2，即可求出結(jié)論．
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AB=AD，利用根的判別式Δ=0可求出a值，將a=1代入原方程，解之可得出此時菱形的邊長；
(1)
將x=3代入原方程得：
解得：
原方程為

的周長為
(2)
（1）當AB=AD時，平行四邊形ABCD是菱形，
∴Δ=（-4a）2-4×4×（2a-1）=0，
∴a1=a2=1．
將a=1代入原方程得：4x2-4x+1=0，
即（2x-1）2=0，
∴x1=x2=，
∴此時菱形的邊長為．
當時，是菱形菱形的邊長為．
【點睛】
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、根的判別式、解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用根的判別式Δ=0，找出關(guān)于a的方程；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出平行四邊形相鄰兩邊之和．
12．（2022·全國·九年級單元測試）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩實數(shù)根．
(1)若這個方程有一個根為-1，求m的值；
(2)若這個方程的一個根大于-1，另一個根小于-1，求m的取值范圍；
(3)已知Rt△ABC的一邊長為7，x1，x2恰好是此三角形的另外兩邊的邊長，求m的值．
【答案】(1)m的值為1或-2
(2)-2＜m＜1
(3)m＝或m＝
【解析】
【分析】
（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；
（2）首先用m表示出方程的兩根，然后列出m的不等式組，求出m的取值范圍；
（3）首先用m表示出方程的兩根，分直角△ABC的斜邊長為7或2m+3,根據(jù)勾股定理求出m的值.
(1)
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩實數(shù)根，這個方程有一個根為-1，
∴將x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．
解得m＝1或m＝-2．
∴m的值為1或-2．
(2)
解：∵x2-4mx+4m2＝9，
∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．
∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．
∵2m+3＞2m-3，
∴
解得-2＜m＜1．
∴m的取值范圍是-2＜m＜1．
(3)
解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的兩根分別為2m+3，2m-3．
若Rt△ABC的斜邊長為7，
則有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．
解得m＝±．
∵邊長必須是正數(shù)，
∴m＝．
若斜邊為2m+3，則(2m+3)2＝(2m-3)2+72．
解得m＝．
綜上所述，m＝或m＝．
【點睛】
本題主要考查了根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系以及根的判別式的知識，此題難度一般.