專題05 圓與圓的對稱性壓軸題五種模型全攻略-《常考壓軸題》2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略（蘇科版）

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?專題05 圓與圓的對稱性壓軸題五種模型全攻略

考點一 圓的基本概念
考點二 判斷點與圓的位置關(guān)系
考點三 利用垂徑定理求值
考點四 垂徑定理的實際應(yīng)用
考點五 垂徑定理的推論

典型例題


考點一 圓的基本概念
例題：（2022·上海民辦建平遠翔學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列說法正確的是（???????）
A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑
C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．
【詳解】
解：A、半圓是弧，正確，符合題意；
B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；
C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；
D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點睛】
本題考查了圓的認識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東煙臺·九年級期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（???????）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進行分析．
【詳解】
解：直徑是圓中最長的弦，說法正確，符合題意；
經(jīng)過不在同一條直線上的三點一定可以作圓，不符合題意；
圓有無數(shù)條對稱軸，符合題意；
沒有強調(diào)是在同圓或等圓中，不符合題意；
正確的說法有2個，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了圓的認識，關(guān)鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長度一定大于劣弧的長度．
2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)九年級期中）下列判斷正確的個數(shù)有（???????）
①直徑是圓中最大的弦；
②長度相等的兩條弧一定是等??；
③半徑相等的兩個圓是等圓；
④弧分優(yōu)弧和劣弧；
⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等弧．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】
【詳解】
①直徑是圓中最大的弦；故①正確，
②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等?。还盛诓徽_
③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確
④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確
⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側(cè)，故不一定相等，則⑤不正確．
綜上所述，正確的有①③
故選B
【點睛】
本題考查了圓相關(guān)概念，掌握弦與弧的關(guān)系以及相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
考點二 判斷點與圓的位置關(guān)系
例題：（2022·浙江寧波·九年級期末）已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為d，若點P在圓內(nèi)，則d的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)點與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．
【詳解】
解：∵點P在圓內(nèi)，且⊙O的半徑為5，
∴0≤d＜5，
故選：D．
【點睛】
此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握點與圓的位置關(guān)系有3種：⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：①點P在圓外?d＞r，②點P在圓上?d=r，③點P在圓內(nèi)?d＜r．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個點的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．點A，點B都在⊙O上 B．點A在⊙O上，點B在⊙O外
C．點A在⊙O內(nèi)，點B在⊙O上 D．點A，點B都在⊙O外
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理，可得OA、OB的長，根據(jù)點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
【詳解】
解：∵OA＝＝5，
OB＝＝＞5，
∴點A在⊙O上，點B在⊙O外．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．
2．（2021·全國·九年級期中）已知⊙O的半徑為6cm，當(dāng)線段OA＝8cm時，點A和⊙O的位置關(guān)系是_________．
【答案】點A在⊙O外
【解析】
【分析】
根據(jù)點與圓的位置關(guān)系進行判斷．
【詳解】
解：∵⊙O的半徑為6cm，OA＝8cm，
∴OA＞⊙O的半徑，
∴點A在⊙O外．
故答案為點A在⊙O外．
【點睛】
本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．

考點三 利用垂徑定理求值
例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（???????）

A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OA，先計算OM=，根據(jù)垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計算AM，根據(jù)垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．
【詳解】
連接OA，
∵⊙O的直徑CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，

∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，
∴AM==8，
∴AB=2AM=16，
故選C．
【點睛】
本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（???????）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先畫好一個圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；
【詳解】
連接AC，AO，

∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
當(dāng)C點位置如圖1所示時，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
當(dāng)C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故選C．
【點睛】
本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論，熟練運用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．

【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理可將AC的長求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．
【詳解】
解：如圖，連結(jié)OA，

則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案為3．
【點睛】
本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．

考點四 垂徑定理的實際應(yīng)用
例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（???????）cm．

A．10 B．14 C．26 D．52
【答案】D
【解析】
【分析】
如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而 再利用勾股定理建立方程即可．
【詳解】
解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，
則

設(shè)圓的半徑為r，而


解得：
圓柱形容器的截面直徑為52cm．
故選D
【點睛】
本題考查的是垂徑定理的實際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．

【答案】26
【解析】
【分析】
令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進而求出半徑．
【詳解】
解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案為：26．

【點睛】
本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握圓的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
2．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．

【答案】3
【解析】
【分析】
過O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長即可．
【詳解】
解：過O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：

則AD=BD=AB=4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），
即圓心O到水面AB的距離為3米，
故答案為：3．
【點睛】
本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．

考點五 垂徑定理的推論
例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（???????）
A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心
C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理及其推論分別進行判斷．
【詳解】
A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；
B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項為真命題；
C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；
D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．
故選：A．
【點睛】
本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·云南省個舊市第二中學(xué)九年級期中）下列語句中不正確的有（?　?）???
①長度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條弧；⑤半圓是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對稱性對每個語句分別進行判斷即可.
【詳解】
因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；
垂直于弦的直徑平分弦說法正確；
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；
平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；
半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；
不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，
∴不正確的語句有4個，
故選：B
【點睛】
本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.
2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級期末）下列說法正確的是（???????）
A．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
C．等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等
D．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對AC進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對B進行判斷；根據(jù)對稱軸的定義對D進行判斷．
【詳解】
解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以本選項錯誤；
B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以本選項錯誤；
C、等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所以本選項正確；
D、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項錯誤；
故選：C．
【點睛】
本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．










課后訓(xùn)練


一、選擇題
1．（2021·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（???????）
①平分弦的直徑，必垂直于這條弦；
②圓的切線垂直于圓的半徑；
③三點確定一個圓；
④同圓或等圓中；等弦所對的圓周角相等．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理的推論可判斷①，根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷②，根據(jù)確定圓的條件可判斷③，根據(jù)圓周角與弦的關(guān)系可判斷④．
【詳解】
解：①平分弦（不是直徑）的直徑，必垂直于這條弦；
②圓的切線垂直于過切點的半徑；
③平面內(nèi)不共線三點確定一個圓；
④同圓或等圓中；等弦所對的圓周角相等或互補．
故沒有正確的．
故選A
【點睛】
本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質(zhì)，確定圓的條件，圓周角與弦的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·遼寧撫順·九年級階段練習(xí)）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點P在邊AB上，且AP＝3，如果⊙P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（　?。?br /> A．點B、C均在⊙P內(nèi) B．點B在⊙P上、點C在⊙P內(nèi)
C．點B、C均在⊙P外 D．點B在⊙P上、點C在⊙P外
【答案】D
【解析】
【分析】
如圖所示，連接DP，CP，先求出BP的長，然后利用勾股定理求出PD的長，再比較PC與PD的大小，PB與PD的大小即可得到答案．
【詳解】
解：如圖所示，連接DP，CP，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵，
∴PB=PD，
∴，
∴點C在圓P外，點B在圓P上，
故選D．

【點睛】
本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟知用點到圓心的距離與半徑的關(guān)系去判斷點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（?????）

A．16 B．13 C．10 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OC，可知OC=OB，設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直徑AB．
【詳解】
解：如圖，連接OC，則OB=OC，

∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E，
∴CE=DE=4，
∵OE∶OB＝3∶5，
設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=1，
∴OB=5，即AB=10．
故選：C．
【點睛】
本題主要考查的是圓的垂徑定理，以及勾股定理的應(yīng)用，合理利用線段比例關(guān)系構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級期末）如圖，在矩形中，，．若以點B為圓心，以4cm長為半徑作OB，則下列選項中的各點在外的是（???????）

A．點A B．點B C．點C D．點D
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理求出BD的長，進而得出點A，C，D與⊙B的位置關(guān)系．
【詳解】
解：連接BD，

在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴點D在⊙B外，點C在⊙B上，點A在⊙B內(nèi)．
故選：D．
【點睛】
此題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①如果點P在圓外，那么d＞r；②如果點P在圓上，那么d＝r；③如果點P在圓內(nèi)，那么d＜r．反之也成立．
5．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（???????）

A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意知，秋千擺至最低點時，點D為的中點，由垂徑定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根據(jù)勾股定理求得OA即可．
【詳解】
解：∵點D為的中點，
∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故選：B．
【點睛】
本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，將實際問題抽象為幾何問題是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·黑龍江七臺河·九年級期末）若兩個圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個圓的位置關(guān)系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意比較兩個圓的半徑的和差與圓心距的關(guān)系，即可得出答案．
【詳解】
由題意可知r1=3，r2=4，d=5，可知4-3＜5＜4+3，
即r2-r1＜d＜r2+r1．
所以兩個圓相交．
故答案為：相交.
【點睛】
本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，掌握兩個圓的半徑的和差與圓心距的關(guān)系是判斷的關(guān)鍵，即相切，相交，相離．
7．（2021·江蘇泰州·九年級期中）已知⊙O與點P在同一平面內(nèi)，若⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，則點P與⊙O的位置關(guān)系是 _________．
【答案】點P在⊙O內(nèi)
【解析】
【分析】
比較⊙O的半徑為r與點P到圓心的距離的大小，進而判斷點與圓的位置關(guān)系．
【詳解】
解：∵⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，
∴⊙O的半徑＞線段OP的長，
∴點P在⊙O內(nèi)，
故答案為：點P在⊙O內(nèi)．
【點睛】
本題考查的是點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內(nèi)?d＜r．
8．（2020·全國·九年級期中）下列說法：①半徑為3cm且經(jīng)過點P的圓有無數(shù)個；②直徑是圓的對稱軸；③菱形的四個頂點在同一個圓上；④平分弦的直徑垂直于這條弦．其中真命題有___．（填序號）
【答案】①
【解析】
【分析】
根據(jù)圓的定義判斷①為真命題；根據(jù)對稱軸是直線，判斷②為假命題；根據(jù)菱形的性質(zhì)及四點共圓判斷③是假命題；根據(jù)垂徑定理判斷④為假命題．
【詳解】
解：①半徑為3cm且經(jīng)過點P的圓有無數(shù)個，本說法是真命題，符合題意；
②直徑所在的直線是圓的對稱軸，本說法是假命題，不符合題意；
③菱形的四個頂點不一定在同一個圓上，本說法是假命題，不符合題意；
④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，本說法是假命題，不符合題意；
故答案為：①．
【點睛】
本題主要考查了圓的定義及性質(zhì)，正確理解相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學(xué)校九年級期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_________平方米．

【答案】40
【解析】
【分析】
由題意可知OC⊥AB于D，交圓弧于C，由垂徑定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面積公式即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：由題意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝8米，
在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面積＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），
故答案為：40．
【點睛】
本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是 ______．

【答案】6
【解析】
【分析】
過O點作OH⊥AB于H，連接OB，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理計算出OH，然后根據(jù)垂線段最短求解．
【詳解】
解：如圖，過O點作OH⊥AB于H，連接OB，

∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，
在Rt△BOH中，由勾股定理可得：
，
∴線段OP長的最小值為6．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．

【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．
【詳解】
解：∵E點為AF中點，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【點睛】
本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
12．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）已知A為上的一點，的半徑為1，所在的平面上另有一點P．
（1）如果，那么點P與有怎樣的位置關(guān)系？
（2）如果，那么點P與有怎樣的位置關(guān)系？
【答案】（1）點P在外；（2）點P可能在外，也可能在內(nèi)，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．
【解析】
【分析】
（1）點和圓的位置關(guān)系有：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)，再逐個判斷即可；
（2）點和圓的位置關(guān)系有①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)，再逐個判斷即可．
【詳解】
解：（1），的直徑為2
點的位置只有一種情況在圓外，
即點與的位置關(guān)系是點在圓外．
（2），的直徑為2
點的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)．
即點P可能在外，也可能在內(nèi)，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．
【點睛】
本題考查了圓的認識的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是做注意多種情況的考慮，注意：點和圓有三種位置關(guān)系：點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)．
13．（2022·重慶·九年級期末）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度（即的中點到弦AB的距離）為4cm，求這個圓形截面所在圓的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)10cm
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和方法做出圖即可，
（2）先過圓心O作半徑CO⊥AB，交AB于點D，設(shè)半徑為r，得出AD、OD的長，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑．
(1)
如圖所示，⊙O為所求作的圓形截面．

(2)
如圖，作半徑OC⊥AB于D，連接OA，

則AD＝AB＝8 cm，點C為的中點，
進而，CD＝4 cm．
設(shè)這個圓形截面所在圓的半徑為r cm，則OD＝（r－4） cm．
在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，
解得r＝10．
即這個圓形截面所在圓的半徑為10 cm．
【點睛】
此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進行求解．
14．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E．


(1)求證：四邊形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)ACAB，ODAB，OEAC，可得四邊形ADOE是矩形，由垂徑定理可得AD=AE，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可證；
（2）連接OA，由勾股定理可得．
(1)
證明：∵ACAB，ODAB，OEAC，
∴四邊形ADOE是矩形，，，
又∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四邊形ADOE是正方形．
(2)
解：如圖，連接OA，

∵四邊形ADOE是正方形，
∴cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm，
即⊙O的半徑為cm．
【點睛】
本題考查圓與正方形，熟練掌握正方形的判定方法、圓有關(guān)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學(xué)一模）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：

(1)如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，求AB長；
(2)如圖2，弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過的中點D，，求的半徑．
【答案】(1)cm
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）如圖1，作交于，交于，連接，由題意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求的值；
（2）如圖2，延長交于，連接，設(shè)半徑為，由題意知，由折疊和中點的性質(zhì)可知，在中，由勾股定理得，即，求出滿足要求的解即可．
(1)
解：如圖1，作交于，交于，連接

由題意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的長為．
(2)
解：如圖2，延長交于，連接，設(shè)半徑為

由題意知，由折疊和中點的性質(zhì)可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合題意，舍去）
∴半徑的長為．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．