專題09 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差壓軸題四種模型全攻略-《?？級狠S題》2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略（蘇科版）

這是一份專題09 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差壓軸題四種模型全攻略-《常考壓軸題》2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略（蘇科版），文件包含專題09平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差壓軸題四種模型全攻略原卷版docx、專題09平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差壓軸題四種模型全攻略解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁， 歡迎下載使用。
?專題09 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差壓軸題四種模型全攻略

考點一 求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、已知平均數(shù)求某一數(shù)據(jù) 考點二 加權(quán)平均數(shù)
考點三 求中位數(shù)、眾數(shù)、利用中位數(shù)、眾數(shù)求某一數(shù)據(jù) 考點四 求方差及做決策
典型例題


考點一 求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、已知平均數(shù)求某一數(shù)據(jù)
例題：（2022·廣東廣州·八年級期末）某學(xué)校在開展“生活垃圾分類星級家庭”評選活動中，從八年級任選出10名同學(xué)匯報了各自家庭1天生活垃圾收集情況，將有關(guān)數(shù)據(jù)整理如下表：
生活垃圾收集量（單位：kg）
0.5
1
1.5
2
同學(xué)數(shù)（人）
2
3
4
1
請你計算每名同學(xué)家庭平均1天生活垃圾收集量是（???????）
A．0.9kg B．1kg C．1.2kg D．1.8kg
【答案】C
【分析】計算平均數(shù)即可．
【詳解】解：每名同學(xué)家庭平均1天生活垃圾收集量是（kg），
故選：C．
【點睛】此題考查了平均數(shù)的計算公式，正確理解題意并掌握平均數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南·長沙市第十五中學(xué)八年級期末）一組數(shù)據(jù)2，1，4，x，6的平均值是4，則x的值為（????????????）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)2，1，4，x，6的平均值是4，
∴，
解得：．
故選：D
【點睛】本題主要考查了根據(jù)平均數(shù)求未知量，熟練掌握平均數(shù)等于一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·河南開封·八年級期末）下面是某校八年級（1）班一組女生的體重（單位：kg）36，35，45，42，33，40，42，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______．
【答案】39
【分析】利用算術(shù)平均數(shù)的計算公式即可得．
【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，
故答案為：39．
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，熟記公式是解題關(guān)鍵．
3．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校七年級期中）已知一組數(shù)據(jù)2，4，a，7，7的平均數(shù)是5，則a＝_________．
【答案】5
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式： ，求出a的值即可．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)2，4，a，7，7的平均數(shù)是5，
∴2+4+a+7+7=25，
解得a=5，
故答案為：5
【點睛】本題主要考查的是平均數(shù)的求法，一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為 ．
4．（2022·山東濟寧·八年級期末）已知數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4的平均數(shù)是x，則2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均數(shù)是 _____．
【答案】2x+1
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4的平均數(shù)是x，數(shù)據(jù)2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均數(shù)與數(shù)據(jù)中的變化規(guī)律相同，即可得到答案．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)a1，a2，a3，a4的平均數(shù)是x，
∴a1+a2+a3+a4=4x
∴2a1+1+2a2+1+2a3+1+2a4+1=2(a1+a2+a3+a4)+4=2×4x+4=8x+4
∴2a1+1，2a2+1，2a3+1，2a4+1的平均數(shù)是：(8x+4)÷4=2x+1
故答案為：2x+1．
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．

考點二 加權(quán)平均數(shù)
例題：（2022·浙江寧波·八年級期中）浙江某大學(xué)部分專業(yè)采用“三位一體”的形式進行招生，現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生，他們各自的三類成績（已折算成滿分100分）如表所示：
學(xué)生
學(xué)業(yè)水平測試成績
綜合測試成績
高考成績
甲
85
89
81
乙
88
81
83
(1)如果根據(jù)三項得分的平均數(shù)，那么哪位同學(xué)排名靠前？
(2)“三位一體”根據(jù)入圍考生志愿，按綜合成績從高分到低分擇優(yōu)錄取，綜合成績按“學(xué)業(yè)水平測試成績×20%+綜合測試成績×20%+高考成績×60%”計算形成，那么哪位同學(xué)排名靠前？
【答案】(1)甲同學(xué)排名靠前
(2)乙同學(xué)排名靠前
【分析】（1）利用平均數(shù)的公式即可直接求解，即可判斷；
（2）利用加權(quán)平均數(shù)公式求解，即可判斷．
（1）
解：甲的平均數(shù)為分，
乙的平均數(shù)為分，
∵85＞84，
∴根據(jù)三項得分的平均數(shù)，甲同學(xué)排名靠前；
（2）
解：甲同學(xué)的綜合成績?yōu)榉郑?br /> 乙同學(xué)的綜合成績?yōu)榉郑?br /> ∵83.6＞83.4，
∴乙同學(xué)排名靠前．
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的計算．熟練掌握算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林長春·八年級期末）21世紀(jì)已經(jīng)進入了中國太空時代，2021年到2022年，我國會通過11次航天發(fā)射完成空間站建設(shè)，空間站有“天和”核心艙、“問天”和“夢天”兩個實驗艙，我國空間站的建成將為開展太空實驗及更廣泛的國際合作提供精彩舞臺校團委以此為契機，組織了“中國夢，航天情”系列活動．下面是八年級甲、乙兩個班各項目的成績（單位：分）：
項目班次
知識競賽
演講比賽
版面創(chuàng)作
甲
85
91
88
乙
90
84
87
(1)如果根據(jù)三項成績的平均分計算最后成績，請通過計算說明甲、乙兩班誰將獲勝；
(2)如果將知識競賽、演講比賽、版面創(chuàng)作按5：3：2的比例確定最后成績，請通過計算說明甲、乙兩班誰將獲勝．
【答案】(1)甲班將獲勝
(2)乙班將獲勝
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計算方法可以解答本題；
（2）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算方法可以解答本題．
（1）甲班的平均分為：（分），乙班的平均分為：（分），∵，∴甲班將獲勝；
（2）由題意可得，甲班的平均分為：（分），乙班的平均分為：（分），∵，∴乙班將獲勝．
【點睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確加權(quán)平均數(shù)的計算方法．
2．（2023·福建泉州·八年級期末）2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船成功發(fā)射，標(biāo)志著中國空間站計劃進入了一個新時代．學(xué)校團委組織了“中國夢·航天情”系列競賽活動．下表是八年級甲，乙兩個班級各項目比賽成績（單位：分）．
項目班次
知識競賽
演講比賽
板報評比
甲
85
91
88
乙
90
84
87
(1)如果根據(jù)三項成績的平均分計算最后成績，請你通過計算，說明甲、乙兩班誰將獲勝？
(2)如果將知識競賽、演講比賽、板報評比按5：3：2的比例確定最后成績，請你通過計算，說明甲乙兩班誰將獲勝？
【答案】(1)甲班將獲勝
(2)乙班將獲勝
【分析】(1)根據(jù)求平均數(shù)公式，分別求得甲、乙兩班的平均分，據(jù)此即可解答；
(2)根據(jù)求加權(quán)平均數(shù)公式，分別求得甲、乙兩班的平均分，據(jù)此即可解答．
（1）解：甲班的平均分為：（分），乙班的平均分為：（分），，甲班將獲勝；
（2）解：由題意，得甲班的平均分為：（分），（或(分)），乙班的平均分為：（分），(或（分）)，，乙班將獲勝．
【點睛】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)，熟練掌握和運用求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)公式是解決本題的關(guān)鍵．

考點三 求中位數(shù)、眾數(shù)、利用中位數(shù)、眾數(shù)求某一數(shù)據(jù)
例題：（2022·江蘇鹽城·八年級期中）江蘇今年4月5日部分市區(qū)的最高氣溫如下表；
市
南京
蘇州
無錫
徐州
無錫
鹽城
南通
常州
淮安
連云港
最高氣溫
19
18
19
20
19
18
18
18
18
19
則這10個市區(qū)該日最高氣溫的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（???）
A．18，19 B．18，18.5 C．19，18 D．18，18
【答案】B
【分析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序重新排列，再根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可．
【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)按從小到大重新排列為：18、18、18、18、18、19、19、19、19、20，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為18，中位數(shù)為．
故選：B．
【點睛】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的方法：找出頻數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，若幾個數(shù)據(jù)頻數(shù)都是最多且相同，此時眾數(shù)就是這多個數(shù)據(jù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．理解和掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·浙江紹興·八年級階段練習(xí)）某車間20名工人日加工零件數(shù)如下表所示：
日加工零件數(shù)
5
6
7
8
人數(shù)
6
5
4
3
這些工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（??????????）
A．5、6 B．5、5 C．6、5 D．4、4
【答案】A
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進行解答即可．
【詳解】解：∵5出現(xiàn)了6次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴這些工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)是5；
把這些數(shù)從小到大排列，則中位數(shù)是=6；
故選A．
【點睛】本題考查了眾數(shù)與中位數(shù)的意義．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．
2．（2022·山西·古縣教育局教學(xué)研究室八年級期末）某水果超市購進一批油桃，每箱油桃的質(zhì)量約為5千克，在銷售前，為了確定油桃每箱的質(zhì)量，隨機抽出20箱稱重，得到的油桃質(zhì)量如下表：
油桃的箱數(shù)（箱）???
2
3
5
6
4
每箱油桃的質(zhì)量（千克）
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
根據(jù)表格提供的信息，可以估計購進這批油桃每箱質(zhì)量的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（???????）

A．5.0千克，5.1千克 B．5.1千克，5.1千克 C．5.05千克，5.0千克 D．5.05千克，5.1千克
【答案】D
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：從小到大排列后位于第10位和第11位的分別是5.0，5，1，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5.1，
∴中位數(shù)為（5.0+5.1）÷2=5.05千克，眾數(shù)是5.1千克．
故選：D
【點睛】本題主要考查了求中位數(shù)和眾數(shù)，熟練掌握中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)從大到小（或從小到大）排列后，位于正中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·河北唐山·八年級期末）一組數(shù)據(jù)2，3，5，x，7，4，6，9的眾數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是__________．
【答案】4.5
【分析】根據(jù)組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4，可得x=4，再根據(jù)中位數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)2，3，5，x，7，4，6，9的眾數(shù)是4，
∴x=4，
把這一組數(shù)據(jù)從小到大排列為2，3，4，4，5，6，7，9，
位于正中間兩個數(shù)的是4，5，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（4+5）÷2=4.5．
故答案為：4.5
【點睛】本題主要考查了求中位數(shù)，眾數(shù)，熟練掌握中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)從大到?。◤男〉酱螅┡帕泻笪挥谡虚g的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山東濱州·八年級期末）從小到大的一組數(shù)據(jù)-2，1，2，，6，10的中位數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是___________．
【答案】2
【分析】先利用中位數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)眾數(shù)的定義即可求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).
【詳解】解：∵從小到大的一組數(shù)據(jù)-2，1，2，，6，10的中位數(shù)為2，
∴，
2出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，
故答案為：2.
【點睛】本題主要考查了眾數(shù)，中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
5．（2021·山東煙臺·八年級期中）2021年正值中國共產(chǎn)黨百年華誕，為普及黨史知識，培養(yǎng)愛國主義精神，今年五月份，某市黨校舉行了黨史知識競賽，每個班級各選派15名學(xué)員參加了網(wǎng)上測試，現(xiàn)對測試成績最好的甲、乙兩班學(xué)生的分?jǐn)?shù)進行整理分析如下：

甲班15名學(xué)員測試成績（滿分100分）統(tǒng)計如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名學(xué)員測試成績（滿分100分）統(tǒng)計如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
(1)按如下分?jǐn)?shù)段整理兩班測試成績
班級
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5～100
甲
1
2
4
a
1
2
乙
0
3
3
6
2
1

表中a＝________；
(2)補全甲班15名學(xué)員測試成績的頻數(shù)分布直方圖；

(3)兩班測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差如表所示：
班級
平均數(shù)
眾數(shù)
中位數(shù)
方差（精確到0.1）
甲
86
87
y
44.8
乙

x
88
36.7
表中x＝________，y＝________．
乙班的平均數(shù)數(shù)據(jù)被咖啡漬污染，請你運用所學(xué)知識求出乙班平均數(shù)．
(4)你能通過所學(xué)知識分析一下以上兩個班級學(xué)員掌握黨史相關(guān)知識的整體水平較好的是哪個班？請闡述理由．
【答案】(1)5
(2)見詳解
(3)88，86；乙班平均數(shù)86
(4)乙，理由見詳解
【分析】（1）由甲班15名學(xué)員測試成績即可求解；
（2）由（1）的結(jié)果補全甲班15名學(xué)員測試成績的頻數(shù)分布直方圖即可；
（3）由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的定義求解即可；
（4）從平均數(shù)、中位數(shù)、方差幾個方面說明即可．
（1）
解：甲班成績：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
位于85.5～90.5有：87，88，87，86，87
∴a=5
故答案為：5
（2）

（3）
（3）88，86；
將甲班成績從小到大排列： 73，76，79，84，84，85，85，86，87，87，87，88，93，98，98．
中位數(shù)為：86
乙班成績： 77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
眾數(shù)為：88
（77+88+92+85+76+90+76+91+88+81+85+88+98+86+89）÷15=86
平均數(shù)為：86
故答案為：x＝88，y＝86，乙班平均數(shù)86
（4）
兩個班級學(xué)員掌握黨史相關(guān)知識的整體水平較好的是乙班，理由如下：
①甲、乙兩班的平均數(shù)相等，但是乙班的中位數(shù)大于甲班的中位數(shù)；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成績更穩(wěn)定；
故掌握黨史相關(guān)知識的整體水平較好的是乙班．
【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差等知識，能夠理解眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差的定義是解決本題的關(guān)鍵．

考點四 求方差及做決策
例題：（2022·山西·古縣教育局教學(xué)研究室八年級期末）某校為選拔優(yōu)秀運動員參加市中學(xué)生運動會，組織了多次百米測試，其中甲、乙兩名運動員表現(xiàn)較為突出，他們在近7次百米跑測試中的成績（單位：秒）如下表所示：
甲
10.7
10.9
11.0
11.6
11.0
10.8
10.3
乙
10.9
10.9
10.8
11.0
11.0
10.8
10.9
如果根據(jù)這7次成績選拔一人參加比賽，而這兩人平均成績相同，所以要選成績穩(wěn)定的一名學(xué)生參賽，則應(yīng)選_________參賽．
【答案】乙
【分析】直接求出甲、乙的平均成績和方差，進而比較得出答案．
【詳解】解：甲的平均成績?yōu)椋海?br /> 乙的平均成績?yōu)椋海?br /> 分別計算甲、乙兩人的百米賽跑成績的方差為：
，
，
，
乙運動員的成績更為穩(wěn)定，應(yīng)選乙參賽．
故答案為：乙．
【點睛】本題考查了方差的定義：一般地設(shè)個數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江·綏濱縣教師進修學(xué)校八年級期末）已知一組數(shù)據(jù) 的方差是7，那么數(shù)據(jù)…，的方差為_____________
【答案】7
【分析】方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，每個數(shù)都減去5所以波動不會變，方差不變．
【詳解】解：由題意知，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的每一個數(shù)都減去了5，則平均數(shù)變?yōu)?5，
則原來的方差，
現(xiàn)在的方差，
==7，
方差不變．
故答案為：7．
【點睛】本題考查了方差的定義．當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，平均數(shù)也加或減這個數(shù)，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動情況不變；當(dāng)數(shù)據(jù)都乘以一個數(shù)（或除以一個數(shù)）時，平均數(shù)也乘以或除以這個數(shù)，方差變?yōu)檫@個數(shù)的平方倍．
2．（2022·黑龍江·哈爾濱市雙城區(qū)教師進修學(xué)校八年級期末）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
【答案】1
【分析】根據(jù)方差的變化規(guī)律可得：數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是，再進行計算即可．
【詳解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:，
∴另一組數(shù)據(jù)2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:，
∴另一組數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:；
故答案為：．
【點睛】本題考查了方差的知識，掌握當(dāng)數(shù)據(jù)都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，即數(shù)據(jù)的波動情況不變；當(dāng)數(shù)據(jù)都乘以一個數(shù)（或除以一個數(shù)）時，方差變?yōu)檫@個數(shù)的平方倍是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江杭州·八年級期中）一次學(xué)情檢測中，，，，，五位同學(xué)的數(shù)學(xué)、英語成績有如下信息：






平均分
方差
數(shù)學(xué)







英語







(1)求這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績的平均分和英語成績的方差；
(2)學(xué)校進行“達人”社團招新，通過初期篩選，現(xiàn)以本次檢測的數(shù)學(xué)、英語成績?yōu)橐罁?jù)在、兩位同學(xué)中取得分高的錄取，規(guī)定數(shù)學(xué)成績占，英語成績占來計算總得分，請問哪位同學(xué)得分高，能夠被“達人”社團錄??？
【答案】(1)平均分為，方差為
(2)同學(xué)
【分析】（1）由平均數(shù)的概念計算五位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)，再根據(jù)方差的定義得出五位同學(xué)英語成績的方差即可；
（2）分別求得，，，，五位同學(xué)的得分，比較即可得到結(jié)論．
（1）
解：數(shù)學(xué)成績的平均分為：；
英語成績的方差為：；
答：這五位同學(xué)在本次考試中數(shù)學(xué)成績的平均分為和英語成績的方差為；
（2）
同學(xué)的總得分為，
同學(xué)的總得分為，
同學(xué)的總得分為，
同學(xué)的總得分為，
同學(xué)的總得分為，
因為同學(xué)的總得分高，
所以是同學(xué)能夠被“達人”社團錄取．
答：同學(xué)的總得分高，能夠被“達人”社團錄取．
【點睛】本題考查的是加權(quán)平均數(shù)和方差的計算，掌握平均數(shù)和方差的計算公式是解題的關(guān)鍵．










課后訓(xùn)練


一、選擇題
1．（2022·遼寧營口·八年級期末）某校八年2班5位同學(xué)的身高（單位：）組成一組數(shù)據(jù)為：170、169、172、173、171，則這5位同學(xué)身高的平均值（　　?。?br /> A．170 B．171 C．171．5 D．172
【答案】B
【分析】根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的求法求解即可．
【詳解】這5位同學(xué)身高的平均值為cm，
故選：B．
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，即一組數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)為，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·湖南株洲·九年級期末）某班五個興趣小組的人數(shù)分別為4，4，5，x，6．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（???????）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】先根據(jù)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5求出x，再把這組數(shù)字排序，然后求出中位數(shù)．
【詳解】∵這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5
∴
解得x=6
把這組數(shù)據(jù)有小到大排序為4、4、5、6、6
最中間的數(shù)是5
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5
故選A
【點睛】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)，掌握平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)八年級期末）某小區(qū)開展節(jié)約每一滴水活動，為了了解開展活動一個月以來節(jié)約用水的情況，從400戶中隨機選取20戶統(tǒng)計了各自家庭一個月節(jié)約用水情況．表格如下：
節(jié)水量/立方米
2
2.5
3
4
0
家庭數(shù)/戶
2
4
6
7
1

請你估計這400戶的家庭一個月節(jié)約用水的總量大約是（???????）
A．2600立方米 B．1350立方米 C．1300立方米 D．1200立方米
【答案】D
【分析】計算20戶的平均數(shù)，再乘以總戶數(shù)400即可．
【詳解】解：（立方米），
∴這400戶的家庭一個月節(jié)約用水的總量大約是1200立方米，
故選：D．
【點睛】此題考查了平均數(shù)的計算，正確掌握平均數(shù)的計算公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·河北唐山·八年級期末）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，方差是3，那么另一組數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數(shù)和方差分別是（???）
A．2，3 B．6，9 C．6，27 D．6，18
【答案】C
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的變化規(guī)律可得數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數(shù)和方差分別是數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)和方差的3倍和32倍，計算即可.
【詳解】∵數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2，方差是3，
∴數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的平均數(shù)是3×2=6，方差是32×3=27．
故選：C
【點睛】本題主要考查了平均數(shù)和方差的知識，若一組數(shù)據(jù)x?，x?，x?， …xn的平均數(shù)為，方差為S2，則數(shù)據(jù)ax1，ax2，ax3， …axn的平均數(shù)為，方差為a2S2，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧鞍山·九年級開學(xué)考試）在中考體育加試中，某班25名男生的跳遠(yuǎn)成績?nèi)缦卤恚?br /> 成績/m
1.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.25
人數(shù)
2
3
8
5
4
3
這些男生跳遠(yuǎn)成績的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（???????）
A．2.10，2.05 B．2.10，2.10 C．2.05，2.10 D．2.05，2.05
【答案】D
【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義進行解答即可．中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個．
【詳解】由表可知，2.05出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為2.05；
由于一共調(diào)查了25人，
所以中位數(shù)為排序后的第13人，即：2.05．
故選D．
【點睛】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，要明確定義，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．
二、填空題
6．（2022·陜西西安·八年級期末）一組數(shù)據(jù)2，6，n，5，3有唯一的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 _____．
【答案】3
【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)的眾數(shù)確定出n的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)2，6，n，5，3有唯一的眾數(shù)是3，
∴n＝3，
∴此組數(shù)據(jù)為2，3，3，5，6，
∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟練地掌握中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)：一列數(shù)據(jù)按順序排列，位于中間的那個數(shù)；眾數(shù)：一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
7．（2022·湖南·長沙麓山國際實驗學(xué)校七年級期末）甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在一次投擲實心球訓(xùn)練中，在相同條件下各投擲10次，他們成績的平均數(shù)與方差s2如下表：

甲
乙
丙
丁
平均數(shù)（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
若要選一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，則應(yīng)該選擇_____（填甲或乙、丙、?。?br /> 【答案】甲
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的意義解答．
【詳解】解：從平均數(shù)看，成績好的同學(xué)有甲、乙，
從方差看甲、乙兩人中，甲方差小，即甲發(fā)揮穩(wěn)定，
故答案為：甲．
【點睛】本題考查了平均數(shù)和方差，熟悉它們的意義是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·四川自貢·八年級期末）某地10家電商6月份的銷售額如下表所示，銷售額的中位數(shù)為 _______萬元．
銷售額（萬元）
1
2
3
11
電商（家）
1
4
3
2
【答案】
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義進行解答即可．
【詳解】解：10家電商6月份的銷售額為：1，2，2，2，2，3，3，3，11，11，
中位數(shù)為第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù)，即中位數(shù)為（萬元），
故答案為：．
【點睛】本題考查了中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．
9．（2022·河南三門峽·八年級期末）已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，平均數(shù)是______．
【答案】7
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可求解．先求出數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的和，然后利用平均數(shù)的計算公式分別表示后兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，經(jīng)過代數(shù)式的變形可得答案．
【詳解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)是2．
∴x1，x2，x3，x4，x5的和是10．
∴x1+3，x2+3，x3+3，x4+3，x5+3的平均數(shù)是2+3=5，
同理，數(shù)組2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x4+3，2x5+3的平均數(shù)是2×2+3=7．
故答案為7．
【點睛】本題主要考查了平均數(shù)的計算．正確理解公式是解題的關(guān)鍵．在計算中正確使用整體代入的思想．
10．（2022·安徽蕪湖·八年級期末）已知x1，x2，x3，…，x10的平均數(shù)是a，x11，x12，x13，…，x50的平均數(shù)是b，則x1，x2，x3，…，x50的平均數(shù)是________．
【答案】
【分析】先求前10個數(shù)的和，再求后40個數(shù)的和，然后利用平均數(shù)的定義求出50個數(shù)的平均數(shù)．
【詳解】解：∵前10個數(shù)的和為10a，后40個數(shù)的和為40b，
∴這50個數(shù)的平均數(shù)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平均數(shù)的求法，正確理解算術(shù)平均數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·廣東廣州·八年級期末）2022年2月4日，冬奧會開幕式在北京鳥巢拉開序幕，它讓世界看到了一個自信開放的中國．某中學(xué)以此為契機，組織了“我的冬奧夢”系列活動．下表是小華和小敏各項目的成績（單位：分）：如果將知識競賽、演講比賽、版面創(chuàng)作按5：3：2的比例確定最后成績，請通過計算說明小華和小敏誰將獲勝．
選手
知識競賽
演講比賽
版面創(chuàng)作
小華
85
91
88
小敏
90
84
87
【答案】小敏將獲勝
【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算方法分別算出平均數(shù)，再進行比較平均數(shù)即可求解．
【詳解】解：小華的平均分為：（分），
小敏的平均分為：（分），
∵，
∴小敏將獲勝．
【點睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，熟練掌握算術(shù)平均數(shù)的計算方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·山西·古縣教育局教學(xué)研究室八年級期末）從2003年10月15日神舟五號載人飛船進入太空，到2022年6月5日神舟十四號成功發(fā)射，19年時光，中國航天人合力將中國太空夢化為現(xiàn)實，并不斷取得突破性進展，為此，某中學(xué)開展以“航天夢·中國夢”為主題的演講比賽，賽后某興趣小組分別從七年級和八年級參賽選手中各隨機抽取8名學(xué)生的比賽成績統(tǒng)計如圖：


根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
(1)八年級8名被抽取的選手中，比賽成績的眾數(shù)為_________分；
(2)七年級8名被抽取的選手中，比賽成績的中位數(shù)為_________分；
(3)分別計算兩個年級被抽取的選手的平均成績，并估計哪個年級的平均成績較高？
【答案】(1)90
(2)80
(3)七年級被抽取的選手的平均成績?yōu)?3.75分，八年級被抽取的選手的平均成績?yōu)?0分，估計八年級的平均成績較高

【分析】（1）由圖得出八年級8名被抽取的選手成績，再根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)）求解即可；
（2）由圖得出七年級8名被抽取的選手成績，再根據(jù)中位數(shù)的定義（中位數(shù)是指將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個數(shù)列，取中間那個數(shù)或者中間兩個數(shù)的平均數(shù)）求解即可；
（3）根據(jù)平均數(shù)的計算方法即可分別求得平均成績，據(jù)此即可解答．
（1）
解：由圖知：八年級8名被抽取的選手成績?yōu)椋?br /> 80、80、90、90、90、90、100、100，
分出現(xiàn)的次數(shù)最多，
這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90分，
故答案為：90；
（2）
解：七年級8名被抽取的選手的成績?yōu)椋?br /> 70、80、80、80、80、90、90、100，
所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：(分)，
故答案為：80；
（3）
解：七年級被抽取的選手的平均成績?yōu)椋?br /> （分）.
八年級被抽取的選手的平均成績?yōu)椋?br /> （分）.
∵，
∴八年級學(xué)生的平均得分比七年級學(xué)生的平均得分高．
【點睛】本題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義及求法．
13．（2022·北京市燕山教研中心八年級期末）某中學(xué)為了解家長對課后延時服務(wù)的滿意度，從七，八年級中各隨機抽取50名學(xué)生家長進行問卷調(diào)查，獲得了每位學(xué)生家長對課后延時服務(wù)的評分?jǐn)?shù)據(jù)(記為x)，并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：
a．八年級課后延時服務(wù)家長評分?jǐn)?shù)據(jù)的頻數(shù)分布表如下（數(shù)據(jù)分為5組：0≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
分組
頻數(shù)
0≤x＜60
2
60≤x＜70
5
70≤x＜80
15
80≤x＜90
a
90≤x≤100
8
合計
50

b．八年級課后延時服務(wù)家長評分在80≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，前5個數(shù)據(jù)如下：
81，81，82，83，83．
c．七，八年級課后延時服務(wù)家長評分的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)如下表：
年級
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
七
78
79
85
八
81
b
83

根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)表中a＝ ，b＝ ．
(2)你認(rèn)為 年級的課后延時服務(wù)開展得較好，理由是 ．（至少從兩個不同的角度說明理由）
(3)已知該校八年級共有600名學(xué)生家長參加了此次調(diào)查評分，請你估計其中大約有多少名家長的評分不低于80分．
【答案】(1)20，82.5
(2)八年級，理由見解析
(3)估計其中大約有336名家長的評分不低于80分．

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計表的意義，各組頻數(shù)之和為50即可求出a的值，利用中位數(shù)的定義可求出八年級得分的中位數(shù)，即m的值；
（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的大小進行判斷即可；
（3）求出家長的評分不低于80分所占的分率，再乘以600即可求解．
（1）解：a=50-2-5-15-8=20，八年級得分的中位數(shù)是排在第25、26個數(shù)，正好在80≤x＜90這一組的第3、4兩個數(shù)，分別是82、83，∴b=（82+83）÷2=82.5．故答案為：20，82.5；
（2）解：八年級的課后延時服務(wù)開展得較好，理由如下：八年級課后延時服務(wù)家長評分?jǐn)?shù)據(jù)的平均數(shù)為81分，高于七年級的78分，說明八年級家長評分整體高于七年級；八年級課后延時服務(wù)家長評分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)為82.5，七年級為79，說明八年級一半的家長評分高于82.5分，而七年級一半的家長評分僅高于79分；
（3）解：×600=336（名），答：估計其中大約有336名家長的評分不低于80分．
【點睛】本題考查頻數(shù)分布表，中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及樣本估計總體，理解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的意義，掌握中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法是解決問題的前提．
14．（2022·河南鶴壁·八年級期末）為了從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加縣級中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽，每個月對他們的學(xué)習(xí)水平進行一次測驗，如圖是兩人賽前6次測驗成績的折線統(tǒng)計圖．現(xiàn)對甲、乙的6次測驗成績的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析列表對比如下：

平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
甲
75
75
c
m
乙
75
b
70
33.3


(1)填空：b＝____；c＝____；
(2)求m的值；
(3)如果從穩(wěn)定性來看，選誰參賽較合適？如果從發(fā)展趨勢來看，選誰參賽較合適？請結(jié)合所學(xué)統(tǒng)計知識說明理由．
【答案】(1)72.5；75
(2)125
(3)從穩(wěn)定性來看，乙的成績更穩(wěn)定；從發(fā)展趨勢來看，選擇甲參賽較好；理由見解析
【分析】（1）從圖中讀出數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念即可得出答案；
（2）根據(jù)方差的計算公式計算即可；
（3）方差越小，成績越穩(wěn)定，即可得出結(jié)論，從發(fā)展趨勢看，甲的成績呈上升趨勢，即可得出結(jié)論．
（1）
解：由圖象可知，甲的六次成績分別為：60，65，75，75，80，95；乙的六次成績從小到大排列為：70，70，70，75，80，85；
因此乙的中位數(shù)；甲的眾數(shù)；
故答案為：72.5；75；
（2）
甲的方差為：
，

；
（3）
,
乙的成績更穩(wěn)定,
從穩(wěn)定性來看，選擇乙參賽較合適；由圖象可知，甲的成績呈上升趨勢，如果從發(fā)展趨勢來看，選擇甲參賽較好．
【點睛】本題考查了折線統(tǒng)計圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，掌握眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．
15．（2022·江西·尋烏縣教育局教學(xué)研究室八年級期末）為了參加“中小學(xué)生詩詞大會”，某校八年級的兩班學(xué)生進行了預(yù)選，其中班上前5名學(xué)生的成績（百分制分別為：八（1）班：85，86，82，91，86；八（2）班：80，85，85，92，88．
通過數(shù)據(jù)分析如下：
班級
平均分
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
八（1）班
86
b
86
d
八（2）班
a
85
c
15.6
(1)直接寫出表中_______，______，_______，______；
(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為哪個班前5名同學(xué)的成績較好？請說明理由．
【答案】(1)86，86，85，8.4
(2)八（1）班前5名同學(xué)的成績較好，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及方差的計算公式分別進行解答即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)與方差的意義分別進行分析，即可得出答案．
（1）
解：八（2）班的平均分a=（80+85+85+92+88）÷5=86，
將八（1）班的前5名學(xué)生的成績按從小到大的順序排列為：82，85，86，86，91，則中位數(shù)b=86，
八（2）班前5名學(xué)生的成績85出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)c=85．
八（1）班的方差d=[（85-86）2+（86-86）2+（82-86）2+（91-86）2+（86-86）2]÷5=8.4；
故答案為：86，86，85，8.4；
（2）
解：八（1）班中位數(shù)86分高于八（2）班中位數(shù)85分，
說明八（1）班成績更好；
八（1）班眾數(shù)86分高于八（2）班眾數(shù)85分，
說明八（1）班成績更好；
八（1）班方差8.4小于八（2）班方差15.6，
說明八（1）班成績更穩(wěn)定；
兩個班的平均分都是86分，成績一樣；
綜上得知，八（1）班前5名同學(xué)的成績較好．
【點睛】本題考查方差、平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)，平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度．一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量．
16．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)教學(xué)研究室八年級期末）甲、乙兩班各推選10名同學(xué)進行投籃比賽，按照比賽規(guī)則，每人各投了10個球，根據(jù)兩個班選手的進球數(shù)，制作了如下統(tǒng)計圖及數(shù)據(jù)分析表．

班級
平均數(shù)（個）
中位數(shù)（個）
眾數(shù)（個）
甲
7
a
b
乙
c
7
7
(1)寫出表格中a，b，c的值：_______，________，_______；
(2)已知甲班選手進球數(shù)的方差為2.6，求乙班選手進球數(shù)的方差；
(3)如果要從這兩個班中選出一個班參加學(xué)校的投籃比賽，爭取奪得總進球團體的第一名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班？如果要爭取個人進球進入學(xué)校前三名，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個班．
【答案】(1)7；7；7
(2)1.4
(3)見解析
【分析】（1）利用加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義直接求出；
（2）根據(jù)方差的公式計算即可；
（3）根據(jù)方差和個人發(fā)揮的最好成績進行選擇．
（1）解：甲班10名同學(xué)進球數(shù)從小到大排列為：5、5、5、7、7、7、7、8、9、10，故中位數(shù)a=，眾數(shù)b=7；乙班10名同學(xué)進球平均數(shù)為：×（5×2+7×5+8×2+9×1）=7（個），則c=7．故答案為：7；7；7；
（2）乙班S乙2=×[0×（10-7）2+（9-7）2+2×（8-7）2+5×（7-7）2+0×（6-7）2+2×（5-7）2]=1.4；
（3）∵甲方差＞乙方差，∴要爭取奪取總進球團體第一名，應(yīng)選乙班．∵甲班有一位進球數(shù)為10個滿分選手，∴要進入學(xué)校個人前3名，應(yīng)選甲班．
【點睛】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)和方差的意義．平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程度；中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）；一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量．