高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念教案

這是一份高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修 第二冊4.1 數(shù)列的概念教案，共7頁。教案主要包含了典例解析，達標檢測，小結(jié)，課時練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.2.1 等差數(shù)列的概念（2）                  本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學習等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學習數(shù)列也為進一步學習數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關概念和給出數(shù)列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓廣。課程目標學科素養(yǎng)A. 能用等差數(shù)列的定義推導等差數(shù)列的性質(zhì).B.能用等差數(shù)列的性質(zhì)解決一些相關問題.C.能用等差數(shù)列的知識解決一些簡單的應用問題.1.數(shù)學抽象：等差數(shù)列的性質(zhì) 2.邏輯推理：等差數(shù)列性質(zhì)的推導3.數(shù)學運算：等差數(shù)列性質(zhì)的運用 4.數(shù)學建模：運用等差數(shù)列解決實際問題  重點： 等差數(shù)列的性質(zhì)及其應用 難點：等差數(shù)列的性質(zhì)的推導 多媒體      教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標一、    溫故知新1．等差數(shù)列的概念文字語言如果一個數(shù)列從第__項起，每一項與它的______的差都等于__________，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個____叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母__表示符號語言an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*) 2 ;前一項 ;同一個常數(shù) ;常數(shù) ;d 2．等差中項(1)條件：如果a，A，b成等差數(shù)列．(2)結(jié)論：那么A叫做a與b的等差中項．(3)滿足的關系式是a＋b＝2A 3.等差數(shù)列的通項公式；an＝a1＋(n－1)d，n∈N*；4.通項公式的應用；二、典例解析例3.某公司購置了一臺價值為220萬元的設備，隨著設備在使用過程中老化，其價值會逐年減少.經(jīng)驗表明，每經(jīng)過一年其價值會減少d(d為正常數(shù)）萬元.已知這臺設備的使用年限為10年，超過10年 ，它的價值將低于購進價值的5%，設備將報廢.請確定d的范圍.分析：該設備使用n年后的價值構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，an＝an－1－d (n≥2). 即：an－an－1＝－d.所以{an}為公差為－d的等差數(shù)列.10年之內(nèi)（含10年），該設備的價值不小于萬元；10年后，該設備的價值需小于11萬元．利用{an}的通項公式列不等式求解．解：設使用n年后，這臺設備的價值為an萬元，則可得數(shù)列{an}．由已知條件，得an＝an－1－d（n≥2）．所以數(shù)列{an}是一個公差為－d的等差數(shù)列.因為a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由題意，得a10≥11，a11＜11.   即：解得19<d≤20.9所以，d的求值范圍為19<d≤20.9        等差數(shù)列在實際生產(chǎn)生活中也有非常廣泛的作用.將實際問題抽象為等差數(shù)列問題，用數(shù)學方法解決數(shù)列的問題，再把問題的解回歸到實際問題中去，是用數(shù)學方法解決實際問題的一般過程. 跟蹤訓練1.  孟子故里鄒城市是我們的家鄉(xiāng)，它曾多次入選中國經(jīng)濟百強縣.經(jīng)濟的發(fā)展帶動了市民對住房的需求.假設該市2019年新建住房400萬平方米，預計在以后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積均比上一年增加50萬平方米.那么該市在第（      ）年新建住房的面積開始大于820萬平方米？A.2026     B.  2027        C. 2028           D.2029C解：設從2019年開始，該市每年新建住房面積為萬平方米.由題意可知  是等差數(shù)列，首項a1 =400 ，公差50 所以+() 50=50 令50 20，解得由于所以該市在2028年 建住房面積開始大于820萬平方米.例4. 已知等差數(shù)列{an} 的首項a1＝2，在{an} 中每相鄰兩項之間都插入3個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{bn}.(1)求數(shù)列{bn} 的通項公式.(2) b29是不是數(shù)列{an} 的項？若是，它是{an} 的第幾項？若不是 ，請說明理由.分析：（1） {an}是一個確定的數(shù)列，只要把a1 ，a2表示為{bn}中的項，就可以利用等差數(shù)列的定義得出的通項公式；（2）設{an}中的第n項是{bn}中的第cn項，根據(jù)條件可以求出n與cn的關系式，由此即可判斷b29是否為{an}的項.解：（1）設等差數(shù)列的公差為∵b1, b5, b5b1   =8∵b5b1   , 8, ,+() 2=2所以數(shù)列的通項公式是=2（2）數(shù)列的各項依次是數(shù)列的第1,5,9,13，…項，這些下標構(gòu)成一個首項為1，公差為4的等差數(shù)列，則=4 3令4 3=29,   解得: =8所以， b29是數(shù)列的第8項對于第（2）小題，你還有其他解法嗎？ 等差數(shù)列的性質(zhì)         如果在一個等差數(shù)列的每相鄰兩項之間都插入 )個合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個新的等差 數(shù)列.例5. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列，,且 求證:分析：利用等差數(shù)列的中的兩個基本量    ,再根據(jù)等差數(shù)列的定義寫出即可得證.證明：設數(shù)列 的公差為,則+() +() +() +() 所以:,因為所以例5 是等差數(shù)列的一條性質(zhì)，右圖是它的一種情形.你能從幾何角度解釋等差數(shù)列的這一性質(zhì)嗎？         通過上節(jié)課我們知道等差數(shù)列對應的點分布在一條直線上，那么你能從直線斜率的角度來解釋這一性質(zhì)嗎？思路：∵,     通過回顧等差數(shù)列的定義及其中項性質(zhì)，提出問題。發(fā)展學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。          通過實際問題的分析解決，體會等差數(shù)列的應用。發(fā)展學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。                  通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運用，深化對等差數(shù)列的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素                通過典型例題，加深學生對等差數(shù)列及其性質(zhì)的理解和運用，深化對等差數(shù)列的理解。發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素  三、達標檢測1．在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為(　　)A．20　　　　　　　　B．30           C．40    D．50【答案】C　[∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7，∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.]2．某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費________元．23.2　[根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．令a1＝11.2，表示4 km處的車費，公差d＝1.2，那么當出租車行至14 km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．]3．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，則k＝________.【答案】18　[∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝.又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.故d＝＝＝.∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.]4．在首項為31，公差為－4的等差數(shù)列中，絕對值最小的項是________. 【答案】－1　[可求得數(shù)列的通項公式為an＝35－4n.則當n≤8時an>0；當n≥9時an<0.又a8＝3，a9＝－1.故絕對值最小的項為a9＝－1.]5．已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).【答案】法一：設這三個數(shù)為a，b，c(a<b<c)，則由題意得，解得法二：設這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝－2舍去，∴這三個數(shù)為4,6,8. 通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。    四、小結(jié)1) 應用等差數(shù)列解決生活中實際問題的方法.2) 等差數(shù)列的每相鄰兩項之間都插入 )個合適的數(shù)，仍然可以構(gòu)成一個新的等差數(shù)列.3) 等差數(shù)列，, 則 五、課時練通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力。  普通高中學生經(jīng)過一年的高中的學習生活，已經(jīng)慢慢習慣的高中的學習氛圍，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，且對數(shù)列的知識有了初步的接觸和認識，已經(jīng)熟悉由觀察到抽象的數(shù)學活動過程，對函數(shù)、方程思想體會逐漸深刻，應用數(shù)學公式的能力逐漸加強。他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力。但也有一部分學生的基礎較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。