人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.1 條件概率導(dǎo)學(xué)案

這是一份人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.1 條件概率導(dǎo)學(xué)案，共7頁(yè)。
若事件A是否發(fā)生對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，事件B是否發(fā)生對(duì)事件A發(fā)生的概率也沒有影響，則稱兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做____________．且A，B為兩個(gè)事件獨(dú)立的充要條件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
知識(shí)點(diǎn)二 獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系
設(shè)A，B為兩個(gè)事件，A，B獨(dú)立的充要條件是P(B|A)＝P(B), (P(A|B)＝P(A))即若事件B發(fā)生的概率與已知事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的概率相等，即事件A發(fā)生，不會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，則稱兩個(gè)事件A，B相互獨(dú)立，并把這兩個(gè)事件叫做____________．
知識(shí)點(diǎn)三 相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式
若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B), P(A|B)＝P(A)，
此時(shí)概率的乘法公式可簡(jiǎn)化為： P(AB)＝P(A)·P(B)．
知識(shí)點(diǎn)四 n個(gè)事件相互獨(dú)立也可借助條件概率來理解
對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任一個(gè)事件發(fā)生的概率不受________________的影響，則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．
知識(shí)點(diǎn)五 n個(gè)相互獨(dú)立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件都發(fā)生的概率，等于________________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多個(gè)事件Ai換成其對(duì)立事件后等式仍成立．
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．下列說法不正確的有( )
A．對(duì)事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，則事件A與B相互獨(dú)立
B．若事件A，B相互獨(dú)立，則P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))×P(eq \(B,\s\up6(－)))
C．如果事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)
D．若事件A與B相互獨(dú)立，則B與eq \(B,\s\up6(－))相互獨(dú)立
2．拋擲3枚質(zhì)地均勻的硬幣，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一個(gè)反面向上}，則A與B的關(guān)系是( )
A．互斥事件 B．對(duì)立事件
C．相互獨(dú)立事件 D．不相互獨(dú)立事件
3．袋內(nèi)有大小相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，則A與B是( )
A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件
C．對(duì)立事件 D．非相互獨(dú)立事件
4．明天上午李明要參加“青年文明號(hào)”活動(dòng)，為了準(zhǔn)時(shí)起床，他用甲、乙兩個(gè)鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時(shí)響的概率為0.90，則兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的概率是________．
題型一 相互獨(dú)立事件的判斷
例1 判斷下列各對(duì)事件是否是相互獨(dú)立事件．
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”；
(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”．
eq \x(狀元隨筆) (1)利用獨(dú)立性概念的直觀解釋進(jìn)行判斷．(2)計(jì)算“從8個(gè)球中任取一球是白球”發(fā)生與否，事件“從剩下的7個(gè)球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進(jìn)行判斷．(3)利用事件的獨(dú)立性定義式判斷．
方法歸納
判斷事件是否相互獨(dú)立的方法
1．定義法：事件A，B相互獨(dú)立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
2．由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．
3．條件概率法：當(dāng)P(A)>0時(shí)，可用P(B|A)＝P(B)判斷．跟蹤訓(xùn)練1 (1)下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是( )
A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”
D．A＝“人能活到20歲”，B＝“人能活到50歲”
(2)甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B( )
A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立
C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥
題型二 相互獨(dú)立事件發(fā)生的概率
例2 面對(duì)某種流感病毒，各國(guó)醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)都在研究疫苗，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定的時(shí)期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求：
(1)他們都研制出疫苗的概率；
(2)他們都失敗的概率；
(3)他們能夠研制出疫苗的概率．
eq \x(狀元隨筆)
eq \x(明確已知事件的概率及其關(guān)系)→eq \x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq \x(選擇公式計(jì)算求值)
方法歸納
1．求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟
(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；
(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；
(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．
2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們能同時(shí)發(fā)生．
跟蹤訓(xùn)練2 一個(gè)袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，每次從中任取2個(gè)球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率；
(2)第1次取出的2個(gè)球1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率．
題型三 事件的相互獨(dú)立性與互斥性
eq \x(狀元隨筆) 1.甲、乙二人各進(jìn)行一次射擊比賽，記A＝“甲擊中目標(biāo)”，B＝“乙擊中目標(biāo)”，試問事件A與B是相互獨(dú)立事件，還是互斥事件？事件eq \x\t(A )∩B與A∩eq \x\t(B )呢？
[提示] 事件A與B，eq \x\t(A )與B，A與eq \x\t(B )均是相互獨(dú)立事件，而eq \x\t(A )∩B與A∩eq \x\t(B )是互斥事件．
2．在1中，若甲、乙二人擊中目標(biāo)的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人擊中目標(biāo)的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人擊中目標(biāo)”記為事件C，則C＝eq \x\t(A )∩B＋A∩eq \x\t(B ).
所以P(C)＝P(eq \x\t(A )∩B＋A∩eq \x\t(B ))＝P(eq \x\t(A )∩B)＋P(A∩eq \x\t(B ))
＝P(eq \x\t(A ))·P(B)＋P(A)·P(eq \x\t(B ))
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由1、2，你能歸納出相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別嗎？
[提示] 相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
例3 紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．求：
(1)紅隊(duì)中有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率；
(2)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率．
eq \x(狀元隨筆) 弄清事件“紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝”與事件“紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝”是由哪些基本事件組成的，及這些事件間的關(guān)系，然后選擇相應(yīng)概率公式求值．
方法歸納
1．本題(2)中用到直接法和間接法．當(dāng)遇到“至少”“至多”問題可以考慮間接法．
2．求復(fù)雜事件的概率一般可分三步進(jìn)行：
(1)列出題中涉及的各個(gè)事件，并用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示它們；
(2)理清各事件之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)赜檬录g的“并”“交”表示所求事件；
(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確地運(yùn)用概率公式進(jìn)行計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練3 11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．
4．1.3 獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系
新知初探·自主學(xué)習(xí)
知識(shí)點(diǎn)一
相互獨(dú)立事件
知識(shí)點(diǎn)二
相互獨(dú)立事件
知識(shí)點(diǎn)四
其他事件是否發(fā)生
知識(shí)點(diǎn)五
每個(gè)事件發(fā)生的概率的積
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．解析：若P(B|A)＝P(B)，則P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互獨(dú)立，所以A正確；若事件A，B相互獨(dú)立，則eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))也相互獨(dú)立，故B正確；若事件A，B相互獨(dú)立，則A發(fā)生與否不影響B(tài)的發(fā)生，故C正確；④B與eq \(B,\s\up6(－))相互對(duì)立，不是相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤．
答案：D
2．解析：由已知，有P(A)＝1－eq \f(2,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝1－eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，滿足P(AB)＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨(dú)立，故選C.
答案：C
3．解析：根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件及相互獨(dú)立事件的概念可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．
答案：D
4．解析：設(shè)兩個(gè)鬧鐘至少有一個(gè)準(zhǔn)時(shí)響的事件為A，
則P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1 【解析】 (1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．
(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq \f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq \f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq \f(5,7)，可見，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．
(3)記A：出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，B：出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6).
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A與B相互獨(dú)立．
跟蹤訓(xùn)練1 解析：(1)把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后影響，故A項(xiàng)是相互獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D是條件概率，事件B受事件A的影響．故選A.
(2)對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．故選A.
答案：(1)A (2)A
例2 【解析】 令事件A，B，C分別表示A，B，C三個(gè)獨(dú)立的研究機(jī)構(gòu)在一定時(shí)期內(nèi)成功研制出該疫苗，依題意可知，事件A，B，C相互獨(dú)立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)他們都研制出疫苗，即事件A，B，C同時(shí)發(fā)生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60).
(2)他們都失敗即事件eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))，eq \(C,\s\up6(－))同時(shí)發(fā)生，
故P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))∩eq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))×P(eq \(B,\s\up6(－)))×P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5).
(3)“他們能研制出疫苗”的對(duì)立事件為“他們都失敗”，結(jié)合對(duì)立事件間的概率關(guān)系可得所求事件的概率
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))∩eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
跟蹤訓(xùn)練2 解析：記“第1次取出的2個(gè)球都是白球”的事件為A，“第2次取出的2個(gè)球都是紅球”的事件為B，“第1次取出的2個(gè)球中1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球”的事件為C，很明顯，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互獨(dú)立事件．
(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))×eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)×eq \f(1,10)＝eq \f(3,100)
故第1次取出的2個(gè)球都是白球，第2次取出的2個(gè)球都是紅球的概率是eq \f(3,100).
(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))·eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(6,10)·eq \f(3,10)＝eq \f(9,50).
故第1次取出的2個(gè)球中1個(gè)是白球、1個(gè)是紅球，第2次取出的2個(gè)球都是白球的概率是eq \f(9,50).
例3 【解析】 設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，
則eq \(D,\s\up6(－))，eq \(E,\s\up6(－))，eq \(F,\s\up6(－))分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．
因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由對(duì)立事件的概率公式知P(eq \(D,\s\up6(－)))＝0.4，P(eq \(E,\s\up6(－)))＝0.5，P(eq \(F,\s\up6(－)))＝0.5.
(1)紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的事件有D ∩eq \(E,\s\up6(－))∩ eq \(F,\s\up6(－))，eq \(D,\s\up6(－))∩E∩ eq \(F,\s\up6(－))，eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F，以上3個(gè)事件彼此互斥且獨(dú)立．
∴紅隊(duì)有且只有一名隊(duì)員獲勝的概率
P1＝P[(D ∩eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))∪(eq \(D,\s\up6(－))∩E ∩eq \(F,\s\up6(－)))∪(eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F)]
＝P(D∩ eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩E∩eq \(F,\s\up6(－)))＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一：紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：D∩E ∩eq \(F,\s\up6(－))，D∩eq \(E,\s\up6(－))∩F，eq \(D,\s\up6(－))∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，
因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為
P＝P(D∩E∩ eq \(F,\s\up6(－)))＋P(D∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F)＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二：“紅隊(duì)至少兩人獲勝”與“紅隊(duì)最多一人獲勝”為對(duì)立事件，而紅隊(duì)都不獲勝為事件eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩eq \(F,\s\up6(－))，且P(eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩eq \(F,\s\up6(－)))＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為
P2＝1－P1－P(eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟蹤訓(xùn)練3 解析：(1)X＝2就是某局雙方10：10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲獲勝，就是某局雙方10：10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.最新課程標(biāo)準(zhǔn)
1.理解獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系．(難點(diǎn))
2．理解概率的乘法公式．(易混點(diǎn))
3．掌握綜合運(yùn)用互斥事件的概率加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式解題．(重點(diǎn))
相互獨(dú)立事件
互斥事件
條件
事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響
不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件
符號(hào)
相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生，記做：AB
互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生，記做：A∪B(或A ＋B)
計(jì)算公式
P(A∩B)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)