高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.1 條件概率導(dǎo)學(xué)案

這是一份高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)4.1.1 條件概率導(dǎo)學(xué)案，共9頁(yè)。學(xué)案主要包含了思路導(dǎo)引，補(bǔ)償訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。

1．條件概率的概念
一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B)) >0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ，而且P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ＝ eq \f(P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A∩B)),P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B))) ．
P(B|A)和P(A|B)的意義相同嗎？為什么？
提示：P(B|A)是指在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，而P(A|B)是指在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意義不同．
2．條件概率的性質(zhì)
(1)0≤P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))B)) ≤1；
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(A))A)) ＝1；
(3)如果B與C互斥，
則P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B∪C))A)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(C))A)) ．
(4)設(shè)事件 eq \x\t(B) 與B互為對(duì)立事件，
則P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(\x\t(B)))A)) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(B))A)) ．
1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)
(1)P(A∩B)＝ P(AB).( )
(2)若事件A，B互斥，則P(B|A)＝1.( )
(3)P(B|A)＝P(A∩B).( )
提示：(1)√.事件A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件稱為事件A與B的交(或積)，記作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝ P(AB).
(2)×.若事件A，B互斥，則事件A∩B是不可能事件，
P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0.
(3)×.事件(B|A)是指在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，而事件A∩B是指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，故P(B|A)≠P(A∩B).
2．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(A∩B)＝ eq \f(1,4) ，P(B)＝ eq \f(1,3) ，則P(A|B)＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(3,4) D． eq \f(4,3)
【解析】選C.由P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(1,3)) ＝ eq \f(3,4) .
3．(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)某產(chǎn)品長(zhǎng)度合格的概率為 eq \f(93,100) ，質(zhì)量合格的概率為 eq \f(90,100) ，長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格的概率為 eq \f(85,100) ，任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格，則它的長(zhǎng)度也合格的概率為_(kāi)_______．
【解析】令A(yù)：產(chǎn)品的長(zhǎng)度合格，B：產(chǎn)品的質(zhì)量合格，A∩B：產(chǎn)品的長(zhǎng)度、質(zhì)量都合格，
則P(A)＝ eq \f(93,100) ，P(B)＝ eq \f(90,100) ，P(A∩B)＝ eq \f(85,100) .
任取一件產(chǎn)品，已知其質(zhì)量合格，它的長(zhǎng)度也合格，
即為A|B，其概率P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ＝ eq \f(85,90) ＝ eq \f(17,18) .
答案： eq \f(17,18)
類型一 條件概率的計(jì)算(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
利用條件概率公式求概率
【典例】在5道題中有3道理科題和2道文科題．如果不放回地依次抽取2道題，求在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．
【思路導(dǎo)引】設(shè)出事件，利用條件概率公式求解．
【解析】設(shè)第1次抽到理科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次和第2次都抽到理科題為事件A∩B.
從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本空間總數(shù)為A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.事件A所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝12.
故P(A)＝ eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .因?yàn)槭录嗀∩B含A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝6個(gè)樣本點(diǎn)．
所以P(A∩B)＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .所以在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為
P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
若本例條件不變，求第1次抽到文科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．
【解析】設(shè)第1次抽到文科題為事件A，第2次抽到理科題為事件B，則第1次抽到文科題且第2次抽到理科題為事件A∩B.
從5道題中不放回地依次抽取2道題的樣本空間總數(shù)為A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.事件A所含樣本點(diǎn)的總數(shù)為A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝8.
故P(A)＝ eq \f(8,20) ＝ eq \f(2,5) .因?yàn)槭录嗀∩B含A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝6個(gè)樣本點(diǎn)．所以P(A∩B)＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .
所以在第1次抽到文科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(2,5)) ＝ eq \f(3,4) .
利用縮小樣本空間計(jì)算
【典例】集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙兩人各從A中任取一個(gè)數(shù)，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇數(shù)的條件下，求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率．
【思路導(dǎo)引】正確理解條件概率的特點(diǎn)，結(jié)合古典概型求解．
【解析】將甲抽到數(shù)字a，乙抽到數(shù)字b，記作(a，b)，甲抽到奇數(shù)的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15個(gè)樣本點(diǎn)，在這15個(gè)樣本點(diǎn)中，乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9個(gè)，所以所求概率P＝ eq \f(9,15) ＝ eq \f(3,5) .
條件概率計(jì)算的關(guān)注點(diǎn)
1．原型：在題目條件中，若出現(xiàn)“在……發(fā)生的條件下……發(fā)生的概率”時(shí)，一般可認(rèn)為是條件概率．
2．方法：(1)在原樣本空間中，先計(jì)算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) 計(jì)算求得P(B|A)；
(2)若事件為古典概型，可利用公式P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ，即在縮小后的樣本空間中計(jì)算事件B發(fā)生的概率．
1．拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”．
(1)求P(A)，P(B)，P(A∩B)；
(2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，問(wèn)兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率為多少？
【解析】(1)設(shè)x為擲紅骰子得的點(diǎn)數(shù)，y為擲藍(lán)骰子得的點(diǎn)數(shù)，則所有可能的事件為(x，y)，建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由題意作圖如圖
顯然：P(A)＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) ，
P(B)＝ eq \f(10,36) ＝ eq \f(5,18) ，P(A∩B)＝ eq \f(5,36) .
(2)方法一：P(B|A)＝ eq \f(n（A∩B）,n（A）) ＝ eq \f(5,12) .
方法二：P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(\f(5,36),\f(1,3)) ＝ eq \f(5,12) .
2．盒子里放著5個(gè)相同大小、相同形狀的乒乓球，其中有3個(gè)是黃色的，2個(gè)是白色的．如果不放回地依次拿出2個(gè)，求：
(1)第1次拿出黃色球的概率．
(2)第1次和第2次都拿出黃色球的概率．
(3)在第1次拿出黃色球的條件下，第2次拿出黃色球的概率．
【解析】設(shè)“第1次拿出黃色球”為事件A，“第2次拿出黃色球”為事件B，則第1次和第2次都拿出黃色球?yàn)槭录嗀B.
(1)從5個(gè)乒乓球中不放回地依次拿出2個(gè)的基本事件為n(Ω)＝A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝20.又n(A)＝A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝12.
于是P(A)＝ eq \f(n（A）,n（Ω）) ＝ eq \f(12,20) ＝ eq \f(3,5) .
(2)因?yàn)閚(AB)＝3×2＝6，所以P(AB)＝ eq \f(n（AB）,n（Ω）) ＝ eq \f(6,20) ＝ eq \f(3,10) .
(3)由(1)(2)可得，在第1次拿出黃色的條件下，第2次拿出黃色的概率為P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，記事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為4或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”，求：
(1)事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率．
(2)事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率．
【解析】方法一：拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為6×6＝36，事件A的基本事件數(shù)為6×2＝12，
故P(A)＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) .由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，5＋6＝6＋5>8，6＋6>8.
故事件B的基本事件數(shù)為4＋3＋2＋1＝10，故P(B)＝ eq \f(10,36) ＝ eq \f(5,18) .
事件AB的基本事件數(shù)為6.故P(AB)＝ eq \f(6,36) ＝ eq \f(1,6) .由條件概率公式得
(1)P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,6),\f(1,3)) ＝ eq \f(1,2) .
(2)P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,6),\f(5,18)) ＝ eq \f(3,5) .
方法二：n(A)＝6×2＝12.
由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，4＋6＝6＋4＝5＋5>8，
5＋6＝6＋5>8，6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.
故(1)P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(6,12) ＝ eq \f(1,2) .
(2)P(A|B)＝ eq \f(n（AB）,n（B）) ＝ eq \f(6,10) ＝ eq \f(3,5) .
類型二 條件概率性質(zhì)的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
【典例】在某次考試中，要從20道題中隨機(jī)地抽出6道題，若考生至少能答對(duì)其中的4道題即可通過(guò)；若至少能答對(duì)其中的5道題就獲得優(yōu)秀，已知某考生能答對(duì)20道題中的10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過(guò)，求他獲得優(yōu)秀的概率．
【思路導(dǎo)引】先設(shè)出相關(guān)事件，求出相應(yīng)事件的概率，再將所求事件分解成兩個(gè)互斥事件的和．
【解析】設(shè)事件A為“該考生6道題全答對(duì)”，事件B為“該考生答對(duì)了其中5道題，另一道題答錯(cuò)”，事件C為“該考生答對(duì)了其中4道題，而另2道題答錯(cuò)”，事件D為“該考生在這次考試中通過(guò)”，事件E為“該考生在考試中獲得優(yōu)秀”，則A，B，C兩兩互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B.
由古典概型計(jì)算概率的公式及概率的加法公式可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＋ eq \f(C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ＝ eq \f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ) ，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
eq \f(P（A）,P（D）) ＋ eq \f(P（B）,P（D）) ＝ eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )) ＋ eq \f(\f(C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) ),\f(12 180,C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(20)) )) ＝ eq \f(13,58) .
故所求的概率為 eq \f(13,58) .
利用條件概率的性質(zhì)求概率
若事件B，C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即為了求得比較復(fù)雜事件的概率，往往可以先把它分解成兩個(gè)(或若
干個(gè))互斥的較簡(jiǎn)單事件，求出這些簡(jiǎn)單事件的概率，再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率．
盒內(nèi)裝有除型號(hào)和顏色外完全相同的16個(gè)球，其中6個(gè)是E型玻璃球，10個(gè)是F型玻璃球．E型玻璃球中有2個(gè)是紅色的，4個(gè)是藍(lán)色的；F型玻璃球中有3個(gè)是紅色的，7個(gè)是藍(lán)色的．現(xiàn)從中任取1個(gè)，已知取到的是藍(lán)球，問(wèn)該球是E型玻璃球的概率是多少？
【解析】由題意得球的分布如下：
設(shè)A表示“取得藍(lán)色玻璃球”，B表示“取得藍(lán)色E型玻璃球”．
方法一：因?yàn)镻(A)＝ eq \f(11,16) ，P(AB)＝ eq \f(4,16) ＝ eq \f(1,4) ，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(11,16)) ＝ eq \f(4,11) .
方法二：因?yàn)閚(A)＝11，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(4,11) .
類型三 條件概率的實(shí)際應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
【典例】有一批燈泡壽命超過(guò)500小時(shí)的概率為0.9，壽命超過(guò)800小時(shí)的概率為0.8，在壽命超過(guò)500小時(shí)的燈泡中壽命能超過(guò)800小時(shí)的概率為_(kāi)_______．
【思路導(dǎo)引】仔細(xì)閱讀分析題意，利用條件概率公式解題．
【解析】記“壽命超過(guò)500小時(shí)”為事件A，
“壽命超過(guò)800小時(shí)”為事件B，則所求事件為B|A，
因?yàn)锽?A，所以B∩A＝B，又P(A)＝0.9，
P(B∩A)＝P(B)＝0.8，
所以P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) ＝ eq \f(8,9) .
答案： eq \f(8,9)
解決條件概率問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)
(1)關(guān)鍵：理清條件和結(jié)論，建立條件概率模型；
(2)注意：B∩A事件的含義；
(3)公式：P(A|B)＝ eq \f(P（A∩B）,P（B）) ，P(B|A)＝ eq \f(P（A∩B）,P（A）) .
某種元件用滿6 000小時(shí)未壞的概率是 eq \f(3,4) ，用滿10 000小時(shí)未壞的概率是 eq \f(1,2) .現(xiàn)有1個(gè)此種元件，已經(jīng)用過(guò)6 000小時(shí)未壞，求它能用到10 000小時(shí)的概率．
【解析】設(shè)A：用滿10 000小時(shí)未壞，B：用滿6 000小時(shí)未壞，顯然AB＝A，
所以P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(P（A）,P（B）) ＝ eq \f(\f(1,2),\f(3,4)) ＝ eq \f(2,3) .
1．已知P(AB)＝ eq \f(3,10) ，P(A)＝ eq \f(3,5) ，則P(B|A)等于( )
A． eq \f(7,10) B． eq \f(9,10) C． eq \f(1,2) D． eq \f(9,50)
【解析】選C.由P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) .
2．某班學(xué)生的考試成績(jī)中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語(yǔ)文不及格的占5%，兩門(mén)都不及格的占3%，已知一學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他的語(yǔ)文也不及格的概率
是( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(3,10) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
【解析】選A.設(shè)A為事件“數(shù)學(xué)不及格”，B為事件“語(yǔ)文不及格”，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.03,0.15) ＝ eq \f(1,5) ，所以當(dāng)數(shù)學(xué)不及格時(shí)，該學(xué)生語(yǔ)文也不及格的概率為 eq \f(1,5) .
3．(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)甲、乙兩市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百多年來(lái)的氣象記錄，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，兩地同時(shí)下雨占12%，記P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，則P(A|B)和P(B|A)分別等于( )
A． eq \f(1,3) ， eq \f(2,5) B． eq \f(2,3) ， eq \f(2,5)
C． eq \f(2,3) ， eq \f(3,5) D． eq \f(1,2) ， eq \f(3,5)
【解析】選C.P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(0.12,0.18) ＝ eq \f(2,3) ，P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(0.12,0.2) ＝ eq \f(3,5) .
4．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣投擲兩次，事件A：第一次出現(xiàn)正面，B：第二次出現(xiàn)正面，則P(B|A)＝________．
【解析】因?yàn)槭录嗀所包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，事件AB所包含的基本事件有(正，正)，
所以P(A)＝ eq \f(2,4) ，P(AB)＝ eq \f(1,4) .
所以P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,4),\f(2,4)) ＝ eq \f(1,2) .
答案： eq \f(1,2)
5．高三畢業(yè)時(shí)，小紅、小鑫、小蕓等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知小紅、小鑫二人相鄰，則小鑫、小蕓相鄰的概率是________．
【解析】設(shè)“小紅、小鑫二人相鄰”為事件A，“小鑫、小蕓二人相鄰”為事件B，則所求概率為P(B|A)，而P(A)＝ eq \f(2A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(2,5) ，AB表示事件“小鑫與小紅、小蕓都相鄰”，故P(AB)＝ eq \f(2A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ) ＝ eq \f(1,10) ，于是P(B|A)＝ eq \f(\f(1,10),\f(2,5)) ＝ eq \f(1,4) .
答案： eq \f(1,4) E型玻璃球
F型玻璃球
總計(jì)
紅
2
3
5
藍(lán)
4
7
11
總計(jì)
6
10
16