初中人教版第二十四章 圓24.4 弧長及扇形的面積課后測評(píng)

這是一份初中人教版第二十四章 圓24.4 弧長及扇形的面積課后測評(píng)，共13頁。試卷主要包含了4 弧長和扇形面積 培優(yōu)訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題（本大題共8道小題）


1. 如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，O1，O2，O3，O4分別是OA，OB，OC，OD的中點(diǎn)．若⊙O的半徑是2，則陰影部分的面積為( )





A．8 B．4


C．4π＋4 D．4π－4





2. 一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是( )


A．120° B．180° C．240° D．300°





3. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半徑r＝4，則陰影部分的面積為( )





A．4π－8 B．2π


C．4π D．8π－8





4. （2020·樂山）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如圖所示，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積為（ ）








A． EQ \F(π,4)B． EQ \F(π－EQ \R(,3),2)C． EQ \F(π－EQ \R(,3),4)D． EQ \F(EQ \R(,3),2)π


5. 如圖，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲線CDEF…叫做“等腰直角三角形的漸開線”，其中eq \(CD,\s\up8(︵))，eq \(DE,\s\up8(︵))，eq \(EF,\s\up8(︵))，…的圓心依次按A，B，C，…循環(huán)．如果AC＝1，那么曲線CDEF和線段CF圍成圖的面積為( )





圖


A.eq \f(（12＋7\r(,2)）,4)π B.eq \f(（9＋5\r(,2)）,4)π


C.eq \f(（12＋7\r(,2)）π＋2,4) D.eq \f(（9＋5\r(,2)）π＋2,4)





6. 2019·寧波 如圖所示，在矩形紙片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形BAF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為( )





A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm





7. 如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形BAF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為( )





A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm





8. 2017·衢州 運(yùn)用圖變化的方法研究下列問題：如圖AB是⊙O的直徑，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，則圖陰影部分的面積是( )





圖A.eq \f(25,2)π B．10π


C．24＋4π D．24＋5π





二、填空題（本大題共8道小題）


9. (2020·湘潭)如圖，在半徑為6的⊙O中，圓心角，則陰影部分面積為________．








10. 如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，⊙O的半徑為3，則圖中陰影部分的面積是________．








11. （2020·吉林）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，箏形的對角線，相交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，若，，則的長為_______（結(jié)果保留）．








12. 如圖，已知扇形OAB的圓心角為60°，扇形的面積為6π，則該扇形的弧長為________．








13. （2020·新疆）如圖，⊙O的半徑是2，扇形BAC的圓心角為60°，若將扇形BAC剪下轉(zhuǎn)成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面圓的半徑為____________．











14. 一個(gè)圓錐的側(cè)面積為8π，母線長為4，則這個(gè)圓錐的全面積為________．





15. 如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2eq \r(,2).若把Rt△ABC繞邊AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為________．(結(jié)果保留π)








16. (2020·濰坊)如圖，四邊形是正方形，曲線是由一段段90度的弧組成的．其中：的圓心為點(diǎn)A，半徑為；


的圓心為點(diǎn)B，半徑為；


的圓心為點(diǎn)C，半徑為；





圓心為點(diǎn)D，半徑為；…


的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D循環(huán)．若正方形的邊長為1，則的長是_________．








三、解答題（本大題共4道小題）


17. 如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交半圓O于點(diǎn)E，連接CE.


(1)判斷CD與半圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；


(2)若E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，半圓O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積．




















18. 如圖，蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，現(xiàn)想用毛氈搭建底面積為9π m2，高為6 m，外圍高為2 m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛氈．(結(jié)果保留π)




















19. 如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEFG…叫做“正三角形的漸開線”，曲線的各部分為圓?。?br/>

(1)圖已經(jīng)有4段圓弧，請接著畫出第5段圓弧GH.


(2)設(shè)△ABC的邊長為a，則第1段弧的長是________，第5段弧的長是________，前5段弧長的和(即曲線CDEFGH的長)是________．


(3)類似地，有“正方形的漸開線”“正五邊形的漸開線”……邊長為a的正方形的漸開線的前5段弧長的和是________．


(4)猜想：①邊長為a的正n邊形的前5段弧長的和是________；


②邊長為a的正n邊形的前m段弧長的和是________．




















20. 如圖，PB切⊙O于點(diǎn)B，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為D，交⊙O于點(diǎn)A，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，AF，BF.


(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半徑為3，


求：①∠CBF的度數(shù)；


②eq \(AB,\s\up8(︵))的長；


③陰影部分的面積．


(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半徑．


(3)求證：直線PA為⊙O的切線．


(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半徑．




















人教版 九年級(jí)數(shù)學(xué) 24.4 弧長和扇形面積 培優(yōu)訓(xùn)練-答案


一、選擇題（本大題共8道小題）


1. 【答案】A





2. 【答案】B [解析] 設(shè)母線長為R，底面圓的半徑為r，則底面圓的周長＝2πr，底面積＝πr2，側(cè)面積＝πrR.∵側(cè)面積是底面積的2倍，∴2πr2＝πrR，∴R＝2r.設(shè)該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為n°，則eq \f(nπR,180)＝2πr，∴eq \f(nπR,180)＝πR，∴n＝180.故選B.





3. 【答案】A [解析] 由題意可知∠BOC＝2∠A＝45°×2＝90°.∵S陰影＝S扇形OBC－S△OBC，S扇形OBC＝eq \f(1,4)S圓＝eq \f(1,4)π×42＝4π，S△OBC＝eq \f(1,2)×42＝8，所以陰影部分的面積為4π－8.故選A.





4. 【答案】B


【解析】先求出AC、AB，再根據(jù)S陰影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′求解即可．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，∴AC＝2BC＝2，∴AB＝EQ \R(,AC\S\UP6(2)－BC\S\UP6(2))＝EQ \R(,3)；由旋轉(zhuǎn)得，∴AB＝A′B′＝EQ \R(,3)，BC＝B′C′＝1，∠CAC′＝90°，∴∠CAB′＝60°，∴S陰影＝S扇形CAC′－S△AB′C′－ S扇形DAB′＝ EQ \F(90?π?22,360)－ EQ \F(1,2)×EQ \R(,3)×1－ EQ \F(90?π?(EQ \R(,3))2,360)＝ EQ \F(π－EQ \R(,3),2)．








5. 【答案】C [解析] 曲線CDEF和線段CF圍成的圖是由三個(gè)圓心不同，半徑不同的扇形以及△ABC組成的，所以根據(jù)面積公式可得


eq \f(135π×1＋135π×（\r(2)＋1）2＋90π×（\r(2)＋2）2,360)＋eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(（12＋7 \r(2)）π＋2,4).





6. 【答案】B





7. 【答案】B [解析] eq \(AF,\s\up8(︵))的長＝eq \f(1,4)·2π·AB，右側(cè)圓的周長為π·DE.


∵裁出的扇形和圓恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，


∴eq \f(1,4)·2π·AB＝π·DE，∴AB＝2DE，


即AE＝2DE.


∵AE＋DE＝AD＝6，∴AB＝4.故選B.





8. 【答案】A [解析] 如圖作直徑CG，連接OD，OE，OF，DG.





∵CG是⊙O的直徑，∴∠CDG＝90°，則DG＝eq \r(CG2－CD2)＝8.


又∵EF＝8，∴DG＝EF，


∴eq \(DG,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))，


∴S扇形ODG＝S扇形OEF.


∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，


∴S陰影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圓＝eq \f(1,2)π×52＝eq \f(25,2)π.





二、填空題（本大題共8道小題）


9. 【答案】


【解析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟記扇形面積的計(jì)算公式．


陰影部分面積為，





故答案為：．


10. 【答案】3π 【解析】∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半徑為3，∴陰影部分的面積S扇形OAB＝eq \f(120×π×32,360)＝3π.





11. 【答案】


【解析】由題意知：，，


∴ABC和ADC是等腰三角形，AC⊥BD．


∵，


∴OD=，OA=


∴OB=．





∵∠ABD=，


∴∠EBF=，





=


．


故答案為．


12. 【答案】2π [解析] 設(shè)扇形的半徑是R，


則eq \f(60·π·R2,360)＝6π，解得R＝6(負(fù)值已舍去)．


設(shè)扇形的弧長是l，則eq \f(1,2)lR＝6π，即3l＝6π，


解得l＝2π.故答案為2π.





13. 【答案】








【解析】本題考查了垂徑定理，弧長公式，圓錐的側(cè)面展開圖．連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D．∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，所以△OAB≌△OAC，所以∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×60°＝30°．在Rt△OAD中，因?yàn)椤螼AC＝30°，OA＝2，所以O(shè)D＝1，AD＝．因?yàn)镺D⊥AC，所以AC＝2AD＝．所以＝×π×＝π．設(shè)此圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr＝π，解得r＝，因此本題答案為．





14. 【答案】12π





15. 【答案】8 eq \r(2)π [解析] 過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D.


在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 eq \r(2)，


∴AB＝eq \r(2)AC＝4，∴CD＝2.


以CD為半徑的圓的周長是4π.


故Rt△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積是2×eq \f(1,2)×4π×2 eq \r(2)＝8 eq \r(2)π.





16. 【答案】【解析】本題主要考查了弧長的計(jì)算，弧長的計(jì)算公式：，找到每段弧的半徑變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．


由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑+1，


，，……，


，，


故的半徑為，


的弧長=．


三、解答題（本大題共4道小題）


17. 【答案】


解：(1)CD與半圓O相切．


證明：∵AC平分∠DAB，


∴∠DAC＝∠BAC.


∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，


∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.


∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.


又∵OC為半圓O的半徑，


∴CD與半圓O相切．


(2)連接OE.


∵AC平分∠DAB，


∴∠DAC＝∠BAC，∴eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵)).


又∵E是eq \(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，


∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，S弓形AE＝S弓形CE，


∴∠BOC＝∠EOC＝60°.


又∵OE＝OC，∴△OEC是等邊三角形，


∴∠ECO＝60°，CE＝OC＝1.


由(1)得OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，


∴∠DCE＝30°，


∴DE＝eq \f(1,2)，DC＝eq \f(\r(3),2)，


∴S陰影＝S△DEC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),8).





18. 【答案】


解：∵蒙古包的底面積為9π m2，高為6 m，外圍(圓柱)高為2 m，


∴底面圓的半徑為3 m，圓錐的高為6－2＝4(m)，


∴圓錐的母線長為5 m，


∴圓錐的側(cè)面積為π×3×5＝15π(m2)，


圓錐的底面周長為2π×3＝6π(m)，


圓柱的側(cè)面積為6π×2＝12π(m2)．


故至少需要毛氈15π＋12π＝27π(m2)．





19. 【答案】


eq \f(13π,4)解：(1)如圖





(2)eq \f(2,3)πa eq \f(10,3)πa 10πa


(3)eq \f(15πa,2)


(4)①eq \f(30,n)πa ②eq \f(m（m＋1）,n)πa


20. 【答案】


解：(1)①∵∠AOF＝120°，


∴∠ABF＝60°.


∵AC是⊙O的直徑，


∴∠ABC＝90°，


∴∠CBF＝30°.


②連接OB.


∵∠AOF＝120°，


∴∠AOE＝60°.


∵EF⊥AB于點(diǎn)D，∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，


∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \f(120π×3,180)＝2π.


③∵∠AOE＝60°，EF⊥AB于點(diǎn)D，


∴∠OAB＝30°.


∵AC＝6，∴BC＝3，∴AB＝3 eq \r(3).


∵OA＝3，∴OD＝eq \f(3,2)，


∴S△AOB＝eq \f(1,2)AB·OD＝eq \f(1,2)×3 eq \r(3)×eq \f(3,2)＝eq \f(9,4) eq \r(3).


∵S扇形OAB＝eq \f(120,360)π×32＝3π，


∴陰影部分的面積＝S扇形OAB－S△AOB＝3π－eq \f(9,4) eq \r(3).


(2)∵EF⊥AB于點(diǎn)D，∴AD＝BD＝4.


設(shè)OA＝x，則OD＝OE－DE＝x－2.


在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，


∴⊙O的半徑為5.


(3)證明：連接OB.


∵PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°.


∵EF⊥AB于點(diǎn)D，∴eq \(AE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴∠AOP＝∠BOP.


又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，


∴∠PAO＝∠PBO＝90°，


∴直線PA為⊙O的切線．


(4)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，


∴OD＝eq \f(1,2)BC＝3.


設(shè)AD＝y(tǒng).∵AD∶FD＝1∶2，


∴FD＝2y，∴OA＝OF＝FD－OD＝2y－3.


在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即(2y－3)2＝y(tǒng)2＋32.


解得y1＝4，y2＝0(不合題意，舍去)．


∴OA＝2y－3＝5，即⊙O的半徑為5.