數(shù)學八年級上冊（2024）1.3 幾何證明舉例優(yōu)質(zhì)ppt課件

這是一份數(shù)學八年級上冊（2024）1.3 幾何證明舉例優(yōu)質(zhì)ppt課件，共20頁。PPT課件主要包含了章節(jié)導(dǎo)讀，1定義與證明，2證明，3幾何證明舉例，如何證明，互逆命題的推導(dǎo)與證明，推論的意義與運用，反證法的證明范式，合情推理到邏輯推理，學習目標等內(nèi)容，歡迎下載使用。
能復(fù)述反證法三步驟：① 假設(shè)命題不成立 → ② 推導(dǎo)矛盾 → ③ 原命題成立
能辨別反證法使用場景（存在性、唯一性、無限性命題）
能用反證法完成經(jīng)典證明
第五公設(shè)：一場兩千年的幾何戰(zhàn)爭
兩千年前，歐幾里得寫下第五公設(shè)——主要說明過一點有且只有一條直線與已知直線平行！一時之間，所有數(shù)學家都想證明這個又長又怪的公設(shè)
俄羅斯‘幾何狂人’羅巴切夫斯基： 既然證明不了，不如徹底造反！
假設(shè)過一點→兩條平行線！
然而若是該假設(shè)成立，竟會發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和小于180°
反證法：在荒謬中炸出新宇宙
如此荒謬的假設(shè)，你會認同嗎？
不！他用反證法挖出了新宇宙 ? 羅氏幾何！ 愛因斯坦用此推翻牛頓引力，重塑時空！
反證法究竟有何等威力?能把把‘不可能’變成新世界的基石？
接下來，讓我們走進課堂，了解什么是反證法！如何使用反證法！
反證法——當直接證明“走不通”時的思維突圍
當一個命題從已知條件出發(fā)不易直接證得結(jié)論時，還有其他方法嗎？
你常用的直接證明方法是什么？
試試用“新方法”證明熟悉的定理
證明平行線的性質(zhì)定理Ⅰ：
兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等
如果“假設(shè)同位角不相等”，會發(fā)生什么？
案例解析：用反證法證明平行線同位角相等
已知：如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別相交于點G、H。 求證：∠1=∠2。
假設(shè)：∠1≠∠2（提出反面假設(shè)）
過點G作直線A'B'，使∠EGB'=∠2
所以A'B'∥CD（同位角相等，兩直線平行）
因為AB∥CD（已知）
所以過點G有兩條直線AB、A'B'均平行于CD
這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾
所以∠1≠∠2的假設(shè)不成立
反證法：從“假設(shè)反面”到“證明結(jié)論”的邏輯閉環(huán)
以上這種證明方法有怎樣的特點？它包括了哪幾個步驟？
? 反證法的核心特點
- **間接性**：不直接證明結(jié)論，而是通過“否定反面”間接驗證；
- **矛盾性**：核心是“推導(dǎo)矛盾”（與已知條件、定理沖突）
- **邏輯性**：嚴格遵循“假設(shè)→推導(dǎo)→結(jié)論”的閉環(huán)，無邏輯漏洞。
?? 反證法的三步流程
① **否定結(jié)論** ? 假設(shè)命題的結(jié)論不成立
② **推出矛盾** ? 從假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件，推導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)果
③ **肯定結(jié)論** ? 由矛盾判定假設(shè)不成立，從而證明原結(jié)論
**反證法**：提出與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，再從假設(shè)出發(fā)推出矛盾，從而證明命題成立的方法
情境一：“以有證無”，反證法破解否定性命題的核心邏輯
1.用反證法證明： 一個三角形中不可能有兩個直角
假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°
因為∠A+∠B+∠C=180°（三角形內(nèi)角和定理）
所以90°+90°+∠C=180°（等量代換）
所以∠C=0°（等式的性質(zhì)）
但∠C=0°與三角形內(nèi)角的定義矛盾（三角形的每個內(nèi)角都大于0°）
因此，“△ABC中有兩個直角”的假設(shè)不成立
原命題得證： 一個三角形中不可能有兩個直角
情景二：反證法破“至少/至多”題：從“全反假設(shè)”到“矛盾突破”
2.用反證法證明：在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45°
已知：設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°求證：∠A或∠B中至少有一個≤45°
【證明】假設(shè)∠A>45°，∠B>45°
因為∠A+∠B+∠C=180°（三角形的內(nèi)角和定理） 且∠C=90°（已知）
所以∠A+∠B=90°（等量代換，等式的性質(zhì)）
因為∠A>45°且∠B>45°（已知）
所以∠A+∠B>45°+45°=90°
這與∠A+∠B=90°矛盾
所以假設(shè)不成立，原命題得證
情景三：反證法破“唯一性”命題，用“多”的假設(shè)，證“一”的必然
3.平行公理——過直線外一點只有一條直線與已知直線平行
已知：直線l，點P在l外；求證：過P只有一條直線與l平行
這與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，原命題得證。
反證法的本質(zhì)是 “否定反面→推導(dǎo)矛盾→肯定原結(jié)論”，適用于直接證明困難的命題
特點：證明“不存在”“不可能”“沒有”
特點：證明“唯一”“只有一個”“有且僅有”
3. “至少/至多”類命題
特點：證明“至少有一個”“至多有一個”
4. 難以直接構(gòu)造的命題
特點：無法通過直接舉例或正向推導(dǎo)證明
證明的方法主要有兩種：直接證明與間接證明，而“反證法”就是間接證明的典型方法
1.下列關(guān)于反證法證明平行公理的步驟，?順序正確?的是（ ）① 兩條直線都過P且平行，必重合；② 假設(shè)過P有兩條不同直線與l平行； ③ 假設(shè)不成立，原命題得證；④ 由平行傳遞性得兩條直線平行。 A. ②→④→①→③ B. ①→②→③→④ C. ③→②→①→④ D. ②→①→④→③
2. 用反證法證明“三角形中不可能有兩個鈍角”時，?推導(dǎo)過程中導(dǎo)出的矛盾?是（ ）A.與“三角形內(nèi)角和為180°”矛盾 B. 與“鈍角的定義（大于90°）”矛盾C. 與“平行線性質(zhì)”矛盾 D. 與“線段中點的定義”矛盾
否定性命題，該將“不可能”假設(shè)為“必然”
假設(shè)三角形中有兩個鈍角（設(shè)為∠A>90°，∠B>90°），則∠A+∠B>180°
加上第三個角∠C>0°，三角形內(nèi)角和∠A+∠B+∠C>180°
與“三角形內(nèi)角和為180°”的定理矛盾，故選擇A。
用反證法證明：三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個內(nèi)角大于或等于60°
已知：△ABC是任意三角形；求證：∠A,∠B,∠C中至少有一個≥60°
證明：假設(shè)△ABC的三個內(nèi)角都小于60°，即∠A