初中第1章 推理與證明1.3 幾何證明舉例優(yōu)秀ppt課件

這是一份初中第1章 推理與證明1.3 幾何證明舉例優(yōu)秀ppt課件，共20頁。PPT課件主要包含了章節(jié)導(dǎo)讀，1定義與證明，2證明，3幾何證明舉例，如何證明，互逆命題的推導(dǎo)與證明，推論的意義與運(yùn)用，反證法的證明范式，合情推理到邏輯推理，學(xué)習(xí)目標(biāo)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
明確區(qū)分定理與推論的邏輯關(guān)系
掌握“由定理直接推出推論”的演繹方法
能夠運(yùn)用推論簡化證明過程，遷移推理方法解決新問題
希帕索斯的“無理”之死——推論的不可反駁性
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派奉行“萬物皆整數(shù)比”的理念
認(rèn)為一切數(shù)都可以表示成整數(shù)或兩個(gè)整數(shù)之比。
這激怒了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們以“背叛”罪名判處希帕索斯死刑
那么數(shù)學(xué)推論到底是什么？它有什么意義和用途？
今天我們將從“三角形的內(nèi)角和”定理出發(fā)
看它會(huì)誕生出何種“危險(xiǎn)推論”，同時(shí)探索推論的意義。
“三角形內(nèi)角和”定理的證明
【回顧】上學(xué)期，我們從基本事實(shí)（如平角定義、平行線性質(zhì)）出發(fā)，說明了“三角形的內(nèi)角和等于180°”的正確性。
怎樣嚴(yán)格證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”呢？
證明：三角形的內(nèi)角和等于180°。? 已知：如圖，∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角。? 求證：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
（1）通過“剪拼法”可將三個(gè)角拼為平角（上學(xué)期實(shí)驗(yàn)方法）；
（2）類似地，我們可以通過“作平行線”（輔助線），將角“轉(zhuǎn)移”到同一頂點(diǎn)，利用平行線性質(zhì)實(shí)現(xiàn)證明。
作輔助線：延長BC至D，過點(diǎn)C作CE∥AB
所以∠B = ∠ECD（兩直線平行，同位角相等）
∠A = ∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定義）
∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代換）
【定理結(jié)論】 △內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°
? 你還能想到其他添加輔助線的方法嗎？
例：過點(diǎn)A作BC的平行線，或過點(diǎn)B作AC的平行線
三角形外角的性質(zhì)與推論
觀察下圖，三角形的一個(gè)外角∠ACD與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角∠A、∠B之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
由以上證明可知： ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD = ∠A + ∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角/同位角相等）
? ∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B（不等式性質(zhì)）
推論一：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和
推論二：三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角
直角三角形的性質(zhì)與推論
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A與∠B有什么數(shù)量關(guān)系？
證明：在RT△ABC中
因?yàn)椤螦 + ∠B + ∠C = 180°（三角形內(nèi)角和定理）
所以∠A + ∠B = 180° - ∠C（等式性質(zhì)）
所以∠C = 90°（已知直角）
所以∠A + ∠B = 90°（代入計(jì)算）
同樣，也可以證明以上條件與結(jié)論反過來也成立
推論一：直角三角形的性質(zhì)定理： 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
推論二：直角三角形的判定定理： 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形
知識(shí)總結(jié)：推論與定理的區(qū)別
經(jīng)嚴(yán)格證明的核心真命題
由定理/基本事實(shí)直接推出的真命題
不依賴其他定理（依賴公理/基本事實(shí)）
必須依賴已有定理（如內(nèi)角和定理）
復(fù)雜（多步輔助線/公理組合，如作平行線證內(nèi)角和）
簡單（1-2步推導(dǎo)，如外角=180°-內(nèi)角和）
數(shù)學(xué)體系的“地基”，可推導(dǎo)多個(gè)推論
定理的“延伸應(yīng)用”，直接服務(wù)解題
推論是定理的邏輯延伸，推理是連接“已知”與“未知”的橋梁。 無論是定理還是推論，都是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn)！
已知：在△ABC中，∠B=∠C，D是BC邊上一點(diǎn)；過點(diǎn)D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、D。?求證：∠FDE=∠C。
證明：因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥BC（已知）
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°（垂直的定義）
因?yàn)椤螮DC是△EBD的外角（外角定義）
所以∠EDC=∠B+∠DEB（三角形的外角=不相鄰兩內(nèi)角和）
因?yàn)椤螮DC=∠FDE+∠FDC（已知）
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB（等量代換）
所以∠FDE+90°=∠B+90°（等量代換）
因?yàn)椤螧=∠C（已知）
所以∠FDE=∠C（等量代換）
本題中，我們使用了三角形內(nèi)角和的推論，想想要是不用詞條推論，會(huì)多多少條步驟?你能總結(jié)推論的意義嗎?
1.**知識(shí)延伸的捷徑**：從定理“生長”出新結(jié)論，避免重復(fù)證明
（如外角性質(zhì)直接用內(nèi)角和推導(dǎo)）
2.**解題效率的提升**：推論作為“半成品工具”，簡化復(fù)雜問題
（如用互余性質(zhì)快速求直角三角形銳角）
3.**邏輯思維的訓(xùn)練**：體會(huì)“定理→推論”的嚴(yán)謹(jǐn)鏈條，培養(yǎng)“言必有據(jù)”的推理習(xí)慣
通過情境中希帕索斯的故事我們可以知道，推論還具有不可反駁性，下面就讓我們體會(huì)合理運(yùn)用定理與推論是如何簡化證明過程的
合理使用定理簡化證明過程
1.證明：四邊形四個(gè)內(nèi)角的和等于360°。? 已知：如圖，∠A、∠B、∠C，∠D是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角。? 求證：∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=360°
證明：連接AC，可得△ ABC與△ ACD
所以∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°（三角形內(nèi)角和定理）
因?yàn)椤螧AD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCA+∠DCA（角的和的定義）
所以∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=180°+180°=360°（等量代換）
合理使用推論簡化證明過程
2.? 已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D? 求證：∠1=∠B
證明：因?yàn)椤螦CB=90°（已知）
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形兩銳角互余）
因?yàn)镃D⊥AB（已知）
所以∠ADC=90°（垂直定義）
所以∠A + ∠1 = 90°（直角三角形兩銳角互余）
所以∠1 = ∠B（同角的余角相等）
3.? 已知：如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接DB、DC。? 求證：∠BDC>∠A
證明：延長BD交AC于E（構(gòu)造外角）
因?yàn)椤螧DC是△CDE的外角（外角定義）
所以∠BDC > ∠DEC（三角形外角大于不相鄰內(nèi)角）
因?yàn)椤螪EC是△ABE的外角（外角定義）
所以∠DEC > ∠A（三角形外角大于不相鄰內(nèi)角）
所以∠BDC > ∠A（不等式傳遞性）
一、填空第2題證明“∠1=∠B”時(shí)，兩次用到“直角三角形兩銳角互余”，該結(jié)論是由“______________________”（填定理名稱）直接推出的，因此它是該定理的________（填“定理”或“推論”）。 第3題證明“∠BDC>∠A”的關(guān)鍵依據(jù)是“三角形的外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角”，該結(jié)論是“________________”（填定理名稱）的推論，其作用是__________________________（填推論的意義，如“簡化角的大小關(guān)系證明”）。
直接建立不相鄰角的大小關(guān)系
2.（即時(shí)訓(xùn)練變式）在第2題圖中，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，若∠A=40°，僅用“直角三角形兩銳角互余”這一推論，求∠1和∠B的度數(shù)，并說明推論如何簡化計(jì)算。
提示：在前面證明∠1=∠B時(shí)，不僅僅用到了“直角三角形的兩銳角互余”這一推論，還用到了“等角的余角相等”這一定理
解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=50°（直角三角形兩銳角互余推論）
在Rt△ACD中，∠1=90°-∠A=50°（直角三角形兩銳角互余推論）
簡化意義：直接用推論得出結(jié)果，無需重新計(jì)算三角形內(nèi)角和。
? 已知： ① ∠ACE是△ABC的外角； ② BD平分∠ABC，CD平分∠ACE。
? 求證： ∠D = ?∠A。
因?yàn)?BD平分∠ABC（已知）
所以?∠DBC = ?∠ABC，同理∠DCE = ?∠ACE（角平分線定義）
因?yàn)?∠ACE是△ABC的外角（已知）
所以?∠D = ∠DCE - ∠DBC（等式變形）
= ?∠ACE - ?∠ABC
= ?(∠A + ∠ABC - ∠ABC) （等量代換）
所以?∠ACE = ∠A + ∠ABC，同理∠DCE = ∠DBC + ∠D（三角形的外角和定理）
由已知定理直接推出的真命題，但依賴于已有的定理（無需重新證明）
?建立“已知”與“未知”的橋梁
??優(yōu)先用推論：如看到三角形外角，立即想到“外角定理”（不用內(nèi)角和重新推導(dǎo)）
???進(jìn)行代數(shù)化簡：如用推論結(jié)果消去中間角，快速得結(jié)論。
??可結(jié)合其他定理：如將分角轉(zhuǎn)化為原角的一半，便于代入