2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共16頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．若集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是兩個(gè)互相平行的平面，，，是不重合的三條直線，且，，，則（ ）
A．B．C．D．
4．某學(xué)校高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為1600，1200，2000，現(xiàn)按年級(jí)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中選取120人，若按照樣本比例分配，則高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為（ ）
A．50B．40C．30D．20
5．若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線不經(jīng)過(guò)第二象限，且該切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則（ ）
A．B．C．D．1
6．如圖，側(cè)面展開(kāi)圖為扇形AOD的圓錐和側(cè)面展開(kāi)圖為扇環(huán)ABCD的圓臺(tái)的體積相等，且，則（ ）
A．2B．C．4D．8
7．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．1012C．2024D．4048
8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)
B．的最大值為
C．的最小正周期為
D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
11．雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”.如圖，曲線C：是雙紐線，關(guān)于曲線C，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A．
B．C上存在點(diǎn)，使得
C．C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為
D．若直線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則
13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.若，則點(diǎn)O到直線的距離為 .
14．已知，，且，則的最小值為
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列滿足，.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)求的前n項(xiàng)和.
16．如圖，在多面體中，平面，平面平面，，，為等腰直角三角形，且，，

(1)證明：平面.
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
17．如圖，、、、是圓上的四點(diǎn).
(1)若，，，求圓的半徑；
(2)若，且的面積是的面積的倍，求.
18．已知是橢圓上的一點(diǎn)，且的離心率為，斜率存在且不過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，直線與直線的斜率之積為
(1)求的方程.
(2)證明：的斜率為定值.
(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與線段（不含端點(diǎn)）相交，且四邊形的面積為，求的方程.
19．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間，若，，則稱是在上的不動(dòng)點(diǎn)，集合為在上的不動(dòng)點(diǎn)集.
(1)求函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集；
(2)若函數(shù)在上有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若函數(shù)在上的不動(dòng)點(diǎn)集為，求的取值范圍.
答案
1．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)?，?br>所以不成立，，故CD錯(cuò)誤，
則，，故A錯(cuò)誤，B正確，
故選：B.
2．【正確答案】C
【詳解】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：C.
3．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)椋?，所?
又，，所以，，
，平行或異面.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】設(shè)高二年級(jí)被選中的學(xué)生人數(shù)為x，
則.
故選.
5．【正確答案】D
【詳解】由，得，，
則的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.將代入切線方程，得，將代入切線方程，得.
因?yàn)樵撉芯€與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，所以，
解得或.
當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，符合題意；
當(dāng)時(shí)，切線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，不符合題意.故.
故選：D
6．【正確答案】A
【詳解】設(shè)側(cè)面展開(kāi)圖為扇形的圓錐的底面半徑為r，高為h，
則該圓錐的體積.
側(cè)面展開(kāi)圖為扇形的圓錐的底面半徑為，高為，
則該圓錐的體積.
由題可知，從而.
故選：A.
7．【正確答案】B
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，
所以，
，
所以，
所以，所以，
所以.
故選：B
8．【正確答案】D
【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然恒成立.
當(dāng)時(shí)，可以理解為將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的的圖象始終在的圖象的下方（部分重合）.
當(dāng)時(shí)，由的圖象：
可知，，解得;
當(dāng)時(shí)，由的圖象：
的圖象始終在的圖象的下方.
故a的取值范圍為.
故選：D
9．【正確答案】BD
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，得，故A項(xiàng)不正確.
對(duì)于B項(xiàng)，若，則，得，故B項(xiàng)正確.
對(duì)于C項(xiàng)，若，則，得，故C項(xiàng)不正確.
對(duì)于D項(xiàng)，若，則，故D項(xiàng)正確.
故選：BD.
10．【正確答案】AB
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>則，
所以為奇函數(shù)，A正確.
，
所以的最小正周期不是，C不正確.
所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，D不正確.
，顯然，且，
當(dāng)時(shí)，，
由，函數(shù)在上是減函數(shù)，因此，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為，B正確.
故選：AB．
11．【正確答案】AC
【詳解】由圖可知，點(diǎn)在上，則，所以，正確；
設(shè)曲線上任一點(diǎn)，由，
可得，，
即上不存在點(diǎn)，使得，不正確；
方程可化為，
令，得，
由，
可得，
即，易知等號(hào)成立，故上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，正確；
直線與均經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線與除原點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，整理得，
當(dāng)時(shí)，方程僅有一解，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，整理得，
當(dāng)時(shí)，方程恒成立，
因?yàn)楹阌幸唤猓詿o(wú)解，即當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，
綜上，，解得或，不正確.
故選.
12．【正確答案】
【詳解】，則.
故
13．【正確答案】32/
【詳解】
由題可知，，設(shè)，
則由，得，，
則.
由，得，解得，
則點(diǎn)O到直線的距離.
故
14．【正確答案】
【詳解】由，得，
則，
則.
因?yàn)椋?，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
從而.
又，
所以當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最小值，且最小值為.
故答案為.
15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)
【詳解】（1）證明：由，得，
又因?yàn)椋?br>所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則，從而.
（2）由（1）可知，①
則②
①②得
即，
則.
16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）

證明：取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OF.
因?yàn)椤鱂CD為等腰直角三角形，且，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，.
因?yàn)槠矫鍭BCD，
所以.
又平面，平面，
所以平面ADE，
因?yàn)?，所以?br>又，
所以四邊形ABOD為平行四邊形，則.
因?yàn)槠矫鍭DE，平面ADE，
所以平面ADE，
又，平面，
所以平面平面ADE.
因?yàn)槠矫鍻BF，所以平面ADE .
（2）解：由題可知AB，AD，AE兩兩垂直，
故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則B1,0,0，，E0,0,1，，
，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，
則由得，
令，得，
設(shè)平面的法向量為n=x2,y2,z2，
則由得，
令，得.
，
則平面與平面的夾角的余弦值為.
17．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）
在中，
由余弦定理得，
則.
設(shè)圓的半徑為，則.
（2）的面積，
的面積，
因?yàn)椋裕?br>如圖，連接BD.
在中，設(shè)，
由余弦定理得，
則，則.
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
則.
18．【正確答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(3)
【詳解】（1）由題可知，解得，，
故的方程為.
（2）設(shè)的方程為，Px1,y1，.
聯(lián)立方程組
整理得，
即，則，，
，
整理得，則或，
若，則，則過(guò)點(diǎn)，不符合題意，
故，即的斜率為定值.
（3）由（2）可得直線，，，
因?yàn)榕c線段（不含端點(diǎn)）相交，所以，
，
點(diǎn)到的距離，
點(diǎn)到的距離，
四邊形的面積，
解得或（舍去），
故的方程為.
19．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由，得，
解得或，
故在0,+∞上的不動(dòng)點(diǎn)集為.
（2）方法一：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
即方程在只有一解.
因?yàn)槭欠匠痰慕?，所以方程在上無(wú)解.
作函數(shù)和，的圖象，如下圖：
由，，所以.
當(dāng)或即或時(shí)，與，的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
所以的取值范圍是.
方法二：由題可知，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
令，則.
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
若，則在上恒成立，φx在上單調(diào)遞減.
因?yàn)椋?，所以φx在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有且僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
若，易知是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?，，所以存在，使得?br>則當(dāng)和時(shí)，φ′x>0，φx單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，φ′x