2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（附解析），共20頁。
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知命題，；命題，，則（ ）
A. 和都是真命題B. 和都是真命題
C. 和都是真命題D. 和都是真命題
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題和存在性命題的真假判定方法，命題為真命題，命題為假命題，結(jié)合命題否定的概念，即可求解.
【詳解】對于任意，可得恒成立，所以命題為真命題，則為假命題；
由，可得，所以不存在，使得，
所以命題為假命題，則為真命題，
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. C. 2D. 4
【正確答案】A
【分析】計(jì)算出后結(jié)合模長定義即可得.
【詳解】，則.
故選：A.
3. 某學(xué)校對100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到各身高段的人數(shù)并整理如下表：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 100名學(xué)生身高的中位數(shù)小于160cm
B. 100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例超過
C. 100名學(xué)生身高的極差介于20cm至30cm之間
D. 100名學(xué)生身高的平均值介于160cm至165cm之間
【正確答案】D
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義判斷A選項(xiàng)，求出100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生有的人數(shù)判斷B選項(xiàng)，根據(jù)極差的定義判斷C選項(xiàng)，根據(jù)平均值的定義判斷D選項(xiàng).
【詳解】100名學(xué)生身高的中位數(shù)是第和第名學(xué)生身高的平均值，
第名和第名學(xué)生的身高均大于，所以100名學(xué)生身高的中位數(shù)大于160cm，故A錯誤；
100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生有名，
所以100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例為，故B錯誤；
100名學(xué)生身高的極差最大為，最小為，
但是“介于”不能準(zhǔn)確表示臨界值能否取到，故C錯誤；
100名學(xué)生身高的平均值為，故D正確.
故選：D.
4. 已知向量，滿足，，且，則（ ）
A B. C. 1D. 2
【正確答案】D
【分析】根據(jù)向量模的運(yùn)算、向量垂直的表示等知識列方程，從而求得.
【詳解】由兩邊平方得，，
由于，所以，
所以.
故選：D
5. 已知曲線：，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，為垂足，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】設(shè)，，由題意可得，代入曲線中即可得.
【詳解】設(shè)，則有，設(shè)，
則，由，則有，
即，故有，即.
故選：B.
6. 設(shè)函數(shù)，，若當(dāng)時，曲線與恰有一個交點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】利用二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知y=fx在x∈?1,1上單調(diào)遞減，而y=gx是R上增函數(shù)，
要滿足題意需，即，
解之得.
故選：B
7. 已知正四棱臺的體積為，底面邊長，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】取的中點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作，證得且，得出為正四棱臺的側(cè)面與底面所成角的平面角，根據(jù)棱臺的體積公式，求得棱臺的高為，在直角中，即可求解.
【詳解】如圖所示，取正四棱臺的上下底面中心為，
連接，則與正四棱臺的上下底面垂直，即為棱臺的高，設(shè)，
取的中點(diǎn)分別為，連接，
在直角梯形中，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
在等腰中，由，可得，
在等腰梯形中，由分別為的中點(diǎn)，可得，
所以為正四棱臺的側(cè)面與底面所成角的平面角，
因?yàn)榍艺睦馀_的體積為，
可得，解得，即，
在直角中，可得，
所以，即側(cè)面與底面所成的二面角的余弦值為.
故選：A.
8. 設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，則（ ）
A B. C. D.
【正確答案】B
【分析】將分解成兩個函數(shù)乘積，由函數(shù)圖像分類討論，得出對應(yīng)參數(shù)的關(guān)系及取值范圍，從的得出和的范圍.
【詳解】令函數(shù)，
（1）?x和與軸的交點(diǎn)都在原點(diǎn)左側(cè)，如圖：
此時，當(dāng)x∈0,+∞時，?x>0，gx>0，恒成立，
∴，即
∴，；
（2）?x和與軸的交點(diǎn)不在原點(diǎn)同側(cè)，如圖：
或
有圖可知，均存在區(qū)間或使得函數(shù)，故舍去；
（3）?x和與軸的交點(diǎn)都在原點(diǎn)右側(cè)，
①當(dāng)兩個零點(diǎn)不重合時，如圖：
或
顯然此時，存在或使得，故舍去；
②當(dāng)兩個零點(diǎn)重合且，時，如圖：
此時，當(dāng)x∈0,+∞時，恒成立，
故，∴
∴
綜上所述：，
故選：B
方法點(diǎn)睛：本題函數(shù)可以分解成兩個相乘的函數(shù)的形式，想要乘積大于等于0恒成立，說明在對應(yīng)區(qū)間上兩個函數(shù)值符號相同，從而找到參數(shù)的關(guān)系和范圍，便能得出結(jié)果.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng) 符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 對于函數(shù)和，下列說法錯誤的是（ ）
A. 與的定義域相同B. 與的值域相同
C. 與在其定義域內(nèi)都是偶函數(shù)D. 與的最小正周期相同
【正確答案】ABC
【分析】分別計(jì)算出、的定義域、最小正周期即可得A、D；計(jì)算出的值域后，找出在的值域中的數(shù)，但不在的值域中的數(shù)即可得B；分別驗(yàn)證與是否為偶函數(shù)即可得C.
【詳解】，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?,1，
，即最小正周期為，，故為偶函數(shù)；
對，有，即，又
即其定義域?yàn)?，故A錯誤；
由，故與的值域不同，故B錯誤；
，故不為偶函數(shù)，故C錯誤；
對D：，故為的周期，
又定義域?yàn)?，故的周期不小于?br>故最小正周期為，故D正確.
故選：ABC.
10. 拋物線的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點(diǎn)，過P作圓M：的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為Q，則（ ）
A. 當(dāng)時，l與圓M相切
B. 當(dāng)時，的最小值為
C. 當(dāng)時，為定值
D. 存在點(diǎn)P，使得為等邊三角形
【正確答案】CD
【分析】對于A，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程以及圓的圓心坐標(biāo)和半徑可以判斷是否相切；對于B，因?yàn)?，所以可使得兩點(diǎn)在點(diǎn)的異側(cè)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短原理可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值；對于C，已知可解得和的夾角，從而解得為定值；對于D，當(dāng)時，為等邊三角形，所以滿足存在性．
【詳解】對于A，圓M：的半徑，圓心到準(zhǔn)線的距離為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時， l與圓M相切，故A不正確；
對于B，如圖所示：
當(dāng)三點(diǎn)共線時，有最小值，最小值為，故B不正確；
對于C，因?yàn)?，，所以由余弦定理?br>,所以，
所以＝，故C正確；
對于D，當(dāng)時，，所以，
此時為等邊三角形，故D正確；
故選：CD．
11. 設(shè)函數(shù)，則（ ）
A. 當(dāng)時，有三個零點(diǎn)
B. 當(dāng)時，是的極大值點(diǎn)
C. 存在a，b，使得為曲線的對稱軸
D. 存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心
【正確答案】AD
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時，故在上單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個零點(diǎn)，于是時，有三個零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時，，單調(diào)遞減，
時，單調(diào)遞增，
此時在處取到極小值，B選項(xiàng)錯誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且，，則的值為______．
【正確答案】
【分析】設(shè)出公差，由題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得的值，即可得an的通項(xiàng)公式，再借助等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為，由題意可得，
則，
故，即有，
即，故，即，
則.
故答案為.
13. 已知角為第二象限角，，角為第四象限角，，則的值為______．
【正確答案】
【分析】結(jié)合角、所在象限與同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，，再利用兩角和的正切公式計(jì)算即可得.
【詳解】由角為第二象限角，則，
由角為第四象限角，則，
故，，
則.
故答案為.
14. 在一個正六邊形的六個頂點(diǎn)上放置數(shù)字，要求每個頂點(diǎn)上放置一個數(shù)字，且任意相鄰兩個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和不能為5或7.若已經(jīng)在三個相鄰頂點(diǎn)上放置了數(shù)字1、2、3，則共有______種不同的放置方法（數(shù)字可以重復(fù)使用），在所有符合上述要求的放置方法中，六個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和的最小值是______．
【正確答案】 ①. 72 ②. 6
【分析】分析已知三點(diǎn)的數(shù)字分布，由題意分析出已知三點(diǎn)中兩端的相鄰點(diǎn)的可能得數(shù)字，這兩個點(diǎn)的數(shù)字可能相同也可能不同，所以分類討論出結(jié)果，再相加即得答案；第二個空即可從前面的答案中找到數(shù)字最小的情況再相加即可.
【詳解】數(shù)字包含了：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個，
∵相鄰兩個頂點(diǎn)數(shù)字之和不能為5或7，
∴2和3不相鄰，即三個點(diǎn)分布為3、1、2或2、1、3，
∵正六邊形是對軸稱圖形，故上述兩種情況相同，記一種結(jié)果，
由題意可知：
與2相鄰的另一個點(diǎn)的數(shù)字可能是：0、1、2、4、6、7、8、9，
與3相鄰的另一個點(diǎn)的數(shù)字可能是：0、1、3、5、6、7、8、9，
1)當(dāng)這兩個點(diǎn)所選數(shù)字相同時，共有種取法，
此時，與剩余點(diǎn)相鄰的數(shù)字相同，只需考慮2種不符合題意的數(shù)字，
∴最后一個點(diǎn)共有種取法，
∴共計(jì)種不同的放置方法；
2)當(dāng)這兩個點(diǎn)所選數(shù)字不同時，則有種取法，
此時，與剩余點(diǎn)相鄰的數(shù)字不同，即2、3；2、5；4、3；4、5不存在差為2的情況，
所以每種結(jié)果都需排除4個不符合題意的數(shù)字，
∴最后一個點(diǎn)共有種取法，
∴共計(jì)種不同的放置方法；
綜上所述，共有種不同的放置方法.
在所有符合上述要求的放置方法中，六個點(diǎn)上的數(shù)字分別為2、1、3、0、0、0時和最小，
∴最小值為：6
故①72 ；②6.
思路點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于分析第四和第五個點(diǎn)相同與否會影響到第六個點(diǎn)的取值情況，所以在這里需要分類談?wù)?
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，且這些邊和角的關(guān)系滿足．
（1）求角的大小；
（2）若的面積為，且，求的周長．
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）利用正弦定理，將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求得；
（2）利用三角形面積公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周長.
【小問1詳解】
對，由正弦定理可得：，
故，則，又，故，.
【小問2詳解】
由三角形面積公式，結(jié)合可得：，即，解得：；
由余弦定理以及，可得，也即，
故，解得；
故的周長為.
16. 已知函數(shù)，函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為，且當(dāng)時，函數(shù)取得極值.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其極值定義計(jì)算即可得解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得當(dāng)時，f′x≥0，計(jì)算即可得解.
【小問1詳解】
，則有，
解得，即；
【小問2詳解】
由，，
由在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，f′x≥0，
令，解得或，
故或，
對，該不等式組無解，
對，解得，
綜上所述，.
17. 如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動.

（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.
【正確答案】（1）
（2）當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；
（2）設(shè)，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.
【小問1詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，則，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
所以，
所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；
【小問2詳解】
設(shè)，
則，
則，

設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
所以平面的一個法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
令，
則，
當(dāng)時，取得最小值，最小值為.
18. 在一個摸球游戲中，有一個裝有許多彩色球的盒子.盒子中的球分為三種顏色：紅色、藍(lán)色和綠色.每次游戲，參與者需要從盒子中隨機(jī)取出兩個球.已知盒子中紅色球、藍(lán)色球和綠色球的數(shù)量分別為a個、b個和c個，且總球數(shù)為N個.
（1）若第一次取出的球是紅色，第二次取出的球是藍(lán)色的概率為；第一次取出的球是藍(lán)色，第二次取出的球是紅色的概率為．求；
（2）若規(guī)定每次取球后都將球放回盒子中，且連續(xù)取球三次.設(shè)三次中恰好有兩次取出的球顏色相同的概率為，當(dāng)時，求；
（3）在（2）的條件下，若游戲組織者規(guī)定，當(dāng)三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)大于等于兩次時，參與者獲勝；否則，游戲組織者獲勝.已知參與者獲勝的概率為，游戲組織者獲勝的概率為，求，并判斷這個游戲是否公平．
【正確答案】（1）
（2）
（3），游戲不公平
【分析】（1），由概率的乘法公式可得結(jié)果；
（2），先計(jì)算對立事件發(fā)生的概率，再利用對立事件的性質(zhì)可得結(jié)果；
（3），利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算公式可得結(jié)果，從而判斷公平性．
小問1詳解】
設(shè)事件A表示第一次取出的球是紅色，事件B表示第二次取出的球是藍(lán)色，
那么，，所以；
設(shè)事件C表示第一次取出的球是藍(lán)色，事件D表示第二次取出的球是紅色，
那么，，所以；
所以；
【小問2詳解】
三次取出的球顏色都相同的概率為，
三次取出的球顏色都不相同的概率為，
所以三次中恰好有兩次取出的球顏色相同的概率
，
所以當(dāng)時， ；
【小問3詳解】
由（2）可知，三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)等于兩次的概率為，
三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)等于三次的概率為，
所以三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)大于等于兩次的概率，
此時，，
因?yàn)?，故游戲不公平．身高（cm）
[150，155）
[155，160）
[160，165）
[165，170）
[170，175）
[175，180]
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