2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共15頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．與向量同向的單位向量為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線與直線平行，則（ ）
A．B．C．或D．或
3．在數(shù)列中，若，，則下列數(shù)不是中的項(xiàng)的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓與圓恰有三條公切線，則（ ）
A．15B．17C．21D．23
5．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．12B．18C．24D．32
6．在三棱柱中，已知，且為平面上一點(diǎn)，則三棱柱的高為（ ）
A．B．C．D．
7．已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，記到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為正方體內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括表面），若，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是上位于第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若的離心率為2，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．為定值B．的漸近線方程為
C．為定值D．
11．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為
C．使得取得最小值的為7D．有最小值，無(wú)最大值
三、填空題（本大題共3小題）
12．在四面體中，空間的一個(gè)點(diǎn)M滿足，若，，，四點(diǎn)共面，則 ．
13．已知，則關(guān)于的不等式的解集為 .
14．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn).若為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且的面積等于8，則 ，a的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓的圓心在直線上，且點(diǎn)，在上.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交于D，E兩點(diǎn)，求.
16．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的方程：
(2)若，求直線的方程.
17．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
(2)若數(shù)列滿足，且，求的通項(xiàng)公式.
18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，平面，，為的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).
(1)證明：平面平面.
(2)是否存在點(diǎn)M，使得平面？若存在，求PM的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.
(3)求平面與平面夾角的余弦值的最大值.
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一點(diǎn)滿足關(guān)系式：，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.
(1)在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓.
(2)在同一直角坐標(biāo)系中，橢圓經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到曲線.
（i）求曲線的方程；
（ii）已知，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為證明：線段PQ的中點(diǎn)為定點(diǎn).
答案
1．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以與向量同向的單位向量為.
故選.
2．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以，解得或.
故選：D.
3．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，，，…，
故是以為周期的周期數(shù)列，-1不是數(shù)列中的項(xiàng)，
故選：A．
4．【正確答案】D
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓可化為，圓心為，半徑為，，
若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，
則，即，解得.
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】由，則，
由數(shù)列為等差數(shù)列，，故，
又，
故選：C.
6．【正確答案】B
【詳解】由，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，所以，
令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離為，故三棱柱的高為.
故選：B.
7．【正確答案】C
【詳解】
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可知：，
所以，
當(dāng)共線取得最小值.
故選：C
8．【正確答案】D
【詳解】取的中點(diǎn)，正方體的中心為，
則，
若求的最值，即為求的最值，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得，
若，且，
可知點(diǎn)為三棱柱內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括表面），
因?yàn)椋?br>則，即，
且，平面，可得平面，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，即平面，
可知的最小值即為，
根據(jù)正方體的對(duì)稱性可知：當(dāng)點(diǎn)為或時(shí)，取到最大值，
即，可得，
所以的取值范圍為.
故選：D.
9．【正確答案】AC
【詳解】由題意知，的中點(diǎn)，即在直線上，
則可得，解得，
則直線，斜率為，
又直線與直線垂直，
則可得，解得，
故選：AC.
10．【正確答案】BCD
【詳解】
因?yàn)槭巧衔挥诘谝幌笙迌?nèi)任意一點(diǎn)，所以不是定值，故錯(cuò)誤；
因?yàn)殡x心率，所以，
所以，即，所以的漸近線方程為，故正確；
設(shè)Px,y，因?yàn)?，?br>因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，
所以，故正確；
，
因?yàn)槭巧衔挥诘谝幌笙迌?nèi)任意一點(diǎn)，所以，
所以，故正確.
故選.
11．【正確答案】ACD
【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，所以?br>，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；
因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
所以，
所以，
又因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，
所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，所以不正確；
所以為7時(shí)最小，故正確；
由，可知，
，所以無(wú)最大值，
因?yàn)榈呢?fù)項(xiàng)只有有限個(gè)，，，，，
，，，
，所以有最小值，故正確.
故選.
12．【正確答案】
【詳解】因?yàn)?，，，四點(diǎn)共面，，
所以，
解得.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)，，
如圖：
的圖象是的上半圓，
的圖象是過(guò)點(diǎn)，斜率大于的直線，
當(dāng)直線過(guò)時(shí)，斜率為，
因?yàn)樾甭?，所以直線不過(guò)點(diǎn)，又點(diǎn)在半圓上，
所以關(guān)于的不等式的解集為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，
則，所以，
由，得，
即，所以，
即，；
因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，且，
則的最大值要大于等于，
且當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)，
設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，
當(dāng)，所以，
則，所以，
所以，所以，
即.
故；.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)橹本€的斜率為，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
所以線段的垂直平分線所在的直線方程為，
由得，
所以圓心，半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，
又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，
即，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以.
16．【正確答案】(1)
(2)，或
【詳解】（1）由題意，，，（或）
所以，解得，（舍去），
所以拋物線的方程為：
（2）由（1），，設(shè)，
由題意知直線的斜率存在，
設(shè)其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，
可得，所以，
，解得，
所以直線的方程為，
即，或.
17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)可得，
解得，，
所以.
則，
故可得，
又，
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
故可得，
由，，可得，
又，則，
當(dāng)時(shí)，可得
，
，
，
，
累加可得，
可得，
又也符合上式，
故.
18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)存在點(diǎn)，使得平面，
(3)
【詳解】（1）
連接，因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，
所以為等邊三角形，所以，
因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）存在點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，
理由如下：
取的中點(diǎn)，連接，，，
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，
所以，，
又，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面，
在直角三角形中，，
所以在直角三角形中，；
（3）
取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
，，，，，
所以，，，，
，
設(shè)平面的法向量為，
所以，所以，
令，所以，
因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，
所以平面與平面夾角的余弦值的最大值為.
19．【正確答案】(1)：
(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由橢圓，即，
由定義知，使得圓變換為橢圓，
則，
即伸縮變換：；
（2）（i）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Mx,y經(jīng)過(guò)伸縮變換，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn).
將，代入，
得，化簡(jiǎn)得.
曲線的方程為.
（ii）
證明：由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)锳?2,0，則直線，
令，解得，即，
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn)0,3.