2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共18頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線與直線夾角為，則的傾斜角為（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．如圖，是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線焦點(diǎn)，以為始邊、為終邊的角，則（ ）

A．1B．2C．4D．8
4．已知數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
5．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圖，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰霓猜想”（又稱“角谷猜想”等）．已知數(shù)列滿足：，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，頂點(diǎn)在底面ABC上的射影為的中心，則異面直線AB與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
7．在公比不為1的等比數(shù)列中，，的前項(xiàng)積為，則中不同的數(shù)值有（ ）
A．15個(gè)B．14個(gè)C．13個(gè)D．12個(gè)
8．已知為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則到軸的距離為（ ）
A．2B．C．D．
二、多選題（本大題共4小題）
9．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則下列能判斷為遞增數(shù)列的有（ ）
A．B．
C．D．
10．平面直角坐標(biāo)系中，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)軌跡為橢圓
B．若，則點(diǎn)軌跡為雙曲線
C．若，則點(diǎn)軌跡關(guān)于軸、軸都是對(duì)稱的
D．若，則點(diǎn)軌跡為圓
11．正方體中，P， Q， R分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．P，Q，R，C四點(diǎn)共面B．平面PQR
C．平面D．和平面PQR所成角的正弦值為
12．已知點(diǎn)，直線上有且僅有一點(diǎn)滿足，則可能是（ ）
A．0B．－1C．D．
三、填空題（本大題共4小題）
13．等差數(shù)列中，，則 ．
14．若數(shù)列為等比數(shù)列，則以為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
15．在空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程可寫為．已知直線的方向向量為，平面的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為 ．
16．過(guò)直線上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，過(guò)點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，則線段為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為 ．
四、解答題（本大題共6小題）
17．如圖，在空間四邊形ABCD中，為BC的中點(diǎn)，在CD上，且．
(1)以為基底，表示；
(2)，，求．
18．已知數(shù)列的首項(xiàng)是3，且滿足．
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
19．已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)為線段MN中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)已知，求的最大值．
20．如圖，正四棱錐中，，正四棱錐的高為分別為PB，PD的中點(diǎn)．

(1)求證：
(2)連結(jié)BF，DE相交于點(diǎn)，求平面與平面夾角的正弦值．
21．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（說(shuō)明：）
22．橢圓的離心率為分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知面積為3．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向軸引垂線交MN于點(diǎn)B，點(diǎn)C為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，求證：C，Q，M三點(diǎn)共線．
答案
1．【正確答案】A
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：A
2．【正確答案】C
【分析】先求直線斜率及傾斜角，再根據(jù)夾角為求出的傾斜角即可.
【詳解】直線斜率則傾斜角為，
直線與直線夾角為，則的傾斜角為或.
故選：C.
3．【正確答案】B
【分析】求出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立求出可得答案.
【詳解】由題可知，則直線的方程為，
與拋物線方程聯(lián)立，得，
解得，或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，
所以.
故選：B.
4．【正確答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義可證得數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)果.
【詳解】，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
，
數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，.
故選：B.
5．【正確答案】B
【分析】根據(jù)“冰霓猜想”結(jié)合遞推關(guān)系式，可發(fā)現(xiàn)從開始進(jìn)入循環(huán)，利用規(guī)律求解判斷.
【詳解】由題意可得，，，，，，，，，…，按照此規(guī)律下去，
可得，，，，
令，解得，.
故選：B.
6．【正確答案】A
【分析】由于‖，所以為異面直線AB與所成角，然后根據(jù)題意可判斷為等邊三角形，從而可求出，進(jìn)而可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為，連接，
因?yàn)椋詾楫惷嬷本€AB與所成角，
因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹行模?br>所以，
因?yàn)轫旤c(diǎn)在底面ABC上的射影為，
所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以為等邊三角形，所以，
所以，
所以異面直線AB與所成角的余弦值為，
故選：A
7．【正確答案】B
【分析】先設(shè)出數(shù)列的公比，將用來(lái)表示，接著探究在中有多少對(duì)值相同，通過(guò)列舉法即得.
【詳解】不妨設(shè)數(shù)列的公比為，則由可得：，則，
于是，，
對(duì)于，由可得：，
即，整理得：，故得：，
又，故有：，
即在中，共有6對(duì)值分別相同，即其中不同的數(shù)值有14個(gè).
故選：B.
8．【正確答案】C
【分析】設(shè)，由雙曲線的定義及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面積相等法求得的值，進(jìn)而求得，得到答案.
【詳解】由雙曲線，可得，則，
設(shè)，由雙曲線的定義，可得，
根據(jù)余弦定理，可得，解得，
再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
因?yàn)?，可得，解得?br>由，可得，即點(diǎn)到軸的距離為.
故選：C.
9．【正確答案】BD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，
對(duì)于A中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以B正確；
對(duì)于C中，若，可得，所以為遞減數(shù)列，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，若，可得，所以為遞增數(shù)列，所以D正確.
故選：BD.
10．【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓、雙曲線，以及軌跡方程的求法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)椋?br>由橢圓的定義可知，點(diǎn)的軌跡為橢圓，所以A正確；
對(duì)于B中，由雙曲線的定義可得時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，
所以B不正確；
對(duì)于C中，設(shè)，由，可得，
整理得，可得曲線關(guān)于軸對(duì)稱，所以C正確；
對(duì)于D中，因?yàn)?，可得?br>整理得，即，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以D正確.
故選：ACD.
11．【正確答案】BC
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算說(shuō)明不共線，可判斷A；求出平面的一個(gè)法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明方法，可判斷B，C；根據(jù)空間角的向量求法，可判斷D.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，
則，則兩向量沒有倍數(shù)關(guān)系，
即不共線，即不平行，
又平面，平面, 且平面平面，
故不相交，則異面，即P，Q，R，C四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
又，則，
又平面，故平面，B正確；
由于，則，則，故平面，
即平面，C正確；
由于，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)和平面所成角為，
則，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
12．【正確答案】AB
【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)的軌跡方程為，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由點(diǎn)，且點(diǎn)滿足，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，
所以雙曲線的方程為，
又由直線，可得，
聯(lián)立方程組，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，
由雙曲線的漸近線方程為，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，所以A正確；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，所以B正確；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，不符合題意，所以C不正確；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，其中，
可得，此時(shí)，且易知方程有兩個(gè)正根，
所以直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意，所以D不正確.
故選：AB.
13．【正確答案】0
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)若，則求解即可。
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
所以若，則，
又，
所以，
又，
所以，
故答案為.
14．【正確答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)求得a即可.
【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，
所以，，
則，，
所以以為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
故
15．【正確答案】/
【分析】根據(jù)平面方程可得法向量，進(jìn)而根據(jù)線面角的向量法求解即可.
【詳解】平面的方程為，所以可得平面法向量可以為，
又直線的方向向量為
所以直線與平面所成角的正弦值為,
故
16．【正確答案】
【分析】求出直線、的方程，即可求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，討論直線的斜率存在和不存在，求解即可.
【詳解】設(shè)，
設(shè)切線的方程為，
聯(lián)立得；
∵與橢圓相切，
∴，整理得：，
所以代入，得，
所以，
從而切線的方程為，
再將代入整理可得，直線的方程為：，
同理直線的方程為：，
直線，的方程過(guò)點(diǎn)，所以，，
即，，
則為方程的解，故直線的方程為，
令，則，這直線恒過(guò)定點(diǎn)，
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線為，
過(guò)點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，則，
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，則直線為，
過(guò)點(diǎn)向直線引垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作向直線引垂線，垂足為，
連接，點(diǎn)到直線的距離為，
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可知四邊形時(shí)矩形，
所以，而在中，，
又，所以，所以，
在中，，
而在中，，
則，
故可知.
故答案為.
方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法
（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).
（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).
技巧：若直線方程為,則直線過(guò)定點(diǎn)；若直線方程為 (為定值)，則直線過(guò)定點(diǎn)
17．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）由條件，結(jié)合圖形利用空間向量線性運(yùn)算法則求解即可；
（2）由（1）結(jié)合向量的數(shù)量積的性質(zhì)及定義求解.
【詳解】（1）
，
（2）由（1）得
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用已知，只要證明為非0常數(shù)即可；
（2）由（1）可得，利用分組求和以及公式法即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）證明：由，得，．
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
，，
19．【正確答案】(1)
(2)89
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，用表示出的坐標(biāo)，代入圓的方程即可；
（2）利用兩點(diǎn)距離公式表示，結(jié)合的關(guān)系及范圍可求結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，
，于是有，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以，
代入得，
化簡(jiǎn)得，
所以點(diǎn)的軌跡方程為；
（2）
因?yàn)?，所?br>所以的最大值為89．
20．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；
（2）分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：在正四棱錐中，連接交于點(diǎn)，連接．
因?yàn)樗睦忮F為正四棱錐，
所以平面，四邊形為正方形，
所以，，
因?yàn)槠矫?，所以?br>所以兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?，?br>所以在中，由，
得，得，
所以，
則，
因?yàn)闉榉謩e為PB，PD的中點(diǎn)，
所以，
所以，
所以．
所以．
（2）解：在分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的交點(diǎn)，
所以為的重心，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為．

21．【正確答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；
（2）采用分組求和和裂項(xiàng)相消法可求得，由取整運(yùn)算定義可得，分類討論可求得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
綜上所述.
22．【正確答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1） 根據(jù)離心率結(jié)合面積公式列方程計(jì)算即可;
（2）先聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理,再根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)求出點(diǎn),再根據(jù)斜率相等及有公共點(diǎn)得出三點(diǎn)共線.
【詳解】（1）由題意得，即
解得，所以橢圓.
（2）
由題意可得直線的斜率存在，設(shè)斜率為
則直線，聯(lián)立，
消去得，化簡(jiǎn)得
，
，則，
因?yàn)榉謩e為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以
則直線為，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)向軸引垂線交于點(diǎn)，
所以點(diǎn)滿足解得，
點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所以，
所以
，
所以三點(diǎn)共線．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再求出點(diǎn)，，最后計(jì)算并證明即可.