2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市高二上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析），共21頁。試卷主要包含了選擇題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知為直線的傾斜角，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
解析：∵為直線的傾斜角，
∴直線斜率，
∴.
故選：A.
2. 在正三棱錐中，為外接圓圓心，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
解析：如圖，在正三棱錐中，取中點，連接，
則點為底面中心，且在上，
則
.

故選：D.
3. 已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（ ）
A. 2B. 3C. -2D. -3
【正確答案】A
解析：因為，，且q為整數(shù)，
所以，，即q=2.
所以.
故選：A
4. 若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
解析：設(shè)切點為，由已知得，則切線斜率，
切線方程為．
∵直線過點，∴，
化簡得．∵切線有2條，
∴，則的取值范圍是，
故選：D
5. 已知直線的斜率小于0，且經(jīng)過點，并與坐標軸交于，兩點，，當?shù)拿娣e取得最小值時，直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
解析：由題意可設(shè)直線：，將點的坐標代入，
得，則，則.
不妨假設(shè)在軸上，則，
記為坐標原點，因為線段與的長度分別為，，
所以的面積，
當且僅當，即時，等號成立.
故選：C.
6. 已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的大致圖象是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】A
解析：由題意知，，定義域為，
又，所以為奇函數(shù)，排除BD；
又，排除C；
結(jié)合選項，A符合題意.
故選：A
7. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：…，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前項的和為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
解析：根據(jù)斐波那契數(shù)列性質(zhì)可得中的數(shù)字呈現(xiàn)出奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)循環(huán)的規(guī)律，
因此新數(shù)列即為按照成周期出現(xiàn)的數(shù)列，周期為，
易知，一個周期內(nèi)的三個數(shù)字之和為；
所以數(shù)列的前項的和為.
故選：C
8. 曲線的形狀是一個斜橢圓，其方程為，點是曲線上的任意一點，點為
坐標原點，則下列說法錯誤的是（ ）
A. 曲線關(guān)于對稱B. 的最大值為
C. 該橢圓的離心率為D. 的最大值為
【正確答案】C
解析：由方程可以看出其關(guān)于，對稱，A正確；
由題意知，，，，，B正確：
聯(lián)立方程，解得頂點坐標為和，所以橢圓長軸長為；同理可得另外兩個頂點坐標為和，所以橢圓的短軸長為，所以，所以該橢圓的離心率為：，C錯誤；
看作關(guān)于的一元二次方程，，解得，D正確，
故選：C．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 過拋物線的焦點的直線與C相交于，兩點，直線PQ的傾斜角為，若的最小值為4，則（ ）
A. 的坐標為B. 若，則
C. 若，則的最小值為3D. 面積的最小值為2
【正確答案】ACD
解析：由題設(shè)有，直線的斜率不為零，故設(shè)直線，
則由可得，，
所以，所以
而，
當且僅當時等號成立，故，故，
故，故A正確；
若，則，故，故的斜率為，
其傾斜角為或，故B錯誤；
若，則過作準線的垂線，垂足為，連接，
則，當且僅當三點共線時等號成立，
故的最小值為3，故C正確；
，
當且僅當時等號成立，故面積的最小值為2，故D成立.
故選：ACD.
10. 已知數(shù)列滿足，關(guān)于數(shù)列有下述四個結(jié)論：其中正確的是（ ）
A. 數(shù)列為等比數(shù)列
B.
C.
D. 若為數(shù)列的前項和，則
【正確答案】ACD
解析：因為，
所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列,所以A正確;
又因為，
所以，
因為，
所以，
所以,故C正確；
由累加法得,所以B錯誤；
由分組求和得,
所以D正確.
故選：ACD
11. 如圖，直三棱柱中，，，．點P在線段上（不含端點），則（ ）
A. 存點P，使得
B. 的最小值為有
C. 面積的最小值為
D. 三棱錐與三棱錐的體積之和為定值
【正確答案】ACD
解析：由題意得，，即，
又在直三棱柱中，底面，平面，平面，
，，則以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系.
因為，，所以，，，，，，，則，，
設(shè)（），則，解得，，，
所以，
對于A選項，，，
要使，即，解得，
當，即在中點時，，故A選項正確；
對于B選項，如圖所示，將和沿展開，如圖所示，
連接交于點，可知，當點與點重合時取得最小值，
由題意得，，，，，，
所以，，，，
則，
在中，由余弦定理得，
，則，
所以的最小值為，故B選項錯誤；
對于C選項，，，設(shè)（），
則，即，
所以，
則，
因為，所以當時，取得最小值，故C選項正確；
對于D選項，
，故D選項正確，
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則_______．
【正確答案】
解析：根據(jù)題意，數(shù)列滿足，
當時，有；
當時，有，不符合，
故
故
13. 已知雙曲線 的右焦點為，過點作直線與漸近線 垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為_____.
【正確答案】##
解析：設(shè)為坐標原點，則，
從而.

設(shè)的左焦點為，連接，
由雙曲線的定義，得.
在中，由余弦定理，得，
解得.
由，得，解得，
所以.
故答案為.
14. 已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______．
【正確答案】##
解析：由得，即，
設(shè)，則，，
當時，，所以在上單調(diào)遞增．
因為x，y均為正實數(shù)，所以，
由，可得，即．
由知，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，所以．
則．令，
則，所以上單調(diào)遞減，
所以，所以，即的最小值為．
故
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚.
15. 如圖，已知正方形是圓柱的軸截面（經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的截面），點在底面圓周上，，點是的中點.
（1）求點到直線的距離；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值.
【正確答案】（1）
（2）
【小問1解析】
因為線段是底面圓的直徑，所以，所以，
以點為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
則
所以，設(shè)點到直線的距離為，
則，故點到直線的距離為；
【小問2解析】
由（1）可知，，
設(shè)為平面的一個法向量，
則由，可取，
設(shè)為平面的一個法向量，
則由，可取，
設(shè)平面與平面所成角為，則，
即平面與平面的夾角的余弦值為.
16. 已知圓上一點
（1）求圓在點處的切線方程；
（2）過點作直線交圓于另一點，點滿足，求直線的方程.
【正確答案】（1）
（2）或
【小問1解析】
由題意，點在圓上，可得，
因直線的斜率為，則圓在點處的切線斜率為，
故切線方程為，即；
【小問2解析】
如圖， 由（1）知圓，又點，，
當直線的斜率不存在時，直線，易知此時，，
點到的距離為3，則，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線，即，
代入中，整理得：，
設(shè)，由韋達定理，，即，
代入，可得，即，
于是，
則得，
點到直線的距離為：，
則，解得或，
故直線的方程為或.
17. 若數(shù)列的前項和為，且，等差數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【正確答案】（1），
（2）
【小問1解析】
因為①，
所以②，，
①②得，又
所以，故數(shù)列是以為公比，首項為的等比數(shù)列，
，
，
等差數(shù)列的公差為.
【小問2解析】
由（1）可得，
，
兩式相減得，
18. 已知橢圓的離心率為，且過點．直線交于，兩點．點關(guān)于原點的對稱點為，直線的斜率為，
（1）求的方程；
（2）證明：為定值；
（3）若上存在點使得，在上的投影向量相等，且的重心在軸上，求直線AB的方程．
【正確答案】（1）；
（2）證明見解析； （3）
【小問1解析】
由已知，得，解得，則橢圓的方程為；
【小問2解析】
依題意，可設(shè)點，且，

點關(guān)于原點的對稱點為，
點在上，，作差得，
直線的斜率為，直線的斜率為，
，即為定值；
【小問3解析】
設(shè)弦的中點，點重心,，

由，得，
，且，
的重心在軸上，，
，
則，
在上的投影向量相等，則，且，
則直線的方程為，
，得，又點在上，
，即
又，則直線的方程為
19. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若方程有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．
【正確答案】（1）
（2）
【小問1解析】
由題意可得，令，得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以的最小值為；
【小問2解析】
有兩個不同的解可化為有兩個不同的解，
令，
則，
（?。┤簦瑒t，由得．
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為．
①當時，，即，故沒有零點，不滿足題意．
②當時，，只有一個零點，不滿足題意．
③當時，，即，
當時，，，
又，故，所以，又，
故在上有一個零點．
又，因此在上有一個零點，
所以當時，有兩個不同的零點，滿足題意．
（ⅱ）若，由得，．
①當時，，
當時，；當時，；當時，．
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
又，所以至多有一個零點，不滿足題意．
②當時，，則，
所以單調(diào)遞減，至多有一個零點，不滿足題意．
③當時，，
當時，；當時，；當時，．
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以至多有一個零點，不滿足題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．