2024-2025學(xué)年河北省保定市唐縣高二上冊12月期末數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

這是一份2024-2025學(xué)年河北省保定市唐縣高二上冊12月期末數(shù)學(xué)檢測試題（含解析），共15頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
2．在數(shù)列中，若，則下列數(shù)是中的項(xiàng)的是（ ）
A．4B．4C．D．3
3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d.若，，則（ ）
A．B．
C．D．無最大值
5．棱長為的正四面體中，點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知兩條直線與被圓截得的線段長均為2，則圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．橢圓的離心率為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)，如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，，設(shè)第層有個(gè)球，則的值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．若，且，則D．若且，則
10．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．橢圓離心率為
B．
C．若，則的面積為
D．最大值為
11．已知直線l：，圓：，與圓：．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線l與圓的位置關(guān)系是相切B．直線l與圓的位置關(guān)系是相離
C．圓與圓的公共弦長是D．圓上的點(diǎn)到直線l的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則 .
13．過點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于，若是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為
14．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列滿足，.
(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
16．已知雙曲線過點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l的斜率存在且過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，滿足，求直線的方程．
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若，，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
19．焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．
(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；
(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點(diǎn)A為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A點(diǎn)的任一點(diǎn)，Q為P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點(diǎn)，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點(diǎn)？說明理由．
答案
1．【正確答案】C
【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
故，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選:C.
2．【正確答案】B
【詳解】由，，
，可知以3為周期，依次為，顯然B正確.
故選：B
3．【正確答案】B
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，
又為的前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列，公比為，
于是，
所以.
故選：B
4．【正確答案】B
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
則，即，
可得，則，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，
所以，故B正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，可知?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故D錯(cuò)誤，
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?br>所以，故C錯(cuò)誤；
故選：B.
5．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又，，，，
所以．
故選：A．
6．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)閮蓷l直線與，
所以，
所以與間的距離為，
所以圓心到直線的距離為1，
因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，
所以圓的半徑為，
所以圓的面積為.
故選：A.
7．【正確答案】C
【詳解】

由題知，解得，，
所以橢圓，
設(shè)，，，
設(shè)的圓心為，半徑為，則，，
因?yàn)榕c圓相切，
所以
，
當(dāng)時(shí)，.
故選：C.
8．【正確答案】D
【詳解】由題意可得，，，，，
于是有，
所以，，，
，，，
將以上個(gè)式子相加，得，
所以，
所以
.
故選：D.
9．【正確答案】BC
【分析】根據(jù)題意，得到向量，，，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對于A，因?yàn)?，，所以，可得，所以A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，，所以，所以B正確；
對于C，若，且，則，解得，所以C正確，
對于D，若且，因?yàn)椋傻?，解得，所以D錯(cuò)誤.
故選BC.
10．【正確答案】BCD
【詳解】由橢圓方程可知，，，，
所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；
由橢圓定義知，故B正確；
又，因?yàn)?，所以?br>，
解得：，所以的面積為，故C正確；
因?yàn)?，即?br>設(shè)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，
所以，故D正確.
故選：BCD.
11．【正確答案】BC
【分析】由點(diǎn)線距與兩半徑的關(guān)系可判斷A、B兩項(xiàng)；將兩圓方程作差，由弦長公式可判斷C項(xiàng)；通過計(jì)算圓心到直線的距離結(jié)合條件從而判斷出D選項(xiàng).
【詳解】對于選項(xiàng)A: 因?yàn)閳A：，所以圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
因?yàn)?，所以直線l與圓的位置關(guān)系是相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B: 因?yàn)閳A：，所以圓心，半徑，
所以圓心到直線的距離為，
因?yàn)?，所以直線l與圓的位置關(guān)系是相離，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：聯(lián)立，相減得公共弦所在得直線方程為：，
所以圓心到的距離為，
所以公共弦長為，故選項(xiàng)C正確;
對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且?br>所以圓上的點(diǎn)到直線l的距離為1的點(diǎn)有4個(gè)（在直線l的兩側(cè)各2個(gè)）, 故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;
故選：BC.
12．【正確答案】51
【詳解】由得，所以由，得，
所以.
故51.
13．【正確答案】/
【詳解】設(shè), ，則 ①, ②,
∵是線段的中點(diǎn),
∴
故過點(diǎn)作斜率為的直線的方程是，
∴
①②兩式相減可得:
∴.
∴.
∴
∴
∴
故答案為:.
14．【正確答案】
【詳解】設(shè)準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為A，連接，
由題知，焦點(diǎn)，，．
因?yàn)橹本€的斜率為，所以為正三角形，
所以，，
所以．
記關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則．
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
所以周長的最小值為．
故
15．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?
又，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列.
（2）由（1）有，可得，
所以有.
16．【正確答案】(1)；
(2)或．
【詳解】（1）由點(diǎn)到直線的距離公式可知：右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又雙曲線C過點(diǎn)，所以，解得，
所以雙曲線C的方程為．
（2）由（1）可知：右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，直線的斜率存在，
設(shè)，聯(lián)立
消去y得：，
所以，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以
．
解得，即，滿足．
所以直線的方程為，或．
17．【正確答案】(1).
(2).
【分析】
（1）根據(jù)題中給出得遞推關(guān)系式，以及，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式帶入數(shù)列，進(jìn)行化簡，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解.
(1)
由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)
由（1）得，∴.
∴，
即，
，
兩式相減，得，
∴.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)（i）；（ii）存在，
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，
，，
，，，，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，
平面.
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，又，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖：則，，，，
為棱的中點(diǎn)，
，
（i），，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，，
，
平面的一個(gè)法向量為，
，
根據(jù)圖形得二面角為鈍角，
則二面角的余弦值為
（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，
設(shè)，，
則，，
由（2）知平面的一個(gè)法向量為，
，
點(diǎn)到平面的距離是
,
，，
.
19．【正確答案】(1)
(2)是，定點(diǎn)（0，±10），理由見解析
【詳解】
（1）由新定義得出的關(guān)系，結(jié)合可求得；
（2）設(shè)P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），寫出方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理得點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得出以線段MN為直徑的圓的方程，由方程可確定定點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)
因?yàn)闄E圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，
所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得．
(2)
過定點(diǎn)（0，±10），理由如下：
由得，由得，
橢圓方程為：，所以A（0，8），設(shè)P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），
所以直線AP的方程為：，令y=0，得，所以，
同理可得，所以以MN為直徑的圓的方程為，
結(jié)合，化簡得，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點(diǎn)（0，±10）．