河北省保定市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（解析版）

這是一份河北省保定市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（解析版），共17頁。試卷主要包含了考生必須保持答題卡的整潔， 拋物線與圓交于、兩點，，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項：
1.答題前，請務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.
2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如?改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.
1. 直線的一個方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.
【詳解】在直線上取點、，
故直線一個方向向量為.
故選：A.
2. 已知曲線在點處的切線與直線垂直，則（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)得出切線斜率，再結(jié)合直線垂直得出斜率關(guān)系列式求參.
【詳解】因為曲線，所以
所以在點處的切線斜率為，
直線的斜率為，又因為兩直線垂直，所以，所以.
故選：B.
3. 若雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)雙曲線的離心率公式求出的值，再利用雙曲線漸近線方程的公式得出漸近線方程.
【詳解】已知離心率，由離心率公式可得（這是因為，兩邊同時除以得到，再開方就得到）.
所以，平方可移項得到. 可得.
對于雙曲線（，），其漸近線方程為.
已經(jīng)求得，將其代入漸近線方程，可得漸近線方程為.
故選：A
4. 記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（ ）
A. B. 81C. 50D. 61
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由題可知，，成等比數(shù)列，
所以，即，得，
則此等比數(shù)列的首項是1，公比是，那么，
，
所以.
故選：D
5. 在三棱柱中，，，，BC的中點為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的加減法運算即可求得結(jié)果.
【詳解】易知.
故選：B
6. 已知函數(shù)，，若，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.
【詳解】，得，
所以，，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以，即，即，
即，且，得且.
故選：C
7. 拋物線與圓交于、兩點，，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】聯(lián)立拋物線與圓的方程求出坐標(biāo)，利用建立方程求解即可.
【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消y得，
由拋物線和圓都關(guān)于x軸對稱，所以，
所以，所以，所以.
故選：B
8. 已知函數(shù)，若方程在上有且僅有一個實數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將方程有且僅有一個實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)和只有一個交點的問題，然后通過求在處的切線斜率，結(jié)合函數(shù)圖象來確定的取值范圍.
【詳解】已知在上有且僅有一個實數(shù)根，可化為.
方程有且僅有一個實數(shù)根，等價于函數(shù)和的圖象在上只有一個交點.
.
將代入到導(dǎo)數(shù)中，可得，即在處的切線的斜率為.
直線恒過原點.
為了使和在上只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線的斜率滿足或時滿足條件.
解不等式，可得；解不等式，可得.
所以的取值范圍是.
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，下列說法正確的有（ ）
A. 與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為
B. 若是空間向量的一組基底，且，則也是空間向量的一組基底
C. 已知，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為
D. 已知，平面的法向量為，則
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)的定義，以及相關(guān)知識，即可判斷選項.
【詳解】A. 與點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為，故A正確；
B. ，若，則與共線，所以不是空間向量的一組基底，故B錯誤；
C. 在上的投影向量為，故C正確；
D.因為，所以，所以或，故D錯誤.
故選：AC
10. 已知等差數(shù)列前n項和為，公差為，是和的等比中項，則（ ）
A. B. 數(shù)列是遞增數(shù)列
C. D. 有最大值為
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列通項以及等比中項定義計算可得，可得A正確；由于不明確公差的符號，所以BD錯誤，由等差數(shù)列前n項和公式可得C正確.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由是和的等比中項可得，
可得，即，即A正確；
對于B， 由A可知，因為不知道的正負(fù)，因此公差的符號不確定，
所以數(shù)列的單調(diào)性不確定，即B錯誤；
對于C，易知，所以C正確，
對于D，根據(jù)B選項可知數(shù)列的單調(diào)性不確定，因此不一定有最大值，可得D錯誤.
故選：AC
11. 已知，分別為橢圓的左，右焦點，M為橢圓C上一動點，I為內(nèi)切圓的圓心，連接MI并延長交x軸于Q，若，則（ ）
A. 橢圓C的離心率
B. 的取值范圍為
C. 若l是C在M點處的切線，過，分別作l的垂線，垂足為A，B，則
D. 點I的軌跡方程為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.根據(jù)角平分線定理，以及橢圓的性質(zhì)，即可判斷；B.根據(jù)向量數(shù)量積的極化恒等式，以及的范圍，即可判斷；C.根據(jù)橢圓的切線方程，以及代入點到直線的距離公式，即可判斷；D.
【詳解】連接，，，，故A正確；
，因為，所以，，則，
的取值范圍為，故B正確；
設(shè)，直線l方程為，即，
則，
，故C錯誤；
設(shè)，，由等面積可得，
，即，故D正確.
故選：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的幾何性質(zhì)，以及內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)解決問題.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.
12. 在2與18中間插入7個數(shù)使這9個數(shù)成等差數(shù)列，則該數(shù)列的第5項是______.
【答案】10
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列定義及其通項公式計算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)這9個數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列為，公差為；
則，因此，
解得；
所以該數(shù)列的第5項是.
故答案為：10
13. 已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，A，B分別為圖象的最高點和最低點，過A，B分別作x軸的垂線，點C為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件應(yīng)用兩點間距離公式求出的值.
【詳解】函數(shù)的最小正周期為，
在圖2中，以點為坐標(biāo)原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則點，，
，
因為，解得.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，點在第四象限內(nèi)，過作圖象的切線，有且只有兩條，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，可得出，令，分析可知，方程有兩個不等的實根，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可得出或，由，可求出的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍.
【詳解】設(shè)切點為，，由題意可知，，，
則切線方程為，
因為切線過點，則，
即方程有兩個解
令，或，
由可得，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，
因為方程有兩個解，所以，或，
當(dāng)時，則有，即，合乎題意；
當(dāng)時，則，可得，
由可得，所以，，
則，
綜上，，即的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】思路點睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在其上一點處的切線方程的基本步驟如下：
（1）對函數(shù)求導(dǎo)得；
（2）計算切線的斜率；
（3）利用點斜式寫出切線方程.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知圓過，，三點，直線l過點.
（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線被圓截得弦長何時最短？求出截得弦長最短時直線的方程及最短弦長.
【答案】（1）
（2）垂直，，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，求圓心和半徑，即可求解；
（2）由弦長公式結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)點是弦的中點時，此時弦長最短，根據(jù)直線的方程，結(jié)合弦長公式，即可求解.
【小問1詳解】
由已知可得，，，滿足，
所以為以O(shè)為直角的直角三角形，取AB中點為M，
則，所以圓心，半徑，圓M標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由，可知，點在圓內(nèi)，
當(dāng)直線l垂直于MP時截得弦長最短.直線，直線l的斜率為，
則直線l方程為，此時圓心M到直線l的距離為，最短弦長為.
16. 如圖，在四面體中，面ABC，.
（1）求證：面面PBC；
（2）若，于D，求平面和平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明平面；
（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求點的坐標(biāo)，利用向量法求二面角的余弦值.
【小問1詳解】
，，
面ABC，，面，
面PAC，面面PBC.
小問2詳解】
由題意知，，，則.
以C為坐標(biāo)原點，為x軸，為軸，過點垂直于底面的線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，設(shè)，則，
，，
設(shè)平面DAC的法向量為，則，
令，則，，
同理平面的法向量為，
設(shè)平面和平面夾角為，則，
平面和平面夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù)，，其中為的導(dǎo)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得，分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性；
（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合的單調(diào)性可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知：的定義域為，且，
則，可得，
①當(dāng)時，恒成立，可知在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時，令，解得；令，解得；
可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由可得，
整理得，即，
可得，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，
即，可得，
令，則.
因為，
令，解得；令，解得；
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，
可得，所以a的取值范圍為.
18. 已知橢圓的左，右焦點分別為，，，離心率.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求四邊形EPFQ面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法，即可求解；
（2）利用弦長公式表示面積，再利用換元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求最值.
【小問1詳解】
由，即，又，即，，
，故橢圓C的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)四邊形EPFQ面積為S，當(dāng)直線PQ與直線EF有一條斜率為0時，另一條斜率不存在，
不妨設(shè)直線PQ斜率不存在，此時直線EF與x軸重合，
，且PQ方程為，將與聯(lián)立，
求得兩交點為，，，故.
當(dāng)直線PQ與直線EF有一條斜率為可設(shè)直線PQ的方程為，
，，聯(lián)立方程，
得且恒成立，
，，
同理可得，
令，則，，
令，則，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故.
19. 北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才，善于觀察.據(jù)說有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”，沈括“用芻童（長方臺）法求之，常失于數(shù)少”，他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來像實體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把他們看成離散的量.經(jīng)過反復(fù)嘗試，沈括提出對上底有ab個，下底有cd個，共n層的堆積物（如圖），可以用公式求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列ab，，，…，的和，“隙積術(shù)”給出了二階等差數(shù)列的一個求和公式.現(xiàn)已知數(shù)列為二階等差數(shù)列，其通項，其前項和為，數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的前10項和；
（2）求；
（3）數(shù)列和數(shù)列的公共項組成一個新的數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）首先求數(shù)列的前10項的和，再求數(shù)列的前10項和；
（2）根據(jù)，對應(yīng)系數(shù)，再代入求和公式；
（3）首先求數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的通項公式，再根據(jù)公共項求數(shù)列的通項公式，由數(shù)列的形式，利用不等式放縮和裂項相消法求和，即可證明；
【小問1詳解】
在數(shù)列，，，…，中，，，，，
故，
即數(shù)列的前10項和為，常數(shù)列1的前10項和為10，
故數(shù)列前10項和為.
【小問2詳解】
數(shù)列的通項公式為，
數(shù)列中，，，，，
故.
【小問3詳解】
數(shù)列滿足，則，，
，
數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，，
由（2）可知，，
設(shè)數(shù)列中的第項等于數(shù)列中的第項，即，則是數(shù)列中的項.
不是數(shù)列中的項，不是數(shù)列中的項，是數(shù)列中的項，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
，
故
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對本題的前2問，需理解二階等差數(shù)列的求和公式.
.