2022-2023學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

這是一份2022-2023學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析，共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年河北省保定市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知數(shù)列3，，9，，…，則該數(shù)列的第10項為（    ）A． B． C．21 D．30【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的特征進行求解即可.【詳解】因為，所以該數(shù)列的通項公式為，因此，故選：B2．已知直線，若，則（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由兩直線垂直，斜率的關(guān)系列方程直接解得.【詳解】因為所以的斜率為.因為，所以的斜率必存在，且，所以.所以，解得：.故選：B3．若三點共線，則（    ）A．1 B．4 C．6 D．2【答案】D【分析】由三點共線，則有與共線，列出等式求出即可求出的值.【詳解】因為，所以，由三點共線，則有與共線，所以，解得：，所以，故選：D.4．如圖，在四面體中，E是的中點，，設(shè)，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運算法則即可得解.【詳解】因為，所以，因為E是的中點，所以，所以.故選：B.5．已知雙曲線的一個焦點到其一條漸近線的距離等于C的實軸長，則C的離心率為（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】寫出雙曲線的焦點及漸近線，利用點到直線的距離公式建立等式，結(jié)合，轉(zhuǎn)化求出雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一個焦點為，一條漸近線為：，所以焦點到漸近線的距離為：，又雙曲線的實軸長為，且，所以由題意得：，所以又雙曲線的離心率為：，且所以，故選：A.6．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（    ）A．12 B．36 C．31 D．33【答案】C【分析】由等比數(shù)列的分段和性質(zhì)列方程即可解得.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且，所以不妨設(shè)則.由分段后性質(zhì)可知：構(gòu)成等比數(shù)列.由，即，解得：.所以.故選：C7．若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩圓的公切線性質(zhì)，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A8．一小孩玩拋硬幣跳格子游戲，規(guī)則如下：拋一枚硬幣，若正面朝上，往前跳兩格，若反面朝上，往前跳一格．記跳到第格可能有種情況，的前項和為，則（    ）A．56 B．68 C．87 D．95【答案】C【分析】根據(jù)游戲規(guī)則分別分析求出，然后相加即可.【詳解】記正面朝上為，反面朝上記為，則由題意得：當跳到第1格時，只有，故只有1種情況，所以；當跳到第2格時，有，故有2種情況，所以；當跳到第3格時，有，故有3種情況，所以；當跳到第4格時，有，故有5種情況，所以；當跳到第5格時，有，故有8種情況，所以；當跳到第6格時，有，故有13種情況，所以；由此規(guī)律得，所以當跳到第7格時，，當跳到第8格時，，所以，故選：C. 二、多選題9．已知為等差數(shù)列，，則（    ）A．的公差為2 B．的公差為3C．的前50項和為900 D．的前50項和為1300【答案】AD【分析】根據(jù)求出，求出通向公式..【詳解】，，所以A對，B錯.，，當時，；當時，，=，所以D對，C錯.故選：AD10．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，M為的中點，則（    ）A．直線與平面所成角的正弦值為 B．直線與平面所成角的正弦值為C．點M到平面的距離為 D．點M到平面的距離為【答案】BD【分析】構(gòu)造空間直角坐標系，求出平面的法向量，分別利用空間向量中線面夾角的正弦值、點面距的解答過程，即可求解答案.【詳解】如圖所示，以為原點，中點和的連線，所在直線，所在直線，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，可得，即，解得，，賦值，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.故選項A錯誤，選項B正確.又，即點M到平面的距離為.故C錯，D對.故選：BD11．對于一個事件E，用表示事件E中樣本點的個數(shù)．在一個古典概型的樣本空間和事件A，B，C，D中，，，則（    ）A．A與D不互斥 B．A與B互為對立 C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立【答案】BCD【分析】利用古典概型相關(guān)知識，以及互斥事件，對立事件概率計算公式即可求解.【詳解】對于A：，，，與互斥，故A錯誤；對于B： A與B互為對立，故B正確；對于C：，， ，， A與C相互獨立，故C正確；對于D：,，，又，，， B與C相互獨立，故D正確；故選：BCD.12．若直線l與拋物線有且僅有一個公共點，且l與C的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線C相切，公共點P稱為切點，且拋物線C在點P處的切線方程為．已知拋物線上有兩點．過點A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點，過拋物線C上異于A，B的一點的切線分別與交于點M，N，則（    ）A．直線的方程為 B．點A，Q，B的橫坐標成等差數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知得，結(jié)合拋物線上點的坐標關(guān)系，可判斷A,B選項；根據(jù)直線方程與拋物線方程，列方程組，解出坐標，根據(jù)向量的坐標運算，可判斷C,D選項；【詳解】解：已知拋物線，則，拋物線上兩點，過點A，B分別作拋物線C的兩條切線，直線交于點，則，則由題意可知：，對于A，聯(lián)立，當時，，此時直線方程為，符合，當，直線的斜率，所以直線的方程為：，因為在直線上，所以，所以直線的方程為，故A正確；對于B，因為在拋物線上，所以，則或，由A得，則或，點A，Q，B的橫坐標不成等差數(shù)列，故B不正確；對于C，由A，B可得，即，點是拋物線上一點，所以，聯(lián)立，同理可得所以，，，所以，故C正確；對于D，由C得，，，所以，故D正確.故選：ACD. 三、填空題13．若直線與圓有兩個交點，則整數(shù)m的一個值可以是______________．【答案】0（答案不唯一）【分析】由圓心到直線的距離小于圓半徑得參數(shù)范圍，然后在此范圍中選取一個整數(shù)即可．【詳解】由題意，解得，在上任取一整數(shù)，如0即得．故答案為：0（答案不唯一）14．如圖，一個轉(zhuǎn)盤被等分成9個扇形，轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤，則箭頭指向36的約數(shù)的概率為_____________．【答案】【分析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：樣本空間的個數(shù)為9，36的約數(shù)有：1，2，3，4，6，9，共6個，所以箭頭指向36的約數(shù)的概率為，故答案為： 15．如圖，在直三棱柱中，，E，F分別為棱的中點，則_____________．【答案】4【分析】由空間向量線性運算的幾何表示，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算即可求.【詳解】在直三棱柱中，，E，F分別為棱的中點，則故答案為：416．在歐幾里得生活的時期，人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點．現(xiàn)有一橢圓，從一個焦點發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓C內(nèi)壁上一點P反射經(jīng)過另一個焦點，若，且，則橢圓C的離心率為____________．【答案】【分析】由橢圓的定義可得，中由余弦定理可得，從而可得，即可得.【詳解】解：因為，由橢圓的定義可知，又因為，，在中由余弦定理可得，整理得，所以，所以.故答案為： 四、解答題17．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，為的等比中項．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列的基本量的運算即得；（2）利用裂項相消法即得.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為為的等比中項，所以，解得：，因為，所以，故；（2）因為，所以.18．已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動．(1)求線段的中點的軌跡方程;(2)若直線與圓的另一個交點為，當時，求直線的方程．【答案】(1)(2)或． 【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點法求解即可；（2）由題易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，再根據(jù)圓心到直線的距離為解方程即可得答案.【詳解】（1）解：設(shè)，．因為B的坐標是，所以，，即，，①因為點A在圓上運動，所以，②把①代入②，得，即．故線段的中點的軌跡方程為．（2）解：圓的圓心為，半徑為，當直線斜率不存在時，方程為，此時圓心到的距離為，故與圓無交點，不滿足題意；當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即．因為，所以為等腰直角三角形，所以，圓心到直線的距離為，解得或．故直線的方程為或．19．已知數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由與的關(guān)系可得遞推公式，即可由遞推公式求通項公式；（2）由錯位相減法求和.【詳解】（1）由題意得，，則，即，∵，，，∴，，則不恒為0，∴，即.∵，∴當，；當，.故的通項公式為.（2），①，②，①-②得，則數(shù)列的前n項和.20．如圖，在四棱錐中，是邊長為2的菱形，且，，，E，F分別是的中點．(1)證明：平面平面．(2)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取AD的中點G，連接PG、BG、BD，由線線垂直證平面PGB，即可依次證，，平面DEF，平面平面（2）于G，建立空間直角坐標系如圖所示，由向量法求二面角即可.【詳解】（1）證明：取AD的中點G，連接PG、BG、BD，由E，F分別是的中點得，由是邊長為2的菱形，且得、為正三角形，∴，，，∴，，由得，又平面PGB，∴平面PGB，∵平面PGB，∴，∴，∵平面DEF，∴平面DEF，∵平面PAD，∴平面平面.（2）作于G，交于H，∵平面PGB，則可建立空間直角坐標系如圖所示.在中，，由余弦定理得，∴，，∴.故，設(shè)平面、平面的法向量分別為，則有，令，則有，故二面角的余弦值，由圖可知，二面角所成平面角為鈍角，∴二面角的大小為.21．甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為，乙機床加工的零件是一等品而丙機床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙兩臺機床加工的零件都是一等品的概率為．(1)求甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工的零件是一等品的概率；(2)已知丙機床加工的零件數(shù)等于乙機床加工的零件數(shù)的，甲機床加工的零件數(shù)等于乙機床加工的零件數(shù)的2倍，將三臺機床加工的零件混合到一起，從中任意抽取4件檢驗，求一等品不少于3件的概率．（以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率）【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)“甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品”分別為A、B、C事件， A、B、C相互獨立，由獨立事件的概率公式列方程組求解即可；（2）求出將三臺機床加工的零件混合到一起，從中任意抽取一件零件為一等品的概率，由獨立重復(fù)試驗概率公式即可求.【詳解】（1）根據(jù)題意，設(shè)“甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品”分別為A、B、C事件，則A、B、C相互獨立，設(shè).則有，解得，故甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工的零件是一等品的概率分別為（2）設(shè)乙機床加工的零件數(shù)為，則甲、丙機床加工的零件數(shù)分別為，則一等品的零件數(shù)總數(shù)為.則將三臺機床加工的零件混合到一起，從中任意抽取一件零件為一等品的概率為.故從中任意抽取4件檢驗，一等品不少于3件的概率為22．已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)設(shè)D為雙曲線C的右頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點D，且于點G，證明：存在定點H，使為定值．【答案】(1)(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可.（2）分類討論斜率是否存在，①斜率存在時，設(shè)l的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，由得到m與k的關(guān)系式，得到直線恒過定點M，②斜率不存在時，再由得到直線l方程，進而得出此時直線l也恒過定點M，進而證得存在定點H為DM的中點，為的一半.【詳解】（1）由題意知，解得：，∴雙曲線C的標準方程為：；（2）證明：由（1）知，，設(shè)，①當l的斜率存在時，設(shè)l的方程為：，，即：，，，∵以EF為直徑的圓經(jīng)過點D，∴，又∵，，∴， 又∵∴，即：化簡得：，即：，解得：或，且均滿足，當時，，直線l恒過定點，此時定點與D點重合，所以與已知相矛盾；當時，，直線l恒過定點，記為點；②當l的斜率不存在時，設(shè)l的方程為：，設(shè)，，或，則，此時，，∴，整理得：，解得：或∵或，∴，此時l恒過定點.綜述：l恒過定點.又∵，即：，（∵D、E、F三點都在直線l上）∴點G在以DM為直徑的圓上，H為該圓的圓心，即DM的中點，為該圓的半徑，即的一半.故存在定點，使得為定值6.【點睛】求解直線或曲線過定點問題的基本思路：（1）把直線或曲線方程中的變量x，y當作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．（2）由直線方程確定其過定點時，若得到了直線方程的點斜式，則直線必過定點；若得到了直線方程的斜截式，則直線必過定點.