蘇科版七年級下冊9.4 乘法公式同步測試題

這是一份蘇科版七年級下冊9.4 乘法公式同步測試題，文件包含第08講乘法公式核心考點講與練-2021-2022學年七年級數(shù)學下學期考試滿分全攻略蘇科版原卷版docx、第08講乘法公式核心考點講與練-2021-2022學年七年級數(shù)學下學期考試滿分全攻略蘇科版解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共57頁， 歡迎下載使用。
一．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同．
（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
二、完全平方公式的幾何背景
（1）運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
（2）常見驗證完全平方公式的幾何圖形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
三．完全平方式
完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B，使A＝B2，則稱A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方．算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨中央．（就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2，然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號都用+）”
四．平方差公式
（1）平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
五．平方差公式的幾何背景
（1）常見驗證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式）．
（2）運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關系對平方差公式做出幾何解釋．
一．完全平方公式（共7小題）
1．（2021秋?崇川區(qū)期末）若x+4＝2y，則代數(shù)式x2﹣4xy+4y2的值為（ ）
A．6B．8C．12D．16
【分析】利用配方法將原代數(shù)式轉化為（x﹣2y）2，再根據(jù)已知條件求值即可．
【解答】解：∵x+4＝2y，
∴x﹣2y＝﹣4，
∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16．
故選：D．
【點評】本題考查完全平方公式以及因式分解的應用，關鍵是將原代數(shù)式準確配方．
2．（2021秋?通州區(qū)期末）已知（x+y）2＝18，xy＝5，則x2+y2的值為 8 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式解決此題．
【解答】解：∵（x+y）2＝18，xy＝5，
∴x2+y2+2xy＝x2+y2+10＝18．
∴x2+y2＝8．
故答案為：8．
【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關鍵．
3．（2021秋?大連期末）若a+b＝5，ab＝3，則a2﹣ab+b2＝ 16 ．
【分析】首先把等式a+b＝5的等號兩邊分別平方，即得a2+2ab+b2＝25，然后根據(jù)題意即可得解．
【解答】解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19，
∴a2﹣ab+b2＝16．
故答案為：16．
【點評】本題主要考查完全平方公式，解題的關鍵在于把等式a+b＝5的等號兩邊分別平方．
4．（2021秋?連江縣期末）若a+＝3，則a2+＝ 7 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式，即可解答．
【解答】解：∵a+＝3，
∴＝32
a2+2+＝9
∴＝7，
故答案為：7．
【點評】本題考查了完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式．
5．（2021春?高郵市期中）（1）已知（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，求a2+b2與ab的值；
（2）已知a+b＝8，a2b2＝9，求a2+b2的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形：a2+2ab+b2＝6①，a2﹣2ab+b2＝2②，①+②、①﹣②即可得出答案；
（2）直接利用完全平方公式將原式變形：a2+2ab+b2＝64，ab＝±3，代入計算得出答案．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝6，（a﹣b）2＝2，
∴a2+2ab+b2＝6①，a2﹣2ab+b2＝2②，
∴①+②得：
a2+2ab+b2+a2﹣2ab+b2＝8，
則a2+b2＝4；
①﹣②得：
4ab＝4，
則ab＝1；
（2）∵a+b＝8，a2b2＝9，
∴（a+b）2＝64，ab＝±3，
∴a2+2ab+b2＝64，
∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×3＝58，或a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×（﹣3）＝70，
即a2+b2的值是58或70．
【點評】此題主要考查了完全平方公式，正確運用完全平方公式是解題的關鍵．
6．（2021秋?黃石期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2與xy的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式化簡，相加減即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
7．（2021春?儀征市期中）閱讀理解：
若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：設30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，
a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，
（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80，
解決問題：
（1）若x滿足（50﹣x）（x﹣40）＝2．則（50﹣x）2+（x﹣40）2＝ 96 ；
（2）若x滿足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值；
（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E、F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為80平方單位，則圖中陰影部分的面積和為 176 平方單位．
【分析】（1）設50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可求得結果；
（2）設x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，得ab＝可求得結果；
（3）由題意得CE＝6﹣x，CF＝10﹣x，又（6﹣x）（10﹣x）＝80，則圖中陰影部分的面積和（6﹣x）2+（10﹣x）2可利用完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2變形得，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab進行計算．
【解答】解：（1）設50﹣x＝a，x﹣40＝b，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，得
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝[（50﹣x）+（x﹣40）]2﹣2×2
＝102﹣4
＝100﹣4
＝96，
故答案為：96；
（2）設x﹣2021＝a，x﹣2018＝b，由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，得
ab＝
＝
＝
＝
＝；
（3）由題意得CE＝6﹣x，CF＝10﹣x，又（6﹣x）（10﹣x）＝80，
則由完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2得
a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，
∴圖中陰影部分的面積和為[（6﹣x）﹣（10﹣x）]2+2×80
＝（﹣4）2+160
＝16+160
＝176，
故答案為：176．
【點評】此題考查了數(shù)形結合發(fā)理解并應用完全平方公式的能力，解題關鍵是能對完全平方公式變式應用．
二．完全平方公式的幾何背景（共3小題）
8．（2021秋?綠園區(qū)期末）圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形．
（1）圖2中間空白的部分的面積是 （a﹣b）2 ；
（2）觀察圖2，請你寫出代數(shù)式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系式 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（3）根據(jù)你得到的關系式解答下列問題：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．
【分析】（1）由圖形面積間和差關系可得此題結果為（a﹣b）2；
（2）由圖形面積間關系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）題關系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后結果．
【解答】解：（1）由題意得，圖2中間空白的部分的面積是（a﹣b）2，
故答案為：（a﹣b）2；
（2）由圖2中間空白的部分的面積的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）題關系式可得，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4
∴x﹣y＝±2，
即x﹣y的值是±2．
【點評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關鍵是能根據(jù)圖形得到整式間關系式，并能運用關系式解決新問題．
9．（2021秋?鯉城區(qū)期末）閱讀理解：整體代換是一種重要的數(shù)學思想方法．
例如：計算2（2m+n）﹣5（2m+n）+（2m+n）時可將（2m+n）看成一個整體，合并同類項得﹣2（2m+n），再利用分配律去括號得﹣4m﹣2n．
（1）若已知2m+n＝2，請你利用整體思想求代數(shù)式1﹣6m﹣3n的值；
（2）一正方形邊長為2m+n，將此正方形的邊長增加1之后，其面積比原來正方形的面積大9，求2m+n的值．
【分析】（1）把2m+n看作一個整體，將1﹣6m﹣3n化簡為1﹣3（2m+n），然后代入計算；
（2）將2m+n看成一個整體，將[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9進行求解即可．
【解答】解：（1）∵1﹣6m﹣3n＝1﹣3（2m+n），
∴當2m+n＝2時，
原式＝1﹣3×2＝1﹣6＝﹣5，
∴代數(shù)式1﹣6m﹣3n的值為﹣5；
（2）由題意得，[（2m+n）+1]2﹣（2m+n）2＝9，
∴（2m+n）2+2（2m+n）+1﹣（2m+n）2＝9，
解得：2m+n＝4，
∴2m+n的值為4
【點評】此題考查了運用整體思想進行代數(shù)求解，關鍵是能把題目中的算式變形為能代入的整體形式．
10．（2021秋?如皋市期末）如圖，由4個全等的小長方形與1個小正方形密鋪成正方形圖案，該圖案的面積為64，小正方形的面積為9，若分別用x，y（x＞y）表示小長方形的長和寬，則下列關系式中不正確的是（ ）
A．x+y＝8B．x﹣y＝3C．4xy+9＝64D．x2+y2＝25
【分析】根據(jù)拼圖可知大正方形的邊長為8，小正方形的邊長為3，進而得出x+y，x﹣y，x2+y2的值，對選項A、B、D作出判斷，再根據(jù)面積之間的關系對選項C作出判斷即可．
【解答】解：∵該圖案的面積為64，小正方形的面積為9，
∴大正方形的邊長為8，小正方形的邊長為3，
∴x+y＝AQ+DQ＝AD＝8，因此選項A不符合題意；
x﹣y＝HP﹣EP＝HE＝3，因此選項B不符合題意；
由于一個長方形的面積為4xy，因為4個長方形的面積與小正方形的面積和為大正方形的面積，所以有4xy+9＝64，因此選項C不符合題意；
∵x+y＝8，x﹣y＝3，
∴（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝9，即x2+2xy+y2＝64，x2﹣2xy+y2＝9，
∴x2+y2＝，
因此選項D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的幾個特征是正確判斷的前提，用代數(shù)式表示圖形的面積、邊長是解決問題的關鍵．
三．完全平方式（共4小題）
11．（2021秋?路北區(qū)期末）已知多項式A＝x2+2x+n2，多項式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多項式x2+2x+n2是完全平方式，則n＝ 1或﹣1 ；
（2）已知x＝m時，多項式x2+2x+n2的值為﹣1，則x＝﹣m時，該多項式的值為多少？
（3）判斷多項式A與B的大小關系并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)完全平方式的定義計算即可；
（2）根據(jù)題意可得（m+1）2+n2＝0，再根據(jù)實數(shù)的非負性解答即可；
（3）可得B﹣A＝（x﹣1）2+2n2+2，再根據(jù)實數(shù)的非負性解答即可．
【解答】解：（1）∵x2+2x+n2是一個完全平方式，
∴n2＝1，
∴n＝±1．
故答案為：1或﹣1；
（2）當x＝m時m2+2m+n2＝﹣1，
∴m2+2m+1+n2＝0，
∴（m+1）2+n2＝0，
∵（m+1）2≥0，n2≥0，
∴x＝m＝﹣1，n＝0，
∴x＝﹣m時，多項式x2+2x+n2的值為m2﹣2m+n2＝3；
（3）B＞A．
理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
∵（x+1）2≥0，2n2≥0，
∴（x+1）2+2n2+2＞0，
∴B＞A．
【點評】本題考查完全平方式，記住完全平方式的特征是解題的關鍵，形如a2±2ab+b2這樣的式子是完全平方式，屬于中考常考題型．
12．（2021秋?科左中旗期末）如果x2﹣kxy+9y2是一個完全平方式，那么k的值是（ ）
A．3B．±6C．6D．±3
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出k的值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一個完全平方式，
∴k＝±6．
故選：B．
【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
13．（2021秋?平羅縣期末）若（其中k為常數(shù)）是一個完全平方式，則k的值是 ±1 ．
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出k的值．
【解答】解：∵x2+kx+是一個完全平方式，
∴k＝±1，
故答案為：±1
【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
14．（2021春?寬城縣期末）若我們規(guī)定三角“”表示為：abc；方框“”表示為：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．請根據(jù)這個規(guī)定解答下列問題：
（1）計算：＝ ﹣ ；
（2）代數(shù)式為完全平方式，則k＝ ±3 ；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)計算即可求解；
（2）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)計算，再根據(jù)完全平方式的定義即可求解；
（3）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)得到關于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案為：﹣；
（2）
＝[x2+（3y）2]+xk?2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代數(shù)式為完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案為：±3；
（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【點評】本題考查了完全平方公式的應用，能熟記公式的特點是解此題的關鍵，注意：完全平方公式為：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
四．平方差公式（共2小題）
15．（2021秋?常寧市期末）（1﹣2x）（1+2x）的計算結果是（ ）
A．4x2+1B．1﹣4x2C．4x2D．﹣4x2﹣1
【分析】根據(jù)平方差公式求出即可．
【解答】解：（1﹣2x）（1+2x）
＝12﹣（2x）2
＝1﹣4x2，
故選：B．
【點評】本題考查了平方差公式，能熟記平方差公式的特點是解此題的關鍵，注意：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．（2021秋?崇川區(qū)期末）計算：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
【分析】分別根據(jù)完全平方公式和平方差公式計算即可．平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣a2+b2
＝8a2+6ab+2b2．
【點評】本題考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相關公式是解答本題的關鍵．
五．平方差公式的幾何背景（共2小題）
17．（2021秋?東莞市期末）如圖甲，在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一個矩形如圖乙，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】分別求得兩幅圖形中陰影部分的面積，然后依據(jù)陰影部分的面積相等可得到答案．
【解答】解：圖甲的面積＝大正方形的面積﹣空白處正方形的面積＝a2﹣b2；
圖乙中矩形的長＝a+b，寬＝a﹣b，圖乙的面積＝（a+b）（a﹣b）．
所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故選：D．
【點評】本題主要考查的是平方差公式的幾何背景，依據(jù)兩個圖形中陰影部分面積相等求解是解題的關鍵．
18．（2021秋?南陽期末）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．
（1）探究：上述操作能驗證的等式是 B ；（請選擇正確的一個）
A．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）
（2）應用：利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知9x2﹣4y2＝24，3x+2y＝6，求3x﹣2y的值；
②計算：．
【分析】（1）根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；
（2）①把9x2﹣4y2利用（1）的結論寫成兩個式子相乘的形式，然后把3x+2y＝6代入即可求解；
②利用（1）的結論化成式子相乘的形式即可求解．
【解答】解：（1）第一個圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b），
則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
∴24＝6（x﹣2y）
得：3x﹣2y＝4；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+），
＝×××××…××××，
＝×，
＝．
【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關鍵．
分層提分
題組A 基礎過關練
一．選擇題（共8小題）
1．（2020秋?林芝市期末）如圖，邊長為（m+3）的正方形紙片，剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成的長方形一邊長為3，則另一邊長是（ ）
A．m+3B．m+6C．2m+3D．2 m+6
【分析】由于邊長為（m+3）的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），那么根據(jù)正方形的面積剩余部分的面積可以求出，而矩形一邊長為3，利用矩形的面積公式即可求出另一邊長．
【解答】解：依題意得，剩余部分為：
（m+3）2﹣m2＝m2+6m+9﹣m2＝6m+9，
而拼成的矩形一邊長為3，
∴另一邊長是（6m+9）÷3＝2m+3．
故選：C．
【點評】本題主要考查了多項式除以單項式，解題關鍵是熟悉除法法則．
2．（2021春?廣陵區(qū)校級期中）若（a+b）2＝10，a2+b2＝4，則ab的值為（ ）
A．14B．7C．6D．3
【分析】根據(jù)完全平方公式的變形公式得到：ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]．
【解答】解：∵（a+b）2＝10，a2+b2＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（10﹣4）＝3．
故選：D．
【點評】本題考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
3．（2021?江西模擬）如圖，長方形A的周長為a，面積為b，那么從正方形中剪去兩個長方形A后得到的陰影部分的面積為（ ）
A．﹣2bB．a(chǎn)2﹣2bC．4a2﹣2bD．（a+b）2﹣2b
【分析】設長方形A的長為m，寬為n，則2（m+n）＝a，mn＝b，由題意得從正方形中剪去兩個長方形A后得到的陰影部分的面積為（）2﹣2b＝﹣2b．
【解答】解：設長方形A的長為m，寬為n，則2（m+n）＝a，mn＝b，
∴該正方形的邊長為m+n＝，
∴從正方形中剪去兩個長方形A后得到的陰影部分的面積為
（）2﹣2b＝﹣2b．
故選：A．
【點評】此題考查了數(shù)形結合解決數(shù)學問題的能力，關鍵是能根據(jù)圖形找出相關數(shù)量關系進行列式計算．
4．（2021春?江都區(qū)校級期末）若二次三項式x2﹣mx+4是一個完全平方式，則字母m的值是（ ）
A．±2B．﹣2C．±4D．2
【分析】先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．
【解答】解：∵x2﹣mx+4＝x2﹣mx+22，
∴﹣mx＝±2?x?2，
解得m＝±4．
故選：C．
【點評】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．
5．（2021春?江寧區(qū)月考）下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（ ）
A．（x2﹣y）（x+y2）B．（x+1）（1+x）
C．（﹣a+b）（a﹣b）D．
【分析】根據(jù)平方差公式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘等于這兩個數(shù)的平方差，由此進行判斷即可．
【解答】解：選項A、（x2﹣y）（x+y2）中x2與x、y與y2分別不相等，不能運用平方差公式，故不符合題意；
選項B、（x+1）（1+x）中兩項均為x+1，不能運用平方差公式，故不符合題意；
選項C、（﹣a+b）（a﹣b）中每個多項式中的兩項均互為相反數(shù)，不能運用平方差公式，故不符合題意；
選項D、（a+b）（b﹣a）＝（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2，故符合題意．
故選：D．
【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
6．（2021春?徐州期末）如圖，用不同的代數(shù)式表示圖中陰影部分的面積，可得等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a﹣b）2＝a2+2ab﹣b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【分析】陰影部分是邊長為（a﹣b）的正方形，其面積可表示為（a﹣b）2，也可以看作是邊長為a的大正方形的面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，再加上邊長為b的正方形面積，進而得出結論．
【解答】解：陰影部分是邊長為（a﹣b）的正方形，因此其面積為（a﹣b）2，
陰影部分也可以看作是邊長為a的大正方形的面積減去兩個長為a，寬為b的長方形面積，再加上邊長為b的正方形面積，即a2﹣2ab+b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故選：D．
【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示陰影部分的面積是得出答案的關鍵．
7．（2021秋?麥積區(qū)期末）若x2+（a﹣1）x+25是一個完全平方式，則a值為（ ）
A．﹣9B．﹣9或11C．9或﹣11D．11
【分析】根據(jù)完全平方公式的結構a2±2ab+b2，即可求解．
【解答】解：x2+（a﹣1）x+25＝x2+（a﹣1）x+52是完全平方式，則（a﹣1）x＝±2?x?5，
解得：a＝﹣9或11．
故選：B．
【點評】本題考查了完全平方公式．解題的關鍵是掌握完全平方公式：兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．
8．（2021秋?江陵縣期末）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”，則下面哪個數(shù)是“神秘數(shù)”（ ）
A．56B．66C．76D．86
【分析】利用“神秘數(shù)”定義判斷即可．
【解答】解：∵76＝202﹣182，
∴76是“神秘數(shù)”，
故選：C．
【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．
二．填空題（共5小題）
9．（2021秋?香坊區(qū)校級期末）若a﹣b＝8，ab＝2，則a2+b2的值為 68 ．
【分析】利用完全平方公式，把a2+b2化為（a﹣b）2+2ab求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝8，ab＝2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64+4＝68．
故答案為：68．
【點評】本題主要考查了完全平方公式，解題的關鍵是熟記完全平方公式．
10．（2020秋?朝陽區(qū)期末）如圖，兩個陰影圖形都是正方形，用兩種方式表示這兩個正方形的面積和，可以得到的等式為 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
【分析】根據(jù)圖形可以得到：兩個正方形的面積和有兩種計算方法，一種是根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方計算；另一種方法是圖形中大正方形面積減去兩個長方形的面積的和，即可得到等式．
【解答】解：①兩個陰影部分正方形的面積和為：a2+b2，
②兩個陰影部分正方形的面積和為：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案為：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
【點評】此題考查完全平方公式的幾何背景，利用面積、邊的關系建立等量關系是解決問題的關鍵．
11．（2021秋?丹棱縣期末）若x2+mx+16是完全平方式，則m＝ ±8 ．
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可得到m的值．
【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m＝±8．
故答案為：±8．
【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
12．（2021春?淮陰區(qū)期末）已知a＞0，b＞0，（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，則a+b＝ 10 ．
【分析】根據(jù)平方差公式得出（3a+3b）2＝900，再由a＞0，b＞0，可求出3a+3b＝30，進而求出a+b＝10．
【解答】解：∵（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）＝899，
∴（3a+3b）2﹣1＝899，
即（3a+3b）2＝900，
又∵（±30）2＝900，a＞0，b＞0，
∴3a+3b＝30，
即a+b＝10，
故答案為：10．
【點評】本題考查平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是正確解答的關鍵．
13．（2021春?海陵區(qū)期末）育英學校四初二數(shù)學興趣小組的小桃桃同學提出這樣一個問題：如圖，從邊長為a+4的正方形紙片中剪去一個邊長為a的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線剪開，拼成一個長方形（不重疊無縫隙），你認為長方形的面積為 8a+16 ．
【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．
【解答】解：拼成的長方形的面積為（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案為：8a+16．
【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確應用的前提．
三．解答題（共8小題）
14．（2021?鹽城一模）化簡：2a（a+2b）﹣（a+2b）2．
【分析】先提取公因式a+2b，再進行運算．
【解答】解：2a（a+2b）﹣（a+2b）2
＝（a+2b）[2a﹣（a+2b）]
＝（a+2b）（2a﹣a﹣2b）
＝（a+2b）（a﹣2b）
＝a2﹣4b2．
【點評】本題主要考查平方差公式、整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算法則是解決本題的關鍵．
15．（2021春?泰州期末）已知x﹣y＝3，x2+y2﹣3xy＝4．求下列各式的值：
（1）xy；
（2）x3y+xy3．
【分析】（1）第二個等式利用完全平方公式變形，把x﹣y＝3代入計算即可求出xy的值；
（2）原式提取公因式xy，利用完全平方公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值．
【解答】解：（1）∵x2+y2﹣3xy＝4，
∴（x﹣y）2﹣xy＝4，
把x﹣y＝3代入得：9﹣xy＝4，
解得：xy＝5；
（2）∵xy＝5，x2+y2﹣3xy＝4，
∴x2+y2＝3xy+4＝15+4＝19，
則x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝5×19＝95．
【點評】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
16．（2021春?建湖縣月考）計算：
（1）（﹣2x2）2+x3?x﹣x5÷x；
（2）（x﹣2y）2（x+2y）2．
【分析】（1）根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法化簡即可得出答案；
（2）根據(jù)積的乘方，平方差公式，完全平方公式化簡即可．
【解答】解：（1）原式＝4x4+x4﹣x4
＝4x4；
（2）原式＝[（x﹣2y）（x+2y）]2
＝（x2﹣4y2）2
＝x4﹣8x2y2+16y4．
【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，平方差公式，完全平方公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關鍵．
17．（2021秋?衡陽期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝ 6 ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ 17 ；
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝6，兩正方形的面積和S1+S2＝18，求圖中陰影部分面積．
【分析】理解題目給出得例題，再根據(jù)完全平方公式的變形應用，解決問題．
【解答】解：（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由題意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC?BC+BC2＝36；
∴2AC?BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC?BC＝9；
圖中陰影部分面積為直角三角形面積，
∵BC＝CF
∴．
【點評】本題主要考查了完全平方公式的適當變形靈活應用，（1）可直接應用公式變形解決問題．（2）①②小題都需要根據(jù)題意得出兩個因式和或者差的結果，合并同類項得①（4﹣x）+x＝4，②（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1是解決本題的關鍵，再根據(jù)完全平方公式變形應用得出答案．（3）根據(jù)幾何圖形可知選段AB+BC＝6，再根據(jù)兩個正方形面積和為18，利用完全平方公式變形應用得到AC?BC＝9，再根據(jù)直角三角形面積公式得出答案．
18．（2020春?鼓樓區(qū)期中）要說明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同學分別提供了一種思路，請根據(jù)他們的思路寫出推理過程．
（1）小剛說：可以根據(jù)乘方的意義來說明等式成立；
（2）小王說：可以將其轉化為兩數(shù)和的平方來說明等式成立；
（3）小麗說：可以構造圖形，通過計算面積來說明等式成立．
【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式法則解答；
（2）根據(jù)完全平方公式計算即可解答；
（3）化成邊長為a+b+c的正方形，即可得出答案．
【解答】解：（1）小剛：
（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）小王：
（a+b+c）2
＝[（a+b）+c]2
＝（a+b）2+2（a+b）c+c2
＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；
（3）小麗：
如圖所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，
【點評】本題考查了整式的運算法則的應用，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵，也培養(yǎng)了學生的動手操作能力．
19．（2019春?興化市期中）所謂完全平方式，就是對于一個整式A，如果存在另一個整式B，
使A＝B2，則稱A是完全平方式，例如：a4＝（a2）2，4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
（1）下列各式中完全平方式的編號有 ①③⑤ ；
①a6②x2+4x+4y2③4a2﹣2ab+b2④a2﹣ab+b2⑤x2﹣6x+9 ⑥a2+a﹣0.25
（2）若4x2+5xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，（其中m、n都是常數(shù)），求（m﹣）﹣1的值；
（3）多項式16x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個完全平方式，那么加上的單項式可以是哪些？（請直接寫出所有可能的情況）
【分析】（1）利用完全平方公式的結構特征判斷即可；
（2）利用完全平方公式的結構特征確定出m與n的值，代入原式計算即可求出值；
（3）利用完全平方公式的結構特征確定出所求即可．
【解答】解：（1）是完全平方式是編號有①③⑤；
故答案為：①③⑤；
（2）∵4x2+5xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，（其中m、n都是常數(shù)），
∴m＝，n＝±1，
則原式＝或；
（3）多項式16x2+1加上一個單項式后，使它能成為一個完全平方式，
那么加上的單項式可以64x4，﹣16x2，±8x，﹣1．
【點評】此題考查了完全平方式，單項式，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
20．（2021春?東?？h期末）如圖1，是邊長分別為a和b的兩種正方形紙片．
（1）若用這兩種紙片各1張按照如圖2方式放置，其未疊合部分（陰影部分）面積為S1，則S1＝ a2﹣b2 ；（用含a，b的代數(shù)式表示）
（2）在（1）中圖2的基礎上，再在大正方形的右下角擺放一張邊長為b的小正方形紙片（圖3），兩個小正方形疊合部分（陰影部分）面積為S2，試求S2．（用含a，b的代數(shù)式表示）
【分析】（1）由題意可得S1＝a2﹣b2；
（2）由題意得S2＝2b2﹣ab．
【解答】解：（1）由題意可得，
S1是圖1中兩個正方形面積的差，
又∵圖1中大正方形的面積為a2，小正方形的面積為b2，
∴S1＝a2﹣b2，
故答案為：a2﹣b2；
（2）由題意可得，
S2是兩個小正方形在長為a，寬為b的矩形內(nèi)的重疊部分，
∴S2＝b2+b2﹣ab＝2b2﹣ab．
【點評】此題考查了數(shù)形結合思想解決數(shù)學問題的能力，關鍵是能用代數(shù)式表示相關圖形的面積．
21．（2021春?金壇區(qū)月考）如圖，長方形ABCD周長為140，以AB、AD為邊分別向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并且兩塊正方形面積和為2500，求長方形ABCD的面積．
【分析】設AB＝a，AD＝b，根據(jù)題意可得a+b＝70，a2+b2＝2500，根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2整體代入求出ab即可．
【解答】解：設AB＝a，AD＝b，則長方形ABCD的面積為ab，正方形ABEF的面積為a2，正方形ADGH的面積為b2，
∵長方形ABCD周長為140，
∴a+b＝×140＝70，
又∵兩塊正方形面積和為2500，
∴a2+b2＝2500，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴4900＝2500+2ab，
∴ab＝1200，
即長方形ABCD的面積為1200．
【點評】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是解決問題的前提。
題組B 能力提升練
一．填空題（共6小題）
1．（2021秋?尚志市期末）如果x2+mx+4是一個完全平方式，那么m的值是 ±4 ．
【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+4是一個完全平方式，
∴m＝±4，
故答案為：±4
【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
2．（2020秋?涼州區(qū)期末）計算：（2a+3b）2＝ 4a2+12ab+9b2 ．
【分析】根據(jù)完全平方公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2解答即可．
【解答】解：（2a+3b）2，
＝（2a）2+2×2a×3b+（3b）2，
＝4a2+12ab+9b2．
故答案是：4a2+12ab+9b2．
【點評】本題主要考查完全平方公式：（x±y）2＝x2±2xy+y2，熟記公式結構是解題的關鍵．
3．（2021春?吳江區(qū)期中）如圖，兩個正方形邊長分別為a、b，如果a+b＝18，ab＝12，則陰影部分的面積為 144 ．
【分析】將陰影部分的面積表示為兩個正方形的面積之和減去△ABD和△BFG的面積，再利用配方法將多項式變形后，整體代入即可求解．
【解答】解：陰影部分的面積為：
S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABD﹣S△BFG
＝
＝
＝
＝
＝．
∵a+b＝18，ab＝12，
∴陰影部分的面積為：＝144．
∴陰影部分的面積為 144．
故答案為：144．
【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，正方形，等腰直角三角形，三角形的面積，利用配方法將多項式變形，利用整體代入的思想求值是解題的關鍵．
4．（2021?揚州）計算：20212﹣20202＝ 4041 ．
【分析】利用平方差公式進行簡便運算即可．
【解答】解：20212﹣20202
＝（2021+2020）×（2021﹣2020）
＝4041×1
＝4041
故答案為：4041．
【點評】本題考查了平方差公式的應用，解題時注意運算順序．
5．（2020春?邳州市期中）如果a2﹣b2＝﹣1，a+b＝，則a﹣b＝ ﹣2 ．
【分析】根據(jù)平方差公式，即可解答．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴﹣1＝（a﹣b），
∴a﹣b＝﹣2．
故答案為﹣2．
【點評】本題考查了平方差公式，解決本題的關鍵是熟記平方差公式．
6．（2021春?鼓樓區(qū)期中）如圖是A型卡片（邊長為a的正方形）、B型卡片（長為a、寬為b的長方形）、C型卡片（邊長為b的正方形）．現(xiàn)有4張A卡片，11張B卡片，7張C卡片，選用它們無縫隙、無重疊地拼正方形或長方形，下列說法正確的是 ①③④ ．（只填序號）
①可拼成邊長為a+2b的正方形；
②可拼成邊長為2a+3b的正方形；
③可拼成長、寬分別為2a+4b、2a+b的長方形；
④用所有卡片可拼成一個大長方形．
【分析】①②③利用完全平方公式和多項式乘多項式法則求出要拼成的圖形的面積，各項系數(shù)即為各型號卡片的個數(shù)．
④所有卡片面積和為4a2+11ab+7b2，將此多項式因式分解即可．
【解答】①（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，要用A型卡片1張，B型卡片4張，C型卡片4張，
所以可拼成邊長為a+2b的正方形．
②（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，要用A型卡片4張，B型卡片12張，C型卡片9張，
因為B型卡片只有11張，C型卡片只有7張，
所以不能拼成邊長為2a+3b的正方形．
③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，
可得A型卡片4張，B型卡片10張，C型卡片4張，
所以可拼成長、寬分別為2a+4b、2a+b的長方形．
④所有卡片面積和為4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．
所以所有卡片可拼長長為（4a+7b），寬為（a+b）的長方形．
故答案為：①③④．
【點評】本題主要考查了整式乘法、分解因式與幾何圖形之間的聯(lián)系，解題時注意利用數(shù)形結合和熟記公式是解題的關鍵．
二．解答題（共14小題）
7．（2021春?阜南縣期末）已知實數(shù)m，n滿足m+n＝6，mn＝﹣3．
（1）求（m﹣2）（n﹣2）的值；
（2）求m2+n2的值．
【分析】（1）將原式展開后，再將m+n，mn代入即可求出答案．
（2）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）因為m+n＝6，mn＝﹣3，
所以（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣2×6+4＝﹣11．
（2）m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝62﹣2×（﹣3）＝36+6＝42．
【點評】本題考查整式的乘法，涉及多項式乘以多項式，完全平方公式，屬于基礎題型．
8．（2021秋?常寧市期末）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）
（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）根據(jù)（1）中的結論，若x+y＝5，x?y＝，則x﹣y＝ ±4 ；
（3）拓展應用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
【分析】（1）由圖可知，圖1的面積為4ab，圖2中白色部分的面積為（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，根據(jù)圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等可得答案；
（2）根據(jù)（1）中的結論，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，將x+y＝5，x?y＝代入計算即可得出答案；
（3）將等式（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1兩邊平方，再根據(jù)已知條件及完全平方公式變形可得答案．
【解答】解：（1）由圖可知，圖1的面積為4ab，圖2中白色部分的面積為（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案為：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根據(jù)（1）中的結論，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x?y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案為：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練運用完全平方公式并數(shù)形結合是解題的關鍵．
9．（2021春?鎮(zhèn)江期中）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2適當?shù)淖冃?，可解決很多數(shù)學問題．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因為a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，
2ab＝2；得a2+b2＝7．
根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：
（1）若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值；
（2）請直接寫出下列問題答案：
①若2m+n＝3，mn＝1，則2m﹣n＝ ±1 ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，則（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ 13 ．
（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝4，兩正方形的面積和S1+S2＝12，求圖中陰影部分面積．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的變形為xy＝代入計算即可；
（2）①根據(jù)（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn，再代入計算即可；
②換元后，依據(jù)（2）①的做法即可求出答案；
（3）將題意轉化為：已知x2+y2＝12，x+y＝4，求xy的值，依據(jù)上述方法進行解答即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
即x2+2xy+y2＝36，
又∵x2+y2＝20，
∴20+2xy＝36，
∴xy＝8；
（2）①∵2m+n＝3，mn＝1，
∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn
＝32﹣1＝1，
∴2m﹣n＝±1，
②設A＝4﹣m，B＝5﹣m，
則A?B＝6，A﹣B＝﹣1，
∴A2+B2＝（A﹣B）2+2AB
＝1+12
＝13，
即（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13；
故答案為：①±1，②13；
（3）設AC＝x，BC＝y(tǒng)，則S1＝x2，S2＝y(tǒng)2，
∵S1+S2＝12，
∴x2+y2＝12，
又∵AB＝4＝x+y，
∴S陰影＝xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
＝（42﹣12）
＝2，
答：圖中陰影部分面積為2．
【點評】本題考查多項式乘多項式，完全平方公式的幾何背景，掌握多項式乘多項式的計算方法以及完全平方公式的結構特征是解決問題的前提．
10．（2020?唐山三模）張老師在黑板上寫了三個算式，希望同學們認真觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．請你結合這些算式，解答下列問題：
請觀察以下算式：
①32﹣12＝8×1
②52﹣32＝8×2
③72﹣52＝8×3
（1）請你再寫出另外兩個符合上述規(guī)律的算式；
（2）驗證規(guī)律：設兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），則它們的平方差是8的倍數(shù)；
（3）拓展延伸：“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”，這個結論正確嗎？
【分析】（1）根據(jù)已知算式寫出符合題意的答案；
（2）利用平方差公式計算得出答案；
（3）利用舉例法分析得出答案．
【解答】解：（1）92﹣72＝8×4，112﹣92＝8×5；
（2）驗證規(guī)律：設兩個連續(xù)奇數(shù)為2n+1，2n﹣1（其中n為正整數(shù)），
則它們的平方差是8的倍數(shù)；
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n
故兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)．
（3）拓展延伸：“兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差是8的倍數(shù)”，這個結論正確嗎？
不正確．
解法一：舉反例：42﹣22＝12，
因為12不是8的倍數(shù)，故這個結論不正確．
解法二：設這兩個偶數(shù)為2n和2n+2，（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2﹣2n）（2n+2+2n）＝8n+4
因為8n+4不是8的倍數(shù)，故這個結論不正確．
【點評】此題主要考查了平方差公式的應用，正確發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化規(guī)律是解題關鍵．
11．（2021春?南京期中）探究活動：
（1）如圖①，可以求出陰影部分的面積是 a2﹣b2 （寫成兩數(shù)平方差的形式）；
（2）如圖②，若將圖①中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是 （a+b）（a﹣b） （寫成多項式乘法的形式）；
（3）比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
知識應用：運用你得到的公式解決以下問題：
（4）計算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．
【分析】（1）圖①的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2；
（2）拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b）可表示面積；
（3）由（1）（2）所表示的面積相等，可得等式；
（4）應用平方差公式進行計算即可．
【解答】解：（1）陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2；
故答案為：a2﹣b2；
（2）拼成的長方形的長為（a+b），寬為（a﹣b），所以面積為（a+b）（a﹣b）；
故答案為：（a+b）（a﹣b）；
（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]
＝（a+b）2﹣（2c）2
＝a2+2ab+b2﹣4c2；
（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）
＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]
＝b2﹣（2a﹣3c）2
＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．
【點評】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結構特征是正確應用的前提．
12．（2021春?高明區(qū)校級期末）（1）如圖1，陰影部分的面積是 a2﹣b2 ．（寫成平方差的形式）
（2）若將圖1中的陰影部分剪下來，拼成如圖2的長方形，面積是 （a﹣b）（a+b） ．（寫成多項式相乘的積形式）
（3）比較兩圖的陰影部分的面積，可以得到公式： （a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 ．
（4）應用公式計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【分析】（1）根據(jù)面積的和差，可得答案；
（2）根據(jù)矩形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)圖形割補法，面積不變，可得答案；
（4）根據(jù)平方差公式計算即可．
【解答】解：（1）如圖（1）所示，陰影部分的面積是a2﹣b2，
故答案為：a2﹣b2；
（2）根據(jù)題意知該長方形的長為a+b、寬為a﹣b，
則其面積為（a+b）（a﹣b），
故答案為：（a+b）（a﹣b）；
（3）由陰影部分面積相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案為：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××…××
＝×
＝．
【點評】本題考查的是平方差公式的推導和運用，靈活運用平方差公式、掌握數(shù)形結合思想是解題的關鍵．
13．（2020秋?南通期中）閱讀下列材料
若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
請仿照上面的方法求解下面問題：
（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊作正方形．
①MF＝ x﹣1 ，DF＝ x﹣3 ；（用含x的式子表示）
②求陰影部分的面積．
【分析】（1）設（5﹣x）＝a，（x﹣2）＝b，根據(jù)已知等式確定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD邊長為x，即可表示出MF與DF；
②根據(jù)矩形的面積公式以及正方形的面積公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案為：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
陰影部分的面積＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
設x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即陰影部分的面積是28．
【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景．應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義；主要圍繞圖形面積展開分析．
14．（2020春?吳江區(qū)期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問題，
例題：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
問題（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求xy的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長的邊，求c的取值范圍．
【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式計算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非負數(shù)的性質求出a、b的值，然后利用三角形的三邊關系即可求解．
【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4
＝x2﹣2xy+y2+y2+4y+4
＝（x﹣y）2+（y+2）2
＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣2）﹣2＝；
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得a＝5，b＝4，
∵c是△ABC中最長的邊，
∴5≤c＜9．
【點評】本題考查了完全平方公式以及非負數(shù)的性質，利用完全平方公式配方成平方和的形式是解題的關鍵．
15．（2020春?天橋區(qū)期末）如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．
①圖2中的陰影部分的面積為 （b﹣a）2 ；
②觀察圖2請你寫出 （a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
③根據(jù)（2）中的結論，若x+y＝5，x?y＝，則（x﹣y）2＝ 16 ；
④實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．
如圖3，你發(fā)現(xiàn)的等式是 （a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
【分析】①表示出陰影部分正方形的邊長，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；
②根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個小長方形的面積列式即可；
③將（x﹣y）2變形為（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；
④根據(jù)大長方形的面積等于各部分的面積之和列式整理即可．
【解答】解：①（b﹣a）2；
②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
③當x+y＝5，x?y＝時，
（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy
＝52﹣4×
＝16；
④（a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案為：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；③16；④（a+b）?（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，此類題目關鍵在于同一個圖形的面積用兩種不同的方法表示．
16．（2019秋?江陰市期中）如圖①所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成相等的四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形．
（1）你認為圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于 m﹣n ；
（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積：
方法① （m﹣n）2 ；
方法② （m+n）2﹣4mn ；
（3）觀察圖②，你能寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？
（4）根據(jù)（3）題中的等量關系，解決如下問題：若a﹣b＝6，ab＝5，求（a+b）2．
【分析】（1）依據(jù)小長方形的邊長，即可得到圖②中的陰影部分的正方形的邊長；
（2）依據(jù)正方形的面積計算公式以及間接法，即可表示出圖②中陰影部分的面積；
（3）依據(jù)（2）中的結論，即可得到（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關系；
（4）運用（3）中的關系式，即可得到（a+b）2的值．
【解答】解：（1）圖②中的陰影部分的正方形的邊長等于m﹣n；
故答案為：m﹣n；
（2）圖②中陰影部分的面積：（m﹣n）2；
圖②中陰影部分的面積：（m+n）2﹣4mn；
故答案為：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；
（3）根據(jù)圖②，可得（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數(shù)式之間的等量關系為：
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）∵a﹣b＝6，ab＝5，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝62+4×5＝36+20＝56．
【點評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解決問題的關鍵是通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關系對公式做出幾何解釋．
17．關于x的二次三項式：x2+2mx+4﹣m2是一個完全平方式，求m的值．
【分析】這里首末兩項是x和m這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x和m積的2倍．
【解答】解：∵x2+2mx+4﹣m2是完全平方式，
∴4﹣m2＝（）2，
∴m＝±，
即m1＝，m2＝﹣．
【點評】本題是完全平方公式的應用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．
18．（2019秋?高縣期中）探索題：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1…
根據(jù)前面的規(guī)律，回答下列問題：
（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）＝ xn+1﹣1 ．
（2）當x＝3時，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）＝ 32016﹣1 ．
（3）求：22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值．（請寫出解題過程）．
【分析】（1）每一個式子的結果等于兩項的差，被減數(shù)的指數(shù)比第二個因式中第一項大1，減數(shù)都為1；
（2）根據(jù)規(guī)律得結果；
（3）將x＝2代入可得結果．
【解答】解：（1）（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1）＝xn+1﹣1；
故答案為：xn+1﹣1；
（2）當x＝3時，（3﹣1）（32015+32014+32013+…+33+32+3+1）＝32016﹣1；
故答案為：32016﹣1；
（3）當x＝2時，（2﹣1）（22014+22013+22012+…+23+22+2+1）＝22015﹣1，
∴22014+22013+22012+…+23+22+2+1＝（22015﹣1）÷（2﹣1）＝22015﹣1．
【點評】本題考查了平方差公式、及數(shù)字類的規(guī)律題，認真閱讀，總結規(guī)律，并利用規(guī)律解決問題．
19．（2018春?太倉市期中）你能求（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，
從簡單的情形入手．先分別計算下列各式的值．
①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
……
由此我們可以得到：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝ x100﹣1
請你利用上面的結論，再完成下面兩題的計算：
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1
（2）若x3+x2+x+1＝0，求x2019的值
【分析】先根據(jù)規(guī)律計算：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）的結果；
（1）根據(jù)規(guī)律確定：x﹣1，就是﹣2﹣1，得原式＝（﹣2﹣1）?，根據(jù)公式可得結論；
（2）根據(jù)（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，代入已知可得x的值，根據(jù)x3+x2+x+1＝0，x2≥0，得x＜0，可得x＝﹣1，代入可得結論．
【解答】解：由題意得：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）＝x100﹣1，（2分）
故答案為：x100﹣1；
（1）（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1，
＝（﹣2﹣1）?，
＝，
＝；（5分）
（2）∵（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，x3+x2+x+1＝0，
∴x4＝1，
則x＝±1，
∵x3+x2+x+1＝0，
∴x＜0，
∴x＝﹣1，（6分）
∴x2019＝﹣1．（8分）
【點評】此題考查多項式乘多項式、數(shù)字類的規(guī)律問題，同時也考查學生的分析、總結、歸納能力，規(guī)律型的習題一般是從所給的數(shù)據(jù)和運算方法進行分析，從特殊值的規(guī)律上總結出一般性的規(guī)律．
20．（2012春?吳中區(qū)期末）乘法公式的探究及應用．
（1）如圖1，可以求出陰影部分的面積是 a2﹣b2 （寫成兩數(shù)平方差的形式）；
（2）如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是 a﹣b ，長是 a+b ，面積是 （a+b）（a﹣b） （寫成多項式乘法的形式）；
（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（4）運用你所得到的公式，計算下列各題：
①10.2×9.8，②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．
【分析】（1）利用正方形的面積公式就可求出；
（2）仔細觀察圖形就會知道長，寬，由面積公式就可求出面積；
（3）建立等式就可得出；
（4）利用平方差公式就可方便簡單的計算．
【解答】解：（1）利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積＝a2﹣b2；
故答案為：a2﹣b2；
（2）由圖可知矩形的寬是a﹣b，長是a+b，所以面積是（a+b）（a﹣b）；
故答案為：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式兩邊交換位置也可）；
故答案為：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）①解：原式＝（10+0.2）×（10﹣0.2），
＝102﹣0.22，
＝100﹣0.04，
＝99.96；
②解：原式＝[2m+（n﹣p）]?[2m﹣（n﹣p）]，
＝（2m）2﹣（n﹣p）2，
＝4m2﹣n2+2np﹣p2．
【點評】此題主要考查了平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式．對于有圖形的題同學們注意利用數(shù)形結合求解更形象直觀．