數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章 圓24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4 圓周角學(xué)案

這是一份數(shù)學(xué)九年級上冊第二十四章 圓24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4 圓周角學(xué)案，共6頁。學(xué)案主要包含了知識鏈接，要點探究，課堂小結(jié)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
第二十四章  圓24.1  圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.4  圓周角 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.2.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用. 重點：理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.難點：1.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用. 一、知識鏈接1.什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？   2.如圖，∠ABE的頂點和邊有哪些特點?  二、要點探究探究點1：圓心角的定義概念學(xué)習(xí)  頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.判一判  判別下列各圖中的∠BAC是不是圓心角，并說明理由.                          探究點2：圓周角定理及其推論探究  如圖，連接BO，CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.     要點歸納：圓周角定理——一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.問題1  如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A ，D 是⊙O上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由. 問題2  如圖，若，∠A與∠B相等嗎？ 想一想  反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？要點歸納：圓周角定理的推論——同弧或等弧所對的圓周角相等.想一想  如圖，線段AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的任意一點（除點A、B外），那么∠ABC就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？      要點歸納：圓周角和直徑的關(guān)系——半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°(直角)..典例精析例1 如圖，分別求出圖中∠x的大小.      例2 如圖，AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù). 例3  (教材P87例4)如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm．∠ACB的平分線交⊙O于點D, 求BC，AD，BD的長．方法總結(jié)：解答圓周角有關(guān)問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條件，則考慮構(gòu)造直角三角形來求解.探究點3：圓內(nèi)接四邊形定義  如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.     猜想與證明  ∠A與∠C，∠B與∠D之間有什么關(guān)系？如何證明你的猜想呢？   要點歸納：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補.練一練1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C=     ，∠D=      .2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，則∠D=     . 例4  如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求證：∠FGD＝∠ADC.     方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是推導(dǎo)角相等關(guān)系的重要依據(jù)． 三、課堂小結(jié) 圓周角圓周角定義1.頂點在圓上；2.兩邊都與圓相交的角. (二者必須同時具備)圓周角與直線的關(guān)系半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°(直角).圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.圓周角定理的推論1.90°的圓周角所對的弦是直徑；2.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.    1．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)A．120°      B．100°       C．80°       D．60°       第1題圖              第2題圖       第3題圖 2.已知△ABC的三個頂點在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，則∠AOB=       ．          3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為__________.                                                           4.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC． 5.船在航行過程中，船長通過測定角度來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時，∠α與“危險角”有怎樣的大小關(guān)系？        拓展提升：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E.(1)BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么?(2)求證：.     參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.解：頂點在圓心的角叫做圓心角；圖中的圓心角有∠AOE.2.解：∠ABE的頂點在⊙O上，角的兩邊分別交⊙O于A、E兩點. 課堂探究要點探究探究點1:圓心角的定義判一判   （1）（5）（6）是圓周角，（2）（4）中，頂點不在圓上， 不是圓周角；（3）中，AC與圓不相交，不是圓周角. 探究點2：圓周角定理及其推論探究：∠BAC=∠BOC.問題1：相等，理由如下：∵∠BAC=∠BOC，∠BDC=∠BOC，∴∠BAC=∠BDC.問題2：相等，∵，∴∠COD=∠EOF.∵∠A=∠COD，∠B=∠EOF，∴∠A=∠B.想一想：成立 想一想：解：∵AB是直徑，點O是圓心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=∠AOB=90°. 典例精析例1 解：(1)∵同弧所對圓周角相等，∴∠x=60°.(2)連接BF，∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°. 例2 解：連接BC，則∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°. 例3：解：連接OD．∵AB是直徑，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.∴ ∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.又在Rt△ABC中，AD2+BD2=AB2， 探究點3：圓內(nèi)接四邊形猜想與證明  ∠A+ ∠C=180o，∠B+ ∠D=180o證明：連接OB，OD．∵ ∠A所對的弧為 ，∠C所對的弧為，又和所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°．練一練：  1.70°  100°   2.90°例4： 證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC. 當(dāng)堂檢測1.A  2.166°  3.30°4.證明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC，∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC5.解：當(dāng)船位于安全區(qū)域時，即船位于暗礁區(qū)域外(即⊙O外) ，與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”. 拓展提升（1）解:BD=CD．理由是：連接AD，∵AB是圓的直徑，點D在圓上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.（2）證明：∵AD平分頂角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴(同圓或等圓中相等的圓周角所對弧相等).