2021學(xué)年24.1.4 圓周角學(xué)案

這是一份2021學(xué)年24.1.4 圓周角學(xué)案，共6頁(yè)。學(xué)案主要包含了知識(shí)鏈接，要點(diǎn)探究，課堂小結(jié)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
24.1.4 圓周角
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解圓周角的概念，會(huì)敘述并證明圓周角定理.
2.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題.
3.理解掌握?qǐng)A周角定理的推論及其證明過程和運(yùn)用.
重點(diǎn)：理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題.
難點(diǎn)：1.理解圓周角與圓心角的關(guān)系并能運(yùn)用圓周角定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題.
理解掌握?qǐng)A周角定理的推論及其證明過程和運(yùn)用.
自主學(xué)習(xí)
一、知識(shí)鏈接
1.什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？


2.思考： 圖中過球門A、E兩點(diǎn)畫圓，球員射中球門的難易程度與他所處的位置 B、C、D有關(guān)(張開的角度大小)、僅從數(shù)學(xué)的角度考慮，球員應(yīng)選擇從哪一點(diǎn)的位置射門更有利？
課堂探究
二、要點(diǎn)探究
探究點(diǎn)1：圓心角的定義
合作探究
問題1 什么叫圓心角? 指出圖中的圓心角?
問題2 ∠ABE的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)?
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.
（兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，缺一不可）
判一判 判別下列各圖中的∠BAC是不是圓心角，并說明理由.


探究點(diǎn)2：圓周角定理及其推論
測(cè)量：如圖，連接BO，CO，得圓心角∠BOC. 測(cè)測(cè)看，∠BAC與∠BOC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系.
猜測(cè)：圓周角的度數(shù)_______它所對(duì)弧的圓心角度數(shù)的一半.
要點(diǎn)歸納：圓周角定理——一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
問題1 如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點(diǎn)A ，D 是⊙O上任意兩點(diǎn)，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請(qǐng)說明理由.
問題2 如圖，若，∠A與∠B相等嗎？
想一想 反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？
要點(diǎn)歸納：圓周角定理的推論——同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
想一想 如圖，線段AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的任意一點(diǎn)（除點(diǎn)A、B外），那么∠ABC就是直徑AB所對(duì)的圓周角，想一想，∠ACB會(huì)是怎樣的角？
要點(diǎn)歸納：圓周角和直徑的關(guān)系——半圓或直徑所對(duì)的圓周角都相等，都等于90°(直角)..
典例精析
例1 如圖，分別求出圖中∠x的大小.

例2 如圖，AB是⊙O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù).
例3 如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm．∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D, 求BC，AD，BD的長(zhǎng)．
方法總結(jié)：解答圓周角有關(guān)問題時(shí)，若題中出現(xiàn)“直徑”這個(gè)條件，則考慮構(gòu)造直角三角形來求解.
探究點(diǎn)3：圓內(nèi)接四邊形
如果一個(gè)多邊形所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.
探究性質(zhì)
如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形.
猜想與證明 ∠A與∠C，∠B與∠D之間有什么關(guān)系？如何證明你的猜想呢？
要點(diǎn)歸納：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
練一練
1．四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠A=110°，∠B=80°，則∠C= °，∠D= °.
2．⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，則∠D= °.
例4 如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求證：∠FGD＝∠ADC.
方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是推導(dǎo)角相等關(guān)系的重要依據(jù)．
三、課堂小結(jié)
當(dāng)堂檢測(cè)
1．如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )
A．120° B．100° C．80° D．60°

第1題圖 第2題圖 第3題圖
2.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，則∠AOB= °．
3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點(diǎn)E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數(shù)為______.
4.如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC．求證：∠ACB=2∠BAC．
5.船在航行過程中，船長(zhǎng)通過測(cè)定角度來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，∠α與“危險(xiǎn)角”有怎樣的大小關(guān)系？
拓展提升：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E.
(1)BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么?
(2)求證：.
參考答案
自主學(xué)習(xí)
一、知識(shí)鏈接
1.解：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角；圖中的圓心角有∠AOE.
2.解：B、C、D點(diǎn)都可以.
合作探究
頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角，如∠AOE .
∠ABE 的頂點(diǎn)在☉O上，角的兩邊分別交☉O于A、E兩點(diǎn).
要點(diǎn)探究
探究點(diǎn)1:圓心角的定義
判一判 （1）（5）（6）是圓周角，（2）（4）中，頂點(diǎn)不在圓上， 不是圓周角；
（3）中，AC與圓不相交，不是圓周角.
探究點(diǎn)2：圓周角定理及其推論
測(cè)量：∠BAC=∠BOC. 猜測(cè)：等于
問題1：相等，理由如下：∵∠BAC=∠BOC，∠BDC=∠BOC，∴∠BAC=∠BDC.
問題2：相等，∵，∴∠COD=∠EOF.∵∠A=∠COD，∠B=∠EOF，∴∠A=∠B.
想一想：成立
想一想：解：∵AB是直徑，點(diǎn)O是圓心，∴∠AOB=180°.∵∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角，∴∠ACB=∠AOB=90°.
典例精析
例1 解：(1)∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠x=60°.
(2)連接BF，∵同弧所對(duì)圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例2 解：連接BC，則∠ACB=90°，∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
例3：解：連接OD．∵AB是直徑，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，
BC=∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.
∴ ∠AOD=∠BOD，∴AD=BD.又在Rt△ABC中，AD2+BD2=AB2，
探究點(diǎn)3：圓內(nèi)接四邊形
猜想與證明 ∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o
證明：連接OB，OD．∵ ∠A 所對(duì)的圓心角是∠β，∠C 所對(duì)的圓心角是∠α，則
又∴
同理∠B＋∠D＝180°．
練一練： 1.70 100 2.90
例4： 證明：∵四邊形ACDG內(nèi)接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.A 2.166 3.30°
4.證明：∵∠ACB=∠AOB，∠BAC=∠BOC，∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC
5.解：當(dāng)船位于安全區(qū)域時(shí)，船位于暗礁區(qū)域外(即⊙O外) ，與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”.
拓展提升
（1）解:BD=CD．理由如下：連接AD，∵AB是圓的直徑，點(diǎn)D在圓上，∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD.
（2）證明：∵ △ABC為等腰三角形，AD⊥BC，∴∠BAD =∠CAD.∴
圓周角
圓周角定義
1.頂點(diǎn)在圓上；
2.兩邊都與圓相交的角. (二者必須同時(shí)具備)
圓周角定理
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半；
相等的圓周角所對(duì)的弧相等.
圓周角定理的推論
1.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；
2.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
圓內(nèi)接四邊形
圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)