高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.1 函數(shù)及其表示方法優(yōu)秀第1課時導學案及答案

這是一份高中數(shù)學人教B版 (2019)必修 第一冊3.1.1 函數(shù)及其表示方法優(yōu)秀第1課時導學案及答案，共8頁。
3.1 函數(shù)的概念與性質


3.1.1 函數(shù)及其表示方法


第一課時 函數(shù)的概念





知識點 函數(shù)的概念


1.函數(shù)定義：一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，按照對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y＝f(x)與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.


2.相關概念：x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域.


注意：對應關系也可以用其他小寫英文字母如g，h等表示.


3.同一個函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同(即對自變量的每一個值，兩個函數(shù)對應的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù).


4.一個約定：在表示函數(shù)時，如果不產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時約定：函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合.


[微思考]


1.任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關系嗎？


提示 不一定，兩個集合必須是非空的數(shù)集.


2.什么樣的對應可以構成函數(shù)關系？


提示 兩個非空數(shù)集之間是一一對應關系或多對一可構成函數(shù)關系.


[來源:Z|xx|k.Cm]





探究一 函數(shù)關系的判斷


判斷下列對應中是否是A到B的函數(shù).


(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f為“取絕對值”；


(2)A＝Z，B＝Z，f為“取平方”；


(3)A＝{1,2,3}，B＝{a，b}，對應關系如下圖所示：





(4)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，對應關系如下圖所示：





解 (1)A中的元素0在B中沒有對應元素，故不是A到B的函數(shù)；


(2)對于集合A中的任意一個整數(shù)x，按照對應關系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一確定的整數(shù)x2與其對應，故是集合A到集合B的函數(shù)；


(3)集合B不是確定的數(shù)集，故不是A到B的函數(shù)；


(4)集合A中的元素3在B中沒有對應元素，且A中元素2在B中有兩個元素5和6與之對應，故不是A到B的函數(shù).


[方法總結]


判斷對應關系是否為函數(shù)，主要從以下三個方面去判斷


(1)A，B必須是非空實數(shù)集；


(2)A中任何一個元素在B中必須有元素與其對應；


(3)A中任何一個元素在B中的對應元素必須唯一. ,


[跟蹤訓練1] 對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的有( )


①y是x的函數(shù)；②對于不同的x值，y的值也不同；③f(a)表示當x＝a時函數(shù)f(x)的值，是一個常量；④f(x)一定可以用一個具體的式子表示出來.


A.1個 B.2個


C.3個 D.4個


B [①③正確，②是錯誤的，對于不同的x值，y的值可以相同，這符合函數(shù)的定義，④是錯誤的，f(x)表示的是函數(shù)，而函數(shù)并不是都能用具體的式子表示出來.]


探究二 求函數(shù)定義域問題


求下列函數(shù)的定義域：


(1)y＝eq \f(?x＋1?2,x＋1)－eq \r(1－x)；(2)y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3).


解 (1)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1，且x≠－1，


即函數(shù)的定義域為{x|x≤1，且x≠－1}.


(2)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，


即函數(shù)的定義域為{x|x≤5，且x≠±3}.


[方法總結]


求函數(shù)定義域的常用依據(jù)


(1)若f(x)是分式，則應考慮使分母不為零；[來源:學_科_網(wǎng)Z_X_X_K]


(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零；


(3)若f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使指數(shù)冪運算有意義的實數(shù)集合；


(4)若f(x)是由幾個式子構成的，則函數(shù)的定義域要使各個式子都有意義；


(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應符合實際問題，使實際問題有意義.


[跟蹤訓練2] (1)設全集為R，函數(shù)f(x)＝eq \r(2－x)的定義域為M，則?RM為( )


A.(2，＋∞) B.(－∞，2)


C.(－∞，2] D.[2，＋∞)


A [由2－x≥0，解得x≤2，所以M＝(－∞， 2]，所以?RM＝(2，＋∞).]


(2)函數(shù)f(x)＝eq \f(\r(x),x－1)的定義域為________.


{x|x≥0，且x≠1} [要使eq \f(\r(x),x－1)有意義，需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x－1≠0，))


解得x≥0，且x≠1，


故函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≥0，且x≠1}.]


探究三 求函數(shù)值和函數(shù)值域問題


已知f(x)＝eq \f(1,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).


(1)求f(2)，g(2)的值；


(2)求f(g(2))的值；


(3)求f(x)，g(x)的值域.


解 (1)因為f(x)＝eq \f(1,1＋x)，所以f(2)＝eq \f(1,1＋2)＝eq \f(1,3).


又因為g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.[來源:學&科&網(wǎng)]


(2)f(g(2))＝f(6)＝eq \f(1,1＋6)＝eq \f(1,7).


(3)f(x)＝eq \f(1,1＋x)的定義域為{x|x≠－1}，


所以值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).


g(x)＝x2＋2的定義域為R，最小值為2，


所以值域是[2，＋∞).


[方法總結]


求函數(shù)值域的原則及常用方法


(1)原則：①先確定相應的定義域；[來源:學#科#網(wǎng)]


②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運算確定其值域.


(2)常用方法：


①逐個求法：當定義域為有限集時，常用此法；


②觀察法：如y＝x2，可觀察出y≥0；


③配方法：對于求二次函數(shù)值域的問題常用此法；


④換元法：對于形如y＝ax＋b＋eq \r(cx＋d)的函數(shù)，求值域時常用換元法，令t＝eq \r(cx＋d)，將原函數(shù)轉化為關于t的二次函數(shù)；


⑤分離常數(shù)法：對于形如y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)的函數(shù)，常用分離常數(shù)法求值域；


⑥圖像法：對于易作圖像的函數(shù)，可用此法，如y＝eq \f(1,x－1).


[跟蹤訓練3] 求下列函數(shù)的值域：


(1)y＝3x－1，x∈{1,3,5,7}；


(2)y＝－x2＋2x＋1，x∈R；


(3)y＝x＋eq \r(1－2x).


解 (1)(逐個求法)將x＝1,3,5,7依次代入解析式，得y＝2,8,14,20.所以函數(shù)的值域是{2,8,14,20}.


(2)(配方法)因為y＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2≤2，所以函數(shù)的值域是(－∞，2].


(3)(換元法或配方法)令eq \r(1－2x)＝t，則x＝eq \f(1－t2,2)，且t≥0，


所以原函數(shù)化為y＝eq \f(1－t2,2)＋t＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1≤1.


所以所求函數(shù)的值域是(－∞，1].











1.對函數(shù)概念的五點說明


(1)對數(shù)集的要求：集合A，B為非空數(shù)集.


(2)任意性和唯一性：集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性.


(3)對符號“f”的認識：它表示對應關系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣.


(4)一個區(qū)別：f(x)是一個符號，不表示f與x的乘積，而f(a)表示函數(shù)f(x)當自變量x取a時的一個函數(shù)值.


(5)函數(shù)三要素：定義域、對應關系和值域是函數(shù)的三要素，三者缺一不可.


2.求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，列不等式(組)是求函數(shù)定義域的基本方法.


3.求函數(shù)的值域常用的方法有：觀察法、配方法、換元法、分離常數(shù)法、圖像法等.





課時作業(yè)(十六) 函數(shù)的概念





1.設f為“取平方”是集合A到集合B的函數(shù)，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )


A.{1} B.{－1}


C.{－1,1} D.{－1,0}


D [若集合A＝{－1,0}，則0∈A，但02＝0?B.]


2.下列各個圖形中，不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖像的是( )





A [垂直x軸的直線與函數(shù)y＝f(x)的圖像至多有一個交點.]


3.下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是( )


A.y＝eq \f(x2－3,x－3)與y＝x＋3(x≠3)


B.y＝eq \r(x2)－1與y＝x－1


C.y＝x0(x≠0)與y＝1(x≠0)


D.y＝2x＋1，x∈Z與y＝2x－1，x∈Z


C [選項A，B及D中對應關系都不同，故都不是同一個函數(shù).]


4.設f(x)＝eq \f(1,1－x)，則f(f(a))＝________.


eq \f(a－1,a)(a≠0，且a≠1) [f(f(a))＝eq \f(1,1－\f(1,1－a))＝eq \f(1,\f(1－a－1,1－a))＝eq \f(a－1,a).]


5.函數(shù)y＝eq \f(\r(x＋2),\r(6－2x)－1)的定義域為________.


eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)) [要使函數(shù)解析式有意義，需滿足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,6－2x≥0，,6－2x≠1))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≤3，,x≠\f(5,2)))?－2≤x≤3，且x≠eq \f(5,2).


所以函數(shù)的定義域為eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2， \f(5,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，3)).]


6.已知函數(shù)f(x)＝x＋eq \f(1,x).


(1)求f(x)的定義域；


(2)求f(－1)，f(2)的值；


(3)當a≠－1時，求f(a＋1)的值.


解 (1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須使x≠0，


所以f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞).


(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


(3)當a≠－1時，a＋1≠0，


所以f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).


7.若f(x)＝ax2－eq \r(2)，且f(f(eq \r(2)))＝－eq \r(2)，求a的值.


解 因為f(eq \r(2))＝a(eq \r(2))2－eq \r(2)＝2a－eq \r(2)，所以


f(f(eq \r(2)))＝a(2a－eq \r(2))2－eq \r(2)＝－eq \r(2).于是a(2a－eq \r(2))2＝0，即2a－eq \r(2)＝0或a＝0.所以a＝eq \f(\r(2),2)或a＝0.





1.某校有一個班級，設變量x是該班同學的姓名，變量y是該班同學的學號，變量z是該班同學的身高，變量ω是該班同學某一門課程的考試成績，則下列選項中一定正確的是( )


A.y是x的函數(shù) B.z是y的函數(shù)


C.ω是z的函數(shù) D.x是z的函數(shù)


B [姓名不是數(shù)集，故A，D不成立，成績ω可能與多個身高z對應，不能構成函數(shù). 學號集合到身高集合的對應是數(shù)集間的對應，且任一個學號都對應唯一一個身高，因此z是y的函數(shù).]


2.下列函數(shù)中，值域為(0，＋∞)的是( )


A.y＝eq \r(x) B.y＝eq \f(100,\r(x＋2))


C.y＝eq \f(16,x) D.y＝x2＋x＋1


B [A中，y＝eq \r(x)的值域為[0，＋∞)；C中，y＝eq \f(16,x)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)；D中，y＝x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)的值域為eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))；B中，函數(shù)的值域為(0，＋∞).]


3.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，則從A到B的函數(shù)f(x)有________個.


8 [抓住函數(shù)的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法確定函數(shù)的個數(shù).


由表可知，這樣的函數(shù)有8個.]


4.給出定義：若m－eq \f(1,2)＜x≤m＋eq \f(1,2)(其中m為整數(shù))，則m叫做離實數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}＝m. 在此基礎上給出下列關于函數(shù)f(x)＝|x－{x}|的四個結論.


①feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)；②f(3.4)＝－0.4；③feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))；


④y＝f(x)的定義域為R，值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)， \f(1,2))).


則其中正確的序號是____________.


①③ [由題意得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－?－1?))＝eq \f(1,2)，①正確；f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，②錯誤；feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－0))＝eq \f(1,4)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))，③正確；y＝f(x)的定義域為R，值域為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(1,2)))，④錯誤.]


5.若函數(shù)f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定義域為R，求m的取值范圍.


解 要使函數(shù)f(x)有意義，必須mx2＋x＋3≠0.


又因為函數(shù)的定義域為R，故mx2＋x＋3≠0對一切實數(shù)x恒成立.


當m＝0時，x＋3≠0，即x≠－3，與f(x)定義域為R矛盾，所以m＝0不合題意.


當m≠0時，有Δ＝12－12meq \f(1,12).


綜上可知m的取值范圍是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>\f(1,12))))).


6.(拓廣探索)已知函數(shù)f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).


(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值；


(2)求證：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值；


(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))的值.


(1)解 因為f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1.


f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.


(2)證明 f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)


＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.


(3)解 由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，


f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝1.


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2 017)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 017)))＝2 016.





課程標準
學科素養(yǎng)
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.
通過對函數(shù)概念的學習，提升“數(shù)學抽象”、“邏輯推理”、“數(shù)學運算”的核心素養(yǎng).
2.了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5